Variations fonction - dérivée

[invite37aef25f]

Bonjour à tous,
Je dois trouver les variations de la fonction f(x)=2 sqrt(x²-2x+2) + x
Pour cela, je dois calculer la dérivée : f'(x)=(2x-2)/(sqrt(x²-2x+2)) + 1=(sqrt(x²-2x+2) + 2x - 2)/(sqrt(x²-2x+2))
Après je dois étudier le signe, mais je bloque avec la racine. (jusque là on a fait des exos avec des polynômes, ce qui est beaucoup plus simple)
Je pense que l'astuce est toute bête mais je ne vois vraiment pas.
Merci de votre aide !
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[invite427a7819]

Bonjour,

En effet la racine complique un peu le choses. Mon conseil, puisque vous voulez connaître le signe du numérateur de la dérivée (la racine sera positive), ce serait de le redériver... Vous aurez ainsi ses variations, et avec un peu de chance (et vous en avez) vous pourrez conclure sur son signe.

Pour ce qui est de l'astuce, remarquez que x² - 2x + 2 = (x-1)² + 1, cela devrait vous aider (pour la dérivation, et pour l'étude du signe de cette dérivée).

[gg0]

On peut remarquer que pour x>=1, la dérivée est positive. Le signe étant celui du numérateur, il reste à voir, pour x<1 quand on a . En repérant au passage les cas d'égalité. Cette inéquation se résout assez facilement (isoler la racine carrée, élever au carré en teant compte des signes).

Bon travail !