(±TS) Aide pour un petit exercice.

invite39a34ef5 · 23/08/2012, 17h10

Bonjour,

J'aurais besoin d'une piste pour la résolution d'un exercice (issu de Calculus de Michael Spivak, qui ne donne pas les solutions de tous les problèmes).
Voici son énoncé :

Prouver que si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ min $\text{[math]}$ ,
alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Pour prouver que $\text{[math]}$ , j'ai raisonné par l'absurde :
$\text{[math]}$ ce qui est absurde. Donc $\text{[math]}$ .

Ensuite, j'ai réécrit la formule à démontrer :
$\text{[math]}$

D'autre part, j'ai remarqué que d'après l'énoncé, on avait :
$\text{[math]}$
Ce qui n'est pas très éloigné de la formule que l'on cherche à démontrer.
En revanche, je ne sais pas trop quoi faire maintenant, j'ai tenté de comparer $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ mais je n'ai pas réussi.
Merci d'avance de votre aide,

iamkepl

**PlaneteF** · 23/08/2012, 18h59

Bonsoir,

Envoyé par iamkepl

Pour prouver que $\text{[math]}$ , j'ai raisonné par l'absurde :
$\text{[math]}$ ce qui est absurde. Donc $\text{[math]}$ .

Non, en écrivant cela tu n'as absolument rien démontré, ... car si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ qui n'est pas toujours égal à $\text{[math]}$ !

Envoyé par iamkepl

Ensuite, j'ai réécrit la formule à démontrer :
$\text{[math]}$

C'est un bon début, mais comme dans la démonstration à faire précédemment, tu dois expliciter : $\text{[math]}$

invite39a34ef5 · 23/08/2012, 19h10

Merci pour ta réponse.
Si j'ai $\text{[math]}$ , cela ne signifie pas que j'ai $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ?

**PlaneteF** · 23/08/2012, 19h19

Envoyé par iamkepl

Merci pour ta réponse.
Si j'ai $\text{[math]}$ , cela ne signifie pas que j'ai $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ?

Oui c'est bon, ... en fait ta première rédaction était ambigüe sur la propriété que tu utilisais (car tu faisais un racourci), d'où ma remarque, ... mais justifié comme cela il n'y a plus d'ambiguité !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite39a34ef5 · 23/08/2012, 20h28

Merci. Pour la seconde partie de la question, voyant que je tournais en rond, j'ai pensé à utiliser le fait que $\text{[math]}$ pour reprendre l'inégalité de l'énoncé en divisant chacun de ses membres par $\text{[math]}$ , ce qui me donnerait :
$\text{[math]}$ d'une part
et $\text{[math]}$ d'autre part.
Mais ensuite, je ne sais plus trop quoi faire.

**PlaneteF** · 23/08/2012, 21h24

Envoyé par iamkepl

Merci. Pour la seconde partie de la question, voyant que je tournais en rond, j'ai pensé à utiliser le fait que $\text{[math]}$ pour reprendre l'inégalité de l'énoncé en divisant chacun de ses membres par $\text{[math]}$ , ce qui me donnerait :
$\text{[math]}$ d'une part
et $\text{[math]}$ d'autre part.
Mais ensuite, je ne sais plus trop quoi faire.

Tu as presque fini.

Ta première ligne de calcul est juste mais tu n'en as pas besoin.

Dans l'inégalité : $\text{[math]}$ , utilise la propriété : $\text{[math]}$ (*)

Ensuite tu reportes ce nouveau résultat dans ta dernière inégalité et c'est terminé !

(*) Plus généralement on a : $\text{[math]}$

invite39a34ef5 · 23/08/2012, 23h10

Merci beaucoup pour ton aide PlaneteF !

Je trouve donc : $\text{[math]}$
donc $\text{[math]}$ et on a bien $\text{[math]}$ .

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