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Calcul aire parabole



  1. #1
    victen

    Calcul aire parabole


    ------

    Bonjour à tous,

    Un problème me rend la tâche compliqué !

    On considère la fonction f définie sur R par f(x) = 1 - x^2 e Cf sa coure représentative dans un repère orthonormal. Le but est de déterminer la valeur de l'aire de la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, la courbe Cf et les droites d'équation x=0 et x=1. On divise le segment (0;1) en n segments. On note A(n) l'aire recherchée.

    L'aire A(n) cherchée est comprise entre l'aire Un, somme des aires des rectangles inférieurs et l'aire Vn qui est la somme des aires des rectangles inférieurs.

    Questions

    1) J'ai montré par récurrence que 1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2 = (n(n+1)(2n+1))/6 pas besoin d'y revenir

    2) Determiner Vn en fonction de n (rectangles supérieurs)Nom : forum_518227_1.png
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    3) Donner un encadrement de A(n) en fonction de n

    Il reste 3 questions par la suite que je suis incapable de resoudre sans les questions 2) et 3). Elles me débloqueraient le problème !

    Merci de votre aide

    -----

  2. #2
    numpo

    Re : Calcul aire parabole

    dessin1.JPG
    Bonjour, j'ai fait un joli petit dessin pour t'expliquer ^^
    Rappel :l'aire d'un rectangle = Longueur*largeur

    La longueur du premier rectangle tu peux la connaître (là où j'ai mis un point d'interrogation)

    Les largeurs des rectangles sont égales et tu peux les calculer : Tu sais qu'il y a n rectangles entre 0 et 1 (dans mon dessin il y en a que 5 mais c'est pour illustrer). Et la somme de toutes ces largeurs fait 1. (Dans mon dessin par exemple (où j'ai que 5 rectangles), si j'appelle l1 la largeur du premier rectangle, l2, celui du deuxième etc. : l1+l2+l3+l4+l5=1, or la largeur est la même donc l1+l2+l3+l4+l5 = 5*l = 1. (avec l la largeur d'un rectangle). Fais la même chose avec n rectangle.)

    Les longueurs des autres rectangles, tu peux également les calculer à l'aide de la fonction f :
    Je te fais un exemple avec les 5 rectangles de mon dessin: la première longueur est L1=1. et je sais que la largeur d'un rectangle fait l=1/5=0.2 (j'ai isolé l car je sais que 5*l = 1). donc l'abscisse du point A est 1/5 (ou 0.2). Donc la longueur du deuxième rectangle est L2= f(1/5) = 1- (1/5)² = 1 - 1/25 = 24/25 = 0.96.
    De même le point B a pour abscisse 2*(1/5) = 2/5 = 0.4. La longueur L3 = f(2/5) = 21/25 = 0.84.

    Finalement, l'aire de tous ces rectangles (dans mon exemple) fait Vn= L1*l1 + L2*l2 + ... + L5*l5 = L1*l + L2*l + ... + L5*l = l*(L1+L2+...+L5) = (1/5)*(f(0)+f(1/5)+...+f(4/5)) = (1/5)*(1-0² + 1-(1/5)² + 1-(2/5)² +...+ 1-(4/5)² = (1/5)*(5 - (0²+1²+2²+...+4²)/5² ) A présent tu utilises la question 1 pour trouver 1²+2²+...+4² et tu pourras terminer le calcul

    Voilà, à ton tour maintenant, au lieu d'avoir 5 rectangles tu en a n. Et le raisonnement est le même pour Un.
    Tu trouveras Vn et Un. Donc Un<=An<=Vn
    Images attachées Images attachées  
    Dernière modification par numpo ; 07/11/2012 à 12h51.

  3. #3
    victen

    Re : Calcul aire parabole

    Merci beaucoup je tente pour n rectangles alors !

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