exercice congruence (term s maths spé)

[invited409016b]

Bonjour à tous,
Je suis en terminale S et j'ai un exercice de spé maths à rendre lundi
Pouvez-vous m'aider?

On considère la suite (Un) d'entiers naturels définie par:
U0=14
U n+1=5Un -6

1) calculer u1, u2, u3 et u4
Quelle conjecture pouvez vous émettre concernant les deux derniers chiffres de l'écriture de Un?

2) Démontrer que pour tout n entier naturel,
U n+2 est congrus à Un (mod4)
Déduisez que pour tout entier naturel k,
U 2k est congrus à 2 (mod 4)
et U 2k+1 est congrus à 0 (mod 4)

3) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
2 Un = 5^(n+2) +3

4) Déduire que, pour tout entier naturel n,
2 Un est congrus à 28 (mod 100)

5) Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de Un suivant les valeurs de n.


J'ai déja fait la 1) on peut conjecturer que les deux derniers chiffres de Un varient de 14 à 64
Pour la 5, je pense que les deux derniers chiffres sont 14 quand n est impair et 64 quand n est pair mais je ne sais pas comment le prouver.

Pour le reste, je n'en ais aucune idée

Merci de votre aide.
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[invitecb373bbe]

Bonjour

pour le point 2) il faut partir de Un+2 = 5*Un+1–6 = 5(5*Un–6)–6 = 25*Un – 36
d'où Un+2 = 25*Un (mod 4) puisque 36 = 0 (mod 4)
or, 25 = 1 (mod 4), donc Un+2 = Un (mod 4).

La suite se fait par récurrence, U2+2 = U2 (mod 4) c'est vrai par ce qui précède (vrai pour k=2)
On suppose le résultat vrai pour k, c'est-à-dire U2k = 2 (mod 4) (hypothèse de récurrence)

Calculons U2(k+1) = U2k+2 = U2k (mod 4) = 2 (mod 4) (la dernière égalité étant l'hypothèse de récurrence)

Pour U2k+1, on reprend la définition : U2k+1 = 5*U2k – 6 (mod 4) = 5*U2k – 6 (mod 4) = 5*2 – 6 (mod 4) = 4 (mod 4) = 0


3) On vérifie que c'est vrai pour n = 0 et 1 (2*U0 = 5^2 + 3 vrai , etc.)

On suppose le résultat vrai pour n : 2*Un = 5^(n+2) + 3 et on calcule 2*Un+1 = 10*Un – 12 = 5*(5^(n+2) +3) – 12 = 5^(n+3) + 15 – 12

Au final, 2*Un+1 = 5^((n+1)+2) + 3, ce qu'il fallait démontrer...

4) il faut utiliser le fait que 5^n = 25 (mod 100) et le résultat ci-dessus

5) si n est pair, Un = 2 (mod 4) et si n est impair, Un = 0 (mod 4)
De plus, 2*Un = 28 (mod 100) mais on ne peut pas simplifier par 2 !

l'équation est équivalente au système 2*Un = 28 (mod 25) et 2*Un = 28 (mod 4), donc Un = 14 (mod 25) et 2*Un = 0 (mod 4)

au final, si n est pair : il faut résoudre le système
x = 2 (mod 4)
x = 14 (mod 25)

et si n est impair :
x = 0 (mod 4)
x = 14 (mod 25)

Si n est pair, la solution est 14
Si n est impair, la solution est 64 (théorème chinois ou par tâtonnement < 100 )