Problème de récurrence

[benbossman]

Bonjour à tous chers fourumer/forumeuse

Je m'adresse à vous suite à un problème que j'ai rencontré lors d'un (long) DM de maths à faire pour la rentrée, cela concerne le raisonnement par récurrence.
Ceci concerne ce sujet (je pense que c'est plus simple sous cette forme pour que l'on puisse voir l'intitulé en entier):
*** Image chez un hébergeur externe ***

Mon problème se situe au niveau de la 3ème question, de la deuxième partie plus précisément. J'ai essayé, bien sûr en vain, de partir de l'hypothèse de récurrence, enfin bref pas mal de choses qui n'ont aboutit à rien au final.

En espérant qu'une âme charitable veuille bien m'aider lors de ces dernier jours du mois d’Août,
Benoît
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[PlaneteF]

Bonjour,

Mon problème se situe au niveau de la 3ème question, de la deuxième partie plus précisément. J'ai essayé, bien sûr en vain, de partir de l'hypothèse de récurrence, enfin bref pas mal de choses qui n'ont aboutit à rien au final.

Ben tout simplement tu "injectes" la 2e inégalité dans la 1ère et le résultat est immédiat (5 secondes) !

[benbossman]

En gros, il faut que je remplace par +, et ce dans l'inéquation juste au dessus?

[mickan]

Bonjour,

par récurrence, supposons le résultatétabli pour n : u_n<1/3+1/(3*2^n-1)
alors u_n+1<u_n/2+1/6 (premiere partie de la question)
on utilise l'hypothese de récurrence:
u_n+1<(1/2)*(1/3+1/(3*2^n-1))+1/6
u_n+1<2/6+1/(3*2^(n+1)-1)
la propriété est établi pour n+1.
Reste à initialiser la récurrence (facile).

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

En gros, il faut que je remplace par +, et ce dans l'inéquation juste au dessus?

Cela n'a pas l'air de te sembler évident ?! ... Vois-tu au moins pourquoi tu as "le droit" de faire cela ?

[benbossman]

Oh la qu'est ce que je peut être stupide parfois, j'avais fait comme tu me l'a dit et comme mickan l'a gentillement fait, mais à la j'obtenait "un+1<2/6+1/(6*2(n-1)", et j'avais pas vu le lien entre les deux! Sinon ce qui me gêne c'est de remplacer par quelque chose qui lui est supérieur et pas égal, parce que je pensais que cela pouvait changer le sens de l'inégalité de , je sais pas si vous me comprenez. En tout cas merci beaucoup!

[PlaneteF]

Sinon ce qui me gêne c'est de remplacer par quelque chose qui lui est supérieur et pas égal, parce que je pensais que cela pouvait changer le sens de l'inégalité de , je sais pas si vous me comprenez.

Si je puis me permettre, c'est quand même important que tu ne sois pas "gêné" comme tu le dis, et que tu comprennes pourquoi tu as le droit de faire cela :

Tu as : certaine quantité

donc

et donc

Et puisque :

on a bien :

... Ce qui revient bien à injecter dans la 1ère inégalité de la question !

[PlaneteF]

Pour compléter mon pécédent message : A noter aussi que l'on voit bien qu'il n'y a pas de potentiel changement d'inégalité (comme tu le pensais).