équation cartésienne avec symétrie

[invite95c5cd5f]

voila un exercice que je n'arrive pas à faire
soit un plan P: x+y+z=0
et une droite D d'équations:
2x+y-2=0
5x+y-z-4=0
trouver l'équation cartésienne du plan P', symétrie orthogonale du plan P
par D

d'abord je parametrise:
x=t
y=2-2t
z=3t-2

x=t
L3+L2:z+y=t

on trouve une équation de D: x-y-z=0
de vecteur directeur u(1;1)

Soit M(x,y)E P, M'(x',y') son symetrique par rapport à D
alors le milieu de M'M E D et MM'.u=0
ce qui donne les équations:
(x+x')/2-(y+y')/2-(z+z')/2 ? =0
(x+x')+(y+y')=0
x+y+z=0

Je suis allé jusque la. je ne sais pas si c'est juste et je ne sais pas aller plus loin.
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[gg0]

Bonjour.

Au début, ça me va, puis tu écris :

on trouve une équation de D: x-y-z=0
de vecteur directeur u(1;1)

???????

Il fallait deux équations de plan pour définir la droite (vois-tu pourquoi ?), et toi tu trouves une seule équation. De plan, donc ce n'est pas l'équation d'une droite ! Et en plus un vecteur directeur à deux coordonnées. Dans l'espace ??

Donc tu as un système d'équations paramétriques de la droite, sers-toi de ce système pour trouver un vecteur directeur puis une condition sur les symétriques des points du plan P.

Cordialement.

[invite95c5cd5f]

j'ai voulu parametriser pour obtenir cette équation justement. j'ai vu sur d'autre site que lorsqu'on veut avoir une équation par symétrie orthogonale il y a une seule équation cartésienne. Mais sinon mon équation marche pour tout point j'ai vérifié.
parce que sinon comment faire un systeme par la suite? ça fait plus de 10 ans que j'ai pas fait de math et je comprends rien à tout ça. je n'ai pas de cours pour comprendre.

[invite95c5cd5f]

peux tu regarder mon autre post sur la rotation?, je ne sais pas si y'=-racine3*x' est juste.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite95c5cd5f]

bon j'ai réessayer avec une autre méthode que j'ai copié sur un site:

on a les points A(0,2,-2) et B(1,0,1) sur D.
un point M(x,y,z) du plan
on cherche H tel que H E D(AH colinéaire à AB) et HM orthogonal a AB.
une fois qu'on a H, on poseMM'=2MH (j'ai pas compris pourquoi)

AH=k.AB alors H(k,-2k+2,3k+2)

HM orthogonal à AB:
(x-k)-2(y+2k-2)+3(z-3k-2)=0
k=(x-2y+3z)/14

donc on a HM(x-(x-2y+3z)/14,y-2+2(x-2y+3z)/14,z-2-3(x-2y+3z)/14)

on pose MM'=2HM
(x-x'+y-y'+z-z')=2(x-(x-2y+3z)/14,y-2+2(x-2y+3z)/14,z-2-3(x-2y+3z)/14)
7(x-x'+y-y'+z-z')=14(x-(x-2y+3z)/14,y-2+2(x-2y+3z)/14,z-2-3(x-2y+3z)/14)
7(x-x'+y-y'+z-z')=14x-x+2y-3z+14y-28+2x-4y+6z+14z-28-3x+6y-9z
7(x-x'+y-y'+z-z')=12x+18y+8z-56
7(x'+y'+z')=19x+25y+15z-56

et apres je ne sais pas continuer

[invite95c5cd5f]

je me suis trompé: on a :

x'-x=2(x-(x-2y+3z)/14
y'-y=y-2+2(x-2y+3z)/14
z'-z=z-2-3(x-2y+3z)/14)
7(x'-x)=14x-x+2y-3z
7(y'-y)=7y-14+2x-4y+6z
7(z'-z)=7z-14-3x+6y-9z
7x'=20x+2y-3z
7y'=2x+10y+6z-14
7z'=-3x+6y+5z-14

est ce juste?

[gg0]

"une fois qu'on a H, on poseMM'=2MH (j'ai pas compris pourquoi)"
Fais un dessin (je suppose que ce sont des vecteurs).

