Exercice de complexes
Bonjour,
J'ai un exercice de complexes qui me donne du fil à retordre:
Donc on a une équation Z²-Z+1=0
1- résoudre l'équation: on trouve comme solutions: Z1=[1- (racine3)i]/2 et Z2= [1+(racine3)i]/2
2- Montrer que quelque soit le naturel n : Z1^n+Z2^n
3- Définir l'ensemble des valeurs du naturel n tel que Z1^n+Z2^n =1
Les deux dernières questions je vois pas trop ce su'il faut faire j'ai essayé la formule de Moivre pour les arguments mais sans succès
Un peu d'aide svp
merci
Comme très souvent avec les complexes, il faut choisir entre la forme algébrique x + i y et la forme trigonométrique avec rho et théta.
Presque toujours, quand on doit calculer des puissances n, c'est la forme trigonométrique qui s'impose. C'est le cas ici.
Ouii, j'ai d'abord commencé par écrire Z1 et Z2 sous leur forme trigonométrique mais je n'arrive tjrs pas avec la puissance n , surtout pour la question où il faut trouver =1
Bonjour.
Qu'as-tu trouvé ?
j'ai essayé la formule de moivre, mais mes arguments s'annulent je trouve z1=2e(ipi/4) et z2=2e(-ipi/4) donc lorsque je mets a la puissance n je trouve n=0 :S
Il faudrait commencer par trouver la forme trigonométrique ou exponentielle de ces z1 et z2. Tu as vu en cours comment trouver module et argument. Applique !
Cordialement.
NB : Ni l'un ni l'autre n'a comme argument pi/4, ni comme module 2. Représente-les, pour voir.
C'est simple : quand il s'agit de faire une multiplication ou, plus encore, une élévation à la puissance, il vaut en général mieux être sous forme trigonométrique. Qu'as-tu trouvé pour z1 et z2 ?
Inversement, quand il s'agit de faire une addition, on s'en sort mieux en algébrique, ce qui est le cas pour ta somme z1^n + z2^n.
Il faut savoir jongler avec ces 2 formes et choisir la meilleure.
Jean-Paul :
"je trouve z1=2e(ipi/4) et z2=2e(-ipi/4)" (Poussin2) !!! je passe sur la suite qui n'est pas mieux.
Attendons que Poussin2 se décide à appliquer les règles de ses cours.
Cordialement.
