(±TS) Aide pour un petit exercice.

[iamkepl]

Bonjour,

J'aurais besoin d'une piste pour la résolution d'un exercice (issu de Calculus de Michael Spivak, qui ne donne pas les solutions de tous les problèmes).
Voici son énoncé :

Prouver que si et min,
alors et .

Pour prouver que , j'ai raisonné par l'absurde :
ce qui est absurde. Donc .

Ensuite, j'ai réécrit la formule à démontrer :


D'autre part, j'ai remarqué que d'après l'énoncé, on avait :

Ce qui n'est pas très éloigné de la formule que l'on cherche à démontrer.
En revanche, je ne sais pas trop quoi faire maintenant, j'ai tenté de comparer et mais je n'ai pas réussi.
Merci d'avance de votre aide,

iamkepl
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Pour prouver que , j'ai raisonné par l'absurde :
ce qui est absurde. Donc .

Non, en écrivant cela tu n'as absolument rien démontré, ... car si , alors qui n'est pas toujours égal à !

Ensuite, j'ai réécrit la formule à démontrer :

C'est un bon début, mais comme dans la démonstration à faire précédemment, tu dois expliciter :

[iamkepl]

Merci pour ta réponse.
Si j'ai , cela ne signifie pas que j'ai et ?

[PlaneteF]

Merci pour ta réponse.
Si j'ai , cela ne signifie pas que j'ai et ?

Oui c'est bon, ... en fait ta première rédaction était ambigüe sur la propriété que tu utilisais (car tu faisais un racourci), d'où ma remarque, ... mais justifié comme cela il n'y a plus d'ambiguité !

[A voir en vidéo sur Futura]

[iamkepl]

Merci. Pour la seconde partie de la question, voyant que je tournais en rond, j'ai pensé à utiliser le fait que pour reprendre l'inégalité de l'énoncé en divisant chacun de ses membres par , ce qui me donnerait :
d'une part
et d'autre part.
Mais ensuite, je ne sais plus trop quoi faire.

[PlaneteF]

Merci. Pour la seconde partie de la question, voyant que je tournais en rond, j'ai pensé à utiliser le fait que pour reprendre l'inégalité de l'énoncé en divisant chacun de ses membres par , ce qui me donnerait :
d'une part
et d'autre part.
Mais ensuite, je ne sais plus trop quoi faire.

Tu as presque fini.

Ta première ligne de calcul est juste mais tu n'en as pas besoin.

Dans l'inégalité : , utilise la propriété : (*)

Ensuite tu reportes ce nouveau résultat dans ta dernière inégalité et c'est terminé !

(*) Plus généralement on a :

[iamkepl]

Merci beaucoup pour ton aide PlaneteF !

Je trouve donc :
donc et on a bien .