Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 2 sur 2

exercice congruence (term s maths spé)



  1. #1
    wuuw

    exercice congruence (term s maths spé)

    Bonjour à tous,
    Je suis en terminale S et j'ai un exercice de spé maths à rendre lundi
    Pouvez-vous m'aider?

    On considère la suite (Un) d'entiers naturels définie par:
    U0=14
    U n+1=5Un -6

    1) calculer u1, u2, u3 et u4
    Quelle conjecture pouvez vous émettre concernant les deux derniers chiffres de l'écriture de Un?

    2) Démontrer que pour tout n entier naturel,
    U n+2 est congrus à Un (mod4)
    Déduisez que pour tout entier naturel k,
    U 2k est congrus à 2 (mod 4)
    et U 2k+1 est congrus à 0 (mod 4)

    3) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,
    2 Un = 5^(n+2) +3

    4) Déduire que, pour tout entier naturel n,
    2 Un est congrus à 28 (mod 100)

    5) Déterminer les deux derniers chiffres de l'écriture décimale de Un suivant les valeurs de n.


    J'ai déja fait la 1) on peut conjecturer que les deux derniers chiffres de Un varient de 14 à 64
    Pour la 5, je pense que les deux derniers chiffres sont 14 quand n est impair et 64 quand n est pair mais je ne sais pas comment le prouver.

    Pour le reste, je n'en ais aucune idée

    Merci de votre aide.

    -----


  2. #2
    math4pad

    Re : exercice congruence (term s maths spé)

    Bonjour

    pour le point 2) il faut partir de Un+2 = 5*Un+1–6 = 5(5*Un–6)–6 = 25*Un – 36
    d'où Un+2 = 25*Un (mod 4) puisque 36 = 0 (mod 4)
    or, 25 = 1 (mod 4), donc Un+2 = Un (mod 4).

    La suite se fait par récurrence, U2+2 = U2 (mod 4) c'est vrai par ce qui précède (vrai pour k=2)
    On suppose le résultat vrai pour k, c'est-à-dire U2k = 2 (mod 4) (hypothèse de récurrence)

    Calculons U2(k+1) = U2k+2 = U2k (mod 4) = 2 (mod 4) (la dernière égalité étant l'hypothèse de récurrence)

    Pour U2k+1, on reprend la définition : U2k+1 = 5*U2k – 6 (mod 4) = 5*U2k – 6 (mod 4) = 5*2 – 6 (mod 4) = 4 (mod 4) = 0


    3) On vérifie que c'est vrai pour n = 0 et 1 (2*U0 = 5^2 + 3 vrai , etc.)

    On suppose le résultat vrai pour n : 2*Un = 5^(n+2) + 3 et on calcule 2*Un+1 = 10*Un – 12 = 5*(5^(n+2) +3) – 12 = 5^(n+3) + 15 – 12

    Au final, 2*Un+1 = 5^((n+1)+2) + 3, ce qu'il fallait démontrer...

    4) il faut utiliser le fait que 5^n = 25 (mod 100) et le résultat ci-dessus

    5) si n est pair, Un = 2 (mod 4) et si n est impair, Un = 0 (mod 4)
    De plus, 2*Un = 28 (mod 100) mais on ne peut pas simplifier par 2 !

    l'équation est équivalente au système 2*Un = 28 (mod 25) et 2*Un = 28 (mod 4), donc Un = 14 (mod 25) et 2*Un = 0 (mod 4)

    au final, si n est pair : il faut résoudre le système
    x = 2 (mod 4)
    x = 14 (mod 25)

    et si n est impair :
    x = 0 (mod 4)
    x = 14 (mod 25)

    Si n est pair, la solution est 14
    Si n est impair, la solution est 64 (théorème chinois ou par tâtonnement < 100 )

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. Maths SPE: congruence
    Par arthur45 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 2
    Dernier message: 16/11/2009, 20h03
  2. spé maths TS congruence et divisibilité
    Par Sacreebetuz dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 7
    Dernier message: 17/10/2009, 19h56
  3. spe maths congruence
    Par creme33 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 3
    Dernier message: 03/11/2008, 08h27
  4. Spé Maths : divisibilité et congruence
    Par Edwik dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 8
    Dernier message: 14/10/2008, 22h10
  5. [Spé Maths] Congruence et divisibilté
    Par etudiant456 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 4
    Dernier message: 09/10/2008, 16h38