Exo Fonction reciproque ?

[invitefe58f3be]

Bonsoir ,

je ne sais pas ce qu'est une fonction réciproque du coup j'ai du mal avec cet exercice. quelqu’un peut m'expliquer ?

1)a) Déterminer la fonctions réciproque de la fonction f définie sur [0,+inf] Par F(x)= x²

1)b) A l'aide de la calculatrice , observer que les courbes de f et g sont symétriques par rapport à ne droite delta qu'on précisera .

2)b on considère la fonction définie sur [-1;1] par :

F(x) = x/(1+|x|)

a) Démontrer que pour tout réel y appartenant à [-1;1], l’équation f(x)=y admet une unique solution.
b) Déterminer la fonction réciproque de la fonction f.

Merci d'avance pour l'aide
-----

[invitefe58f3be]

je ne sais pas comment déterminer une fonction réciproque ....

[sammy93]

Bonsoir.
Est-ce que tu connais le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire le théorème de la bijection ?

[PlaneteF]

je ne sais pas ce qu'est une fonction réciproque du coup j'ai du mal avec cet exercice. quelqu’un peut m'expliquer ?

La notion de fonction réciproque s'applique aux bijections :

Soit une bijection de vers . La fonction réciproque (ou bijection réciproque) de , que l'on note , est la fonction de vers qui à tout élément de fait correspondre l'unique antécédent de par la fonction de . Cet antécédent existe et est unique parce que est une bijection (si n'était pas surjective l'existence ne serait pas assurée, et si n'était pas injective, l'unicité ne serait pas assurée non plus).

Donc par définition :

De cette définition il vient que est une bijection de vers , et


Concrètement, lorsque tu as une fonction de vers , pour trouver la fonction réciproque, pour tout élément de , tu cherches en fonction de , en t'assurant bien que est unique et qu'il appartient bien à .


Exemple : Soit la fonction de vers /

Soit , cherchons / , soit , ce qui donne

Ainsi est bien unique, et puisque , on a bien ,

et donc au final :

[A voir en vidéo sur Futura]

[boisdevincennes]

C'est un exercice difficile et je pense que vous n'y arriverez pas.
http://www.routard.com/images_conten...2/pt111443.jpg
Je vous donne ma correction:
on a y=f(x), on cherche x=f-1(y)
AVEC F(X)=X²
La réciproque suppose que la fonction est bijective. Or celle-ci ne l'est pas: f(-1)=f(1)=1.
DONC il faut restreindre son domaine de définition.
f: [0;+∞[ -> [0;+∞[
Y=X²<=>RacineY=Racine X²<=>|X|=RacineY<=>X=RacineY
ON A DONC f-1(y)=RacineY
Je laisserais les spécialistes corriger cette démonstration qui me parait exemplaire.

[boisdevincennes]

on peut aussi prendre l'autre intervalle
f: [-∞;0[ -> [0;+∞[
Y=X²<=>RacineY=Racine X²<=>|X|=RacineY et on s'arrete la car X est Négatif je crois

[boisdevincennes]

1)b) A l'aide de la calculatrice , observer que les courbes de f et g sont symétriques par rapport à ne droite delta qu'on précisera .
pour le 2 je te le dis sans calculette: les deux droites passent pas 0,0 et 1,1 on resout alors le SYSTEME
0y=0x+b b=0
1y=1x+b y=x
Voila l'equation de ta droite

[boisdevincennes]

F(x) = x/(1+|x|)
il faut démontrer que pour tout C dans [-1 1] F(x)=C à un seul antécédent. Ce qui revient à dire que F est injective (j'ai appris ça grace au spécialiste PLANETEF)
Il faut démontrer que SI F(x)=F(x') alors x=x'
mais la je sais pas trop en fait
on le voit sur un graphique mais ça sent mauvais à démontrer
http://www.mathe-fa.de/fr.plot.png?u...737a5.85652320

[boisdevincennes]

on va essayer de dériver le bouzin:
F(x) = x/(1+|x|)
F'(x)=((1+|x|-x*(X/|x|))/(1+|x|)²
=(1+|x|-(X²/|x|)/(1+|x|)²
=(1+|x|-|X|)/(1+|x|)²
=(1+|x|-|X|)/(1+|x|)²
=1/(1+|x|)²
on a F'(x)>0 la fonction est Strictement croissante
En plus elle est continue donc bijective
Apres on étudie ses limites et on voit que en -inf ça tend vers -1 et en +inf vers 1
Donc pour tout réel y appartenant à ]-1;1[, l’équation f(x)=y admet une unique solution.
J'AI CORRIGE LES BORNES: l'énoncé est probablement faisandé.

[boisdevincennes]

fonction réciproque de la fonction f.
on a démontré que il y a bijection donc f R>]-1 1[ a une réciproque f-1 sur son domaine de définition
par contre la je sais pas comment faire.

[gerald_83]

Bonjour

C'est un exercice difficile et je pense que vous n'y arriverez pas.

par contre la je sais pas comment faire.

[boisdevincennes]

gerald c'est moi qui ai tout fait la. y a la derniere question qui est balaise.

