Fonction continue aux extrémité de son ensemble de définition

[Lepton]

Bonjour à tous !

J'ai une question assez pointilleuse.
Soit f:[0;1]->[0;1] telle que f(x)=x²+2x-5. Peut-on dire que f est continue sur [0;1] ?
D'emblée on pourrait affirmer que oui étant donné que toute fonction polynomiale est continue sur ℝ, donc en particulier sur [0;1]

Mais pourtant, d'après mon cours, f est continue sur [0;1] ssi elle est continue pour tout x∈[0;1].
Or, f ne semble pas respecter la définition de la continuité en 0 et en 1.
En 1 par exemple, pour que f y soit continue, il faut que : limite à gauche=limite à droite=f(1) (et que tout ça existe).

Mais ici parler de limite de f à droite en 1 n'a pas de sens car f n'est pas définie pour x>1 ! Donc on ne peut pas dire que la limite de f à droite existe (et encore moins qu'elle est égale à f(1) du coup ...)

Merci d'avance de m'éclairer
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[The_Anonymous]

Bonsoir!

Mes propos sont ceux d'un élève, ne prenez pas ce que je dis comme vérité absolue.

Je vais quand même essayer de répondre à votre question tout à fait clair dont je comprends l'ambiguïté.

Bonjour à tous !

J'ai une question assez pointilleuse.
Soit f:[0;1]->[0;1] telle que f(x)=x²+2x-5. Peut-on dire que f est continue sur [0;1] ?
D'emblée on pourrait affirmer que oui étant donné que toute fonction polynomiale est continue sur ℝ, donc en particulier sur [0;1]

Mais pourtant, d'après mon cours, f est continue sur [0;1] ssi elle est continue pour tout x∈[0;1].
Or, f ne semble pas respecter la définition de la continuité en 0 et en 1.
En 1 par exemple, pour que f y soit continue, il faut que : limite à gauche=limite à droite=f(1) (et que tout ça existe).

Mais ici parler de limite de f à droite en 1 n'a pas de sens car f n'est pas définie pour x>1 ! Donc on ne peut pas dire que la limite de f à droite existe (et encore moins qu'elle est égale à f(1) du coup ...)

Merci d'avance de m'éclairer

Mon avis est que la fonction est bien continue aux points 0 et 1, donc elle l'est sur tout l'intervalle.

Je ne sais pas si c'est la seule définition que vous avez vu de la continuité, mais avec celle-ci, je dirais que la limite à gauche existe et donc que la limite (en général) vaut bien -5 en 0 et -2 en 1.

Sinon, je vous propose une autre définition qui est la suivante :

 Cliquez pour afficher

Soient un intervalle, une fonction pour laquelle tel que et .

Alors est continue en si et seulement si

, tel que .

Avec cette définition, on voit que par exemple la fonction est continue en 0 (je vais essayer d'en donner la preuve).

 Cliquez pour afficher

Prenons .

On a donc que , donc , donc la fonction est bien continue en 0.

Mais je suis sûr qu'il y a moyen de voir ça en une ligne grâce à une propriété que j'ai encore omise.

J'espère que ceci vous aura aidé.

Cordialement

[PlaneteF]

Bonsoir,

J'ai une question assez pointilleuse.

Tu as la réponse à ta question dans le lien suivant en page 10 dans le texte surligné en bleu :

http://www.apprendre-en-ligne.net/MADIMU2/ANALY/ANALY2.PDF


Cordialement

[PlaneteF]

 Cliquez pour afficher

Prenons .

On a donc que , donc , donc la fonction est bien continue en 0.

Dans la définition de la continuité, doit être , donc d'entrée de jeu il y a problème dans ce que tu écris.

Ensuite en dehors de ce problème que je te laisse régler, je trouve ta rédaction sibylline. Il faut structurer ton raisonnement. En plus l'usage d'équivalences dans ce genre de démonstration est particulièrement douteux, mais difficile d'être plus précis tellement ton truc n'est pas clair.

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[acx01b]

c'est pour ça qu'on préfère définir la continuité comme ça :

D est le domaine de définition de f

f continue en ssi pour toute suite à valeurs dans D telle que , on a

(cette définition marche aussi en dimension N)

[Lepton]

Bonsoir,



Tu as la réponse à ta question dans le lien suivant en page 10 dans le texte surligné en bleu :

http://www.apprendre-en-ligne.net/MADIMU2/ANALY/ANALY2.PDF


Cordialement

D'accord, donc il suffit de dire que si elle est continue à gauche ou à droite quand c'est une extrémité, c'est ok ?

Donc pas besoin de faire appel à une autre définition comme le suggèrent les autres ?

[The_Anonymous]

Bonsoir,

Dans la définition de la continuité, doit être , donc d'entrée de jeu il y a problème dans ce que tu écris.

Ensuite en dehors de ce problème que je te laisse régler, je trouve ta rédaction sibylline. Il faut structurer ton raisonnement. En plus l'usage d'équivalences dans ce genre de démonstration est particulièrement douteux, mais difficile d'être plus précis tellement ton truc n'est pas clair.

Cdt

Je vois que mon raisonnement est plutôt mal reçu, mais je comprends l'erreur que j'ai commise entre êta et epsilon.

Je suis d'accord que les deux dernières (en comptant l'avant-dernière manquante) équivalences devraient être remplacées par des implications, mais les autres mes semblent justifiées.

Je retourne étudier la clarté de mes "trucs" ^^'

Cordialement

[topmath]

Bonