Exploiter un tableau ( fonction exponentielle)

[invitec1f5507d]

Voila j'ai un exercice à faire sur les fonctions exponentielles et les tableaux de variation . Je l'ai commencer et j'aimerais avoir votre avis sur mes réponses..

Voici le sujet :

On donne le tableau de variation d'une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [2;15]
On note f' sa dérivée sur l'intervalle [2;15]
On appelle C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé
On suppose de plus que f(5)=0

Consigne :

1) Donner a l'aide du tableau une équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 3 ?

---> Je fais f'(a)(x-a)+f(a) = 0(x-3)+6
= 6 C'est la bonne réponse ?

2) Quel est le nombre de solutions de l'équation f(x)=4 dans l'intervalle [2;15] ?

----> Il y'en a seulement une je pense f(15) = 4 d'aprés le tableau

3) Soit g la fonction définie sur [2;15] par g(x)=e^f(x). Calculer g(5)

---> Je pense à : g(5)=e^f(5)
= e^0
=1

Voila j'ai imprimé le tableau de variation pour que ce soit plus lisible ! , merci d'avance !!
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[invite621f0bb4]

Salut !

1) Le résultat est bon, (la droite y=6) et la démarche est bonne aussi je suppose (si on ne te donne pas la fonction en tout cas)

2) Une seule ? Es-tu sûr que la droite passe une seule fois par le point d'ordonnée 4 ?

3) Ca m'a l'air correct aussi

[invitec1f5507d]

Oh merci de m'avoir répondu . Tu pourrais m'aider pour la question 2 ? comment je pourrait savoir combien de fois la droite passer par le point d'ordonné 4 ?

[invite621f0bb4]

T'es bien d'accord que la dernière ligne du tableau (celle avec les flèches quoi ^^) représente l'ordonnée de f (et sa courbe) ?

Dans ce cas, qu'observes-tu pour les valeurs f(2), f(3) et f(10) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec1f5507d]

Ben que f(2)=-20
f(3)=6
f(10)=-5

[invite621f0bb4]

Ok, donc pour passer des points d'ordonnée -20 à 6, par quelle ordonnée la courbe passe-t-elle obligatoirement ?

[invitec1f5507d]

Par 0 ... ?

[invite621f0bb4]

Oui... Mais c'est pas vraiment la valeur qui nous intéresse...

Es-tu d'accord qu'on pourrait écrire dans la case de droite sur la dernière ligne : f(x) ?

Alors dans ce cas, tous les chiffres à côté correspondraient bien aux images en fonction de x.
Par exemple on aurait f(x)=-20 si x=2
Et f(x) = 6 si x=3 etc...

Donc f(x) passe par une infinité de points entre les deux, dont un qui nous intéresse particulièrement pour répondre à la question...

[invitec1f5507d]

f(x)=4 !!

[invite621f0bb4]

Evidemment
De la même manière, que peux*tu dire sur l'intervalle [3;10] ?

Il faudra bien préciser que la fonction est continue

[invitec1f5507d]

ben sur [3;10] f repasse en dessous de 0 pour atteindre un minimum locale f(10)=-5

[invitec1f5507d]

je dois dire quoi alors concretemnt pour repondre a la question ?

[invite621f0bb4]

Donc si elle passe de f(x)=6 à f(x)=-5, elle passe par f(x)=... ?

je te laisse rédiger et je te corrigerais.

[invitec1f5507d]

elle passe par f(x)=4 ..

[invitec1f5507d]

Comme la fonction est continue il y'a au moins 3 solutions à l'équation f(x)=4 . En effet , sur l'intervalle [2;3] f(2)=-20 et f(3)=6 De plus comme f(x) passe par une infinité de points entre les deux variations de la fonction f on peut supposer que la fonction passe par 4 . Par ailleurs sur l'intervalle [3;10] nous sommes dans le même cas de figure la fonction étant décroissante sur celui-ci est passant par une infinité de point donc f(x)=4 . Enfin sur [10;15] nous avons une solution a l'équation : f(15) étant égale a 4 . Voila voila

[invite621f0bb4]

Comme la fonction est continue il y'a au moins 3 solutions à l'équation f(x)=4 . En effet , sur l'intervalle [2;3] f(2)=-20 et f(3)=6. On en déduit que l'équation f(x)=4 est vérifiée. Par ailleurs sur l'intervalle [3;10] nous sommes dans le même cas de figure : la fonction étant décroissante et passant de f(x)=6 à f(x)=-5, on en déduit que f(x)=4 est vérifié . Enfin sur [10;15] nous avons une solution à l'équation : f(15) étant égale a 4, l'équation est vérifiée .

J'ai corrigé deux trois trucs. Le fait que la courbe passe par une infinité de points n'est as à mentionné, c'était pour que t'aider à comprendre

Après étant juste élève je ne peux pas dire si une rédaction est correcte ou pas. En tout cas on te comptera bon pour celle-ci, mais on pouvait peut-être faire plus court.
(Genre : sur f est continue. Or :
elle croit strictement sur [2;3] et f(2)<4, f(3)>4, on en déduit que l'équation f(x)=4 a une solution.
De même, elle décroit strictement sur [3;10] et f(3)>4,f(6)<4, donc f(x) a une solution.
Enfin, f(15)=4.

Donc l'équation a trois solutions distinctes sur [2;15])

mais la tienne est plus détaillée je pense

[invitec1f5507d]

Merci !