[gerald_83]

Re,

C'était de l'humour

Justement ce n'est pas à toi de tout faire mais il faut plutôt aiguiller Rangero à progresser par lui même. Tout faire ce n'est pas un service à lui rendre.

[boisdevincennes]

je pense pas que l'utilisateur rangero etait capable de deriver un truc comme ça. j'ai trouvé que |X|'=|X|/X sur un autre site spécialisé. Meme la fonction reciproque c'etait difficile moi je suis allé sur un autre site pour comprendre tout ça et trouver le domaine de définition. Et meme pour le domaine sur -inf 0 je suis pas sur de moi.
PAR contre je veux dire au spécialiste PLANETEF que je ne suis pas d'accord avec lui.
" Est-ce que tu connais le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire le théorème de la bijection ? "
La il a tort: le théorme des valeurs intermediaires dit que pour une fonction continue sur a,b, alors pout tout u entre f(a),f(b) alors il existe au moins un c entre a,b tel que f(c)=u. Si la fonction est injective ce c est unique.

[PlaneteF]

fonction réciproque de la fonction f.
on a démontré que il y a bijection donc f R>]-1 1[ a une réciproque f-1 sur son domaine de définition

D'après l'énoncé la fonction est définie sur , ... donc est une bijection de vers .

par contre la je sais pas comment faire.

Et "tu ne sais pas comment faire" quoi ?

[boisdevincennes]

ah oui planeteF. ben ça m'a trompé de voir que c'etait aussi définie de R sur ]-1 1[
ben je ne sais pas comment faire la derniere question pardi, j'ai fait tout le reste.

[boisdevincennes]

bon on change et on dit que f: [-1;1[ -> [-1/2;1/2[ a une réciproque f-1 puisque c'est une bijection. pas besoin de restreindre le x
mais apres je sais pas comment faire

[PlaneteF]

PAR contre je veux dire au spécialiste PLANETEF que je ne suis pas d'accord avec lui.
" Est-ce que tu connais le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire le théorème de la bijection ? "
La il a tort: le théorme des valeurs intermediaires dit que pour une fonction continue sur a,b, alors pout tout u entre f(a),f(b) alors il existe au moins un c entre a,b tel que f(c)=u. Si la fonction est injective ce c est unique.

Mais qu'est-ce que tu racontes là ??

Primo, ce n'est pas moi qui ait rédigé ce message, mais sammy93 ...

Secondo, il pose une question, et je ne vois absolument pas où est le problème dans sa question ???

[boisdevincennes]

il pose une question à rangero. j'avais pas vu sammy93 mais PlaneteF, c'est la biere qui fait son effet.

[PlaneteF]

il pose une question à rangero (...)

Oui, ... j'ai enlevé le "te" dans "il te pose une question" ...

... Et sinon, c'est quoi le blème avec sa question

[boisdevincennes]

ben ce n'est pas un corollaire, LA BIJECITON COMPLETE LE THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES. j'ai lu ça sur un site spécialisé.

[boisdevincennes]

Sinon la question difficile c'est trouver la réciproque de F(x) = x/(1+|x|)

[PlaneteF]

ben ce n'est pas un corollaire, LA BIJECITON COMPLETE LE THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRES. j'ai lu ça sur un site spécialisé.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...e_la_bijection --> Lis la première ligne

Sinon la question difficile c'est trouver la réciproque de F(x) = x/(1+|x|)

Chronomètre en main, 10 secondes si tu remarques que la fonction est impaire et donc idem pour (propriété facile à démontrer),

... 30 secondes sinon


--> Exprime en fonction de .

[boisdevincennes]

y=x/1+|x|
x=y+y|x| la je vois pas comment enlever le |x|

[invitefe58f3be]

on étudie les deux cas de la valeur absolu

pour Y>0 et Y<0


X=y/1-y pour Y>0
X=y/1+y pour Y<0


par contre je ne comprend toujours pas la question 2) a)

j'ai essayé de dériver avec XCAS mais sa me donne : (1/(abs(x)+1)+x*(-sign(x))/(abs(x)+1)^2)....

je dit juste que f définit en [-1;1] f est bijective en [-1/2 ; 1/2] ? donc une seule solution ?

[boisdevincennes]

F'>0 alors f est monotone et apres tu dis que c'est continu alors c'est bijectif. Alors selon le Theoreme des Valeures intermediaires pour c dans ab il y a f(c) =l compris entre f(a) et f(b)

[boisdevincennes]

RANGERO: comment vous arrivez à ça:
X=y/1-y pour Y>0
X=y/1+y pour Y<0

[boisdevincennes]

pour justifier que c'est une unique solution tu dis que puisque c'est bijectif alors c'est injectif: pour tout f(c) il y a un unique c

[invitefe58f3be]

y=x/(|x|+1)

pour x > 0 y>0

y=x/(x+1)

x=y/(y+1)

or pour x <0 y<0

y=x/(-x+1)
x=y/(1-y)

[invitefe58f3be]

ok
Merci pour votre aide boisdevincennes
Merci pour votre Aide à tous

Bonne journée!