Sinon, j'ai l'impression que tu as travaillé à l'envers : Tu ontiens x', y' et z' en fonction de x, y et z, mais ce que tu as c'est une relation entre x, y et z. Comment l'introduire ? Alors que si tu avais trouvé x, y et z zn fonction de x', y' et z' il te suffisait de les remplacer dans l'équation de P et c'était gagné.

En fait, tu as quasiment terminé. Nulle part tu n'as utilisé le fait que M(x,y,z) est dans le plan P. Or si N(x',y',z') est le symétrique de M, M est le symétrique de N. Donc il te suffit de dire que N est dans le plan P (facile à écrire, tu as l'équation de P et les coordonnées de N) et d'en déduire, en remplaçant, l'équation de l'ensemble des points M, ilage du plan P par la symétrie.
De plus, ton équation est directement écrite avec les lettres habituelles.

Bon travail !

[invite95c5cd5f]

ce que vous dites me dépasse un peu. pour faire simple, a partir de quelle étape il faut changer de méthode?
par ailleurs je ne vois toujours pas que faire de ce systeme:
7x'=20x+2y-3z
7y'=2x+10y+6z-14
7z'=-3x+6y+5z-14
on peut bien le mettre en fonction de x, y , z: cela donne
20x=7x'-2y+3z
10y=7y'-2x-6z+14
5z=7z'+3x-6z-5z+14
et apres comment resoudre un tel systeme?
par ailleurs dire que M appartient à P cela vient à dire qu'il faut rajouter l'équation x+y+z=0 non?

[gg0]

"ce que vous dites me dépasse un peu."
Relis, relis encore.

"pour faire simple, a partir de quelle étape il faut changer de méthode?" Je l'ai dit : à la fin, après.

Mais il faut faire un vrai effort de compréhension. pour expliciter encore ce qu'il y a à faire : On veut partir de l'équation de P pour obtenir celle de son image. Donc le coeur du problème est d'utiliser cette équation.

[invite95c5cd5f]

je reprends ce systeme:
20x=7x'-2y+3z
10y=7y'-2x-6z+14
5z=7z'+3x-6z-5z+14

et P: x+y+z=0 soit 20x+20y+20z=0 donc
(7x'-2y+3z)+2(7y'-2x-6z+14)+4(7z'+3x-6y-5z+14)=0
7x'-2y+3z+14y'-12x-12z+28+28z'+12x-24y-20z+56=0
7x'+14y'+28z'-12x-26y-29z+84=0
Je suis désolé je ne vois pas comment aller plus loin.

[gg0]

Evidemment,

tu as fait n'importe quoi ! (*)

Reprends sérieusement la question, en réfléchissant à ce que tu veux faire, au lieu d'essayer des calculs sans raisons.
Je t'ai donné une explication de méthode. Tu as le choix : La lire pour la comprendre et savoir ce que tu fais; ou continuer à faire semblant en calculant n'importe quoi.
Je ne te donnerai pas la solution, ton prof le fera. Moi je suis là pour te guider. Si tu agis intelligemment.

Cordialement.

(*) dans 7x'+14y'+28z'-12x-26y-29z+84=0 pourquoi ne pas remplacer encore x par (7x'-2y+3z)/20, y par (7y'-2x-6z+14)/10 et z par (7z'+3x-6z-5z+14)/5, puis recommencer, puis recommencer, ....

[invite95c5cd5f]

je n'ai pas de prof, sinon je ne serais pas la. Je suis un peu agé pour en avoir un. Au chomage depuis longtemps je vais passer des concours ou il y a des maths et parfois des questions en géométrie. Mais bon ça s'annonce difficile.

[gg0]

Tu n'iras pas loin ainsi.

T'attaquer directement à des exercices de géométrie analytique sans avoir vraiment appris les règles correspondantes n'est pas la bonne idée. le mieux est d'étudier un cours de géométrie analytique, en distinguant bien plan et espace.
La difficulté est que ce n'est plus enseigné sérieusement en lycée, et que les cours de prépas vont très (trop) vite, en supposant souvent pas mal de connaissances préalables. Mais tu peux déjà soit chercher sur le web, soit essayer de trouver des bouquins d'occasion des anciennes secondes, premières et terminales des années 90/90, et même voir si tu ne trouves pas un "que sais-je ?" chez ton libraire. Si tu as un gros libraire généraliste près de chez toi, tu peux aussi regarder les rayons de bouquins de maths.

