Etude Signe d'un fonction trigo , besoin d'aide

[invitef9326507]

Bonjour j'ai besoin d'aide pour mon dm ,

Alors voilà f(x) =sinx/ 2+cosx
f'(x) =1+2cosx/ (2+cosx)²


Il faut que j'etudie le signe de 1+2cosx sur [0;pi] Je bloque completement , quelle est la methode svp ?
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[invite04b0ac11]

Bonsoir,

Dans ces genres de questions une méthode consiste à résoudre l'équation f'(x)=0 dans l'intervalle d'étude...puis de travailler par encadrement. Cette technique repose sur le fait qu'une fonction continue sur un intervalle où elle ne s'annule pas est toujours du même signe (positif ou négatif)... Ainsi je t'aides en te disant que tu travaillera par encadrement sur les intervalles [0;2pi/3[ et ]2pi/3;pi] ....

Remarque: Une façon de faire mais qui ne plaît sans doute pas aux professeurs est de calculer une valeur de f' dans un intervalle où elle ne s'annule pas, de regarder le signe de cette valeur et donc d'après ce que j'ai dit tu en déduis le signe de f' dans l'intervalle étudié.

[invitef9326507]

Donc si je resous f(x)=0
je trouve comme solution -1/2 , la fonction est donc décroissante sur [0;pi] ?

j'ai vraiment du mal avec la trigonométrie :/

[invite04b0ac11]

* f'(x) et non pas f(x) je présumes ?

je trouve comme solution -1/2

NON la solution est 2pi/3 car tu cherche bien la valeur de x et pas la valeur du cosinus (tu n'as pas fini une fois arrive à cosx=-1/2 )

la fonction est donc décroissante sur [0;pi]

NON
N'oublie pas que les variations de f dépendent du signe de f'....tu viens de montrer que f' s'annule en 2pi/3 ... comment connais-tu de suite les variations de f ?
C'est à ce moment que tu vas travailler par encadrement sur les intervalles [0;2pi/3[ et ]2pi/3;pi] .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8d4af10e]

la solution n'est pas -1/2
cos(x)=-1/2 => x= ?

[invitef9326507]

Donc positif sur [0;2pi/3[ et negatif ]2pi/3;pi] j'ai comprs que la valeur de x pour cosx=-1/2 est 2pi/3 mais à partir de là je n'arrive pas a lire sur le cercle quand se sera positif et quand se sera negatif

[invite04b0ac11]

Donc positif sur [0;2pi/3[ et negatif ]2pi/3;pi]

Comment le sais-tu ? Mais oui au final c'est cela je crois.
Tu ne peux pas lire sur le cercle justement...raisonne par encardrement (deux cas à traiter): 1°) Si x appartient à [0;2pi/3[, donc 0<=x<2pi/3 (en transformant en inégalité) .. puis tu utilises le fait que la fonction cosinus est strictement décroissante sur [0;2pi/3[ , donc tu as cos(0)>=cosx>cos(2pi/3) ... tu continus puis tu fais le second cas et tu as fini...
Bonne chance

[invitef9326507]

Merci bcp !!!