Pour ton exercice, fais ce que je t'ai proposé : Maintenant que tu sais quelle relation il y a entre un point de coordonnées (x,y,z) et son symétrique de coordonnées (x',y',z'), écris que le second est dans le plan P et remplace x', y' et z' par leurs expressions en fonction de x, y et z.
Si tu ne comprends pas cela, c'est qu'il te manque des mots de base, des id&ées de base (ce qu'est une équation de plan, par exemple), et c'est à toi d'apprendre.

Cordialement.

[invite95c5cd5f]

rebonjour gg0. J'ai essayé de refaire comme vous disiez mais sans succes. Je ne sais pas comment transformer x' en x.
a la limite peu importe cette exercice, je cherche une méthode et comme vous l'avez dit je pars de bas. Cette exercice je l'ai copié d'apres ce site,
qui fournit un corrigé partiel, mais rien de complet: http://www.ilemaths.net/forum-sujet-310142.html
Visiblement la personne qui tentait de le résoudre avait les meme problemes que moi à la fin mais la réponse donnée ne m'a pas permis d'avancer.
J'ai cherché sur d'autres sites comment faire la symétrie d'un plan par un plan mais je n'ai trouvé aucun site qui donne une méthode, ni aucun exercice
corrigé totalement. Si vous pouviez me donner des références ce serait gentil.

[gg0]

"Je ne sais pas comment transformer x' en x." Moi non plus !

Et moi, je n'ai jamais parlé de ça !

Si tu ne veux pas faire ce que je propose, c'est ton choix, mais inutile de demander de l'aide, puisque tu ne te sers pas de ce qu'on te donne. Tu as manifestement des difficultés dans la manipulation du français ("transformer x' en x", "faire la symétrie d'un plan par un plan", ..) peut-être liées à un faible niveau de connaissances de la géométrie élémentaire et de la géométrie analytique, mais ça ne se règle pas par la lecture d'un corrigé d'exercice, surtout dans la prévision d'un concours : le sujet de concours sera original, les exercices n'auront jamais été posés, donc il faudra avoir compris comment on fait.

Je t'ai donné le maximum de pistes, je n'ai rien à ajouter, tant que tu n'auras pas essayé d'avancer toi-même, de ton propre chef ou avec mes indications (Précises sur le message précédent).

Cordialement.

[invite95c5cd5f]

je ne sais pas faire ça:
"Maintenant que tu sais quelle relation il y a entre un point de coordonnées (x,y,z) et son symétrique de coordonnées (x',y',z'), écris que le second est dans le plan P et remplace x', y' et z' par leurs expressions en fonction de x, y et z."

[gg0]

A quelle condition le point N(x',y',z') est-il un point de P ?

Si tu ne sais pas répondre à cette question, il faut reprendre les cours de lycée : équation d'une droite, d'un plan, d'un cercle, d'une courbe de fonction, ... Et comprendre enfin (car tu l'as "vu" autrefois) ce que c'est qu'une équation en géométrie (analytique).

[invite95c5cd5f]

j'ai fait un bac B et je n'ai pas le souvenir d'avoir vu ça (mais c'est bien vieux de toute façon). d'ou ma question...

[gg0]

Voyons !

Tu as fait une troisième et une seconde, et vu que l'équation d'une droite est la relation entre les coordonnées d'un point qui dit que le point est sur la droite. Et utilisé l'idée qui si un point est sur la droite, ses coordonnées vérifient l'équation. Tu as aussi rencontré en première/terminale B l'équation d'une courbe de fonction f : y=f(x).

Ici, tu as été capable de passer du système d'équation de la droite au système paramétrique sans savoir de quoi tu parlais ? Non, ce n'est pas crédible ! Soit tu as copié bêtement une réponse vue ailleurs, sans comprendre ce que tu faisais, soit tu te moques de moi !

L'équation de P est x+y+z=0
Donc N(x',y',z') est un point de P si :
On remplace avec :
x=(7x'-2y+3z)/20
y=(7y'-2x-6z+14)/10
z=(7z'+3x-6z-5z+14)/5
et on obtient ...
Qui est la relation qui dit qu'un point M(x,y,z) a son symétrique sur P, donc est sur le symétrique P' de P, donc c'est l'équation de P.

Cordialement.

NB : les maths c'est facile quand on apprend la signification des mots, les définitions et les théorèmes. Rien n'est facile à comprendre quand on ne sait pas de quoi ,ça parle !

[invite95c5cd5f]

pour le systeme paramétrique j'ai vu un exemple pour m'aider. d'ailleurs il ne sert à rien dans cet exercice.
je réfléchis a ce que vous venez de dire et quand j'aurais trouvé je reviens vers vous.

[invite95c5cd5f]

x'+y'+z'=0?

[invite95c5cd5f]

je crois avoir trouvé:
x=(7x'-2y+3z)/20
y=(7y'-2x-6z+14)/10
z=(7z'+3x-6z-5z+14)/5 correction: z=(7z'+3x-6y+14)/5
donc si x'+y'+z'=0
20x+10y+5z=7(x'+y'+z')-2y+3z-2x-6z+14+3x-6y+14=x-8y-3z+28
19x18y+8z-28=0
c'est juste ou c'est du n'importe quoi?

[gg0]

Je ne sais pas !

Tu n'as pas fait ce que je proposais, tu continues à faire des calculs n'importe comment, comme ça te fait envie; J'abandonne, tu n'es pas sérieux !

Rappel : Par symétrie par rapport à une droite, deux plans sont parallèles, donc on peut trouver une équation de P' qui s'écrit x+y+z+a=0

[invite95c5cd5f]

L'équation de P est x+y+z=0
Donc N(x',y',z') est un point de P si :
On remplace avec :

ok je continue votre phrase:
si x+y+z=0
donc on remplace:
(7x'-2y+3z)/20+(7y'-2x-6z+14)/10+(7z'+3x-6z-5z+14)/5=0
mais ça ne regle pas le probleme avec les x', y ' et z'

[invite95c5cd5f]

gg0 êtes vous la?

[invite95c5cd5f]

Pouvez m'aider à progresser dans cet exercice que je n'arrive toujours pas à finir.

[gg0]

Oui,

je peux t'aider si toi tu es raisonnable, et ne continues pas à écrire ce que tu écrivais. Si tu lis les phrases et les comprends (voir les miots qu'il y a dedans sans idée préconçues).
Pour l'instant, tu es dans une impasse, car tu veux continuer sur les calculs que tu faisais et qui n'aboutissent à rien.

Je t'ai proposé une méthode. On va y revenir, mais on repart à 0

Soir M un point de coordonnées (x,y,z). Quelles sont les coordonnées de son symétrique M'(x', y', z') par rapport à la droite D ?
Autrement dit, reviens au début, et trouve comment écrire x', y' et z' en fonction de x,y et z (uniquement, évidemment, sinon ça ne sert à rien)
En application : si M(1,2,3) quelles sont les coordonnées de M' ? Et quelles sont les coordonnées du symétrique de M' ?

A toi..

[invite95c5cd5f]

On cherche un point H sur D au milieu de MM' pour déterminer le symétrique M'(x',y',z') de M(x,y,z).
On va donc prendre A(0,2,-2) et B(1,0,1) sur D, avec x=0 et x=1 dans la 2eme équation.
Soit H appartient à D (AH colinéaire à AB) on doit avoir HM et HM' orthogonal à AB.
une fois H obtenu, on pose M'H=2M'M

ON CALCULE:
vecteur AB(1;-2;3)
AH=k.AB ce qui donne
xH=k
yH-2=-2k
zH+2=3k
H(k,-2k+2,3k-2)

on pose M'H=2M'M
k-x'=2*(x-x')
-2k+2-y'=2(y-y')
3k-2-z'=2(z-z')

k-x'=2x-2x'
-2k+2-y'=2y-2y'
3k-2-z'=2z-2z'

x'=-k+2x
y'=2k+2y-2
z'=2z-3k+2
pour M(1,2,3) on a M'(2-k,2+2k,8-3k)
si A(1,2,3); les coordonnées de A' sont: (2-k, 2+2k, 8-3k)
si B(0,2,1), les coordonnées de B' sont: (-k, 2+2k, 4-3k)
si C(1,0,0), les coordonnées de C' sont: (-k+2, 2k-2,-3k+2)
A'B'=-2,0,-4 A'C'=0,-4,-6
EQUATION CARTESIENNE
Pour trouver une équation du plan P', de la forme ax'+by'+cz'+d
il faut trouver D'(x',y',z') tel que A'D'=a A'B'+b A'C'
avec A'B'=-2,0,-4 A'C'=0,-4,-6
<=> x'-2+k=-2a
y'-2-2k=-4b
z'-8+3k=-4a-6b
<=> a=(-z'+8-3k)/4 -3/8 (-y'+2+2k)
b=(-y'+2+2k)/4
=>x'-2+k=-2[(-z'+8-3k)/4 -3/8 (-y'+2+2k)]
x'-2+k=1/2z'-4+3/2k+3/4y'+3/2+3/2k
x'-3/4y'-1/2z'+1/2-4/2k=0
avec M'(2-k,2+2k,8-3k) on trouve -3k-3=0 donc k=-1
Finalement on a
x'-3/4y'-1/2z'+5/2=0
Bon je crois que c'est faux de toute façon mais j'aurais essayé gg0.

[gg0]

Tu régresses !

Le 27 octobre, tu avais trouvé une relation donnant x', y' et z' en fonction de x,y et z (enfin presque, il y avait une toute petite transformation à faire.
Comme tu n'a pas l'air de comprendre le français ("donnant x', y' et z' en fonction de x,y et z "), je traduis : On veut un système
x'= ...
y'= ...
z'= ...
Où à la place des pointillés il y a des expressions qui comportent x, y et z, et pas d'autres lettres.
Il n'y a pas besoin d'une grande intelligence pour comprendre que c'est ainsi qu'on saura passer de M (qui est donné par x, y et z, et rien d'autre) à M' qui est défini si on connaît x', y' et z'.

Quand je dis que tu écris des calculs au lieu d'agir intelligemment, c'est pour ce genre de choses. Si tu ne comprends pas ce que tu fais sur ce genre de situation, tu ne feras rien de sérieux à ton concours. D'abord penser !

Je ne reprendrai pas ce genre d'explication d'une évidence. A toi d'utiliser ton intelligence.

Donc :

x'=-k+2x
y'=2k+2y-2
z'=2z-3k+2

ne sert à rien et

si A(1,2,3); les coordonnées de A' sont: (2-k, 2+2k, 8-3k)
si B(0,2,1), les coordonnées de B' sont: (-k, 2+2k, 4-3k)
si C(1,0,0), les coordonnées de C' sont: (-k+2, 2k-2,-3k+2)

est du n'importe quoi !! les coordonnées de A', B' et C' sont fixes, donc ne dépendent pas d'une variable k.

La suite est du calcul pour calculer, et ne m'intéresse pas.

A toi de bien faire ...

[invite95c5cd5f]

on a les points A(0,2,-2) et B(1,0,1) sur D. (avec x=0 et x=1 dans la 2eme équation)
un point M(x,y,z) du plan.
on cherche H tel que H appartient à D (AH colinéaire à AB) et HM orthogonal a AB.
une fois qu'on a H, on pose MM'=2MH

on a vecteur AB(1;-2;3)
AH=k.AB ce qui donne
xH=k
yH-2=-2k
zH+2=3k
H(k,-2k+2,3k-2)

HM orthogonal à AB:
Soient: HM (x-k ;y-2+2k;z+2-3k) et AB(1;-2;3)

alors:
HM.AB=0
<=>
(x-k)-2(y-2+2k)+3(z+2-3k)=0
x-k-2y-4k+4+3z+6-9k=0
x-2y+3z-14k=0
k=(-x+2y-3z)/-14
k=(x-2y+3z)/14

on pose MM'=2HM
soit: x'-x=2(x-k)
y'-y=2(y-2+2k)
z'-z=2(Z+2-3k)

-3x=-x'-2k
-3y=-y'+4k-4
-3z=-z'-6k+4

x=x'/3+2/3k
y=y'/3-4/3k+4/3
z=z'/3+2k-4/3

ON REMPLACE DANS (P) : x + y + z = 0
<=> x'/3+2/3k+y'/3-4/3k+4/3+z'/3+2k-4/3=0
x'/3 +y'/3 +z'/3 +4/3k=0
x'+y'+z'+4k=0

J'AI FAIT COMME VOUS AVEZ DIT EN REMPLACANT DANS L'EQUATION
MAIS JE NE SAIS PAS QUOI FAIRE AVEC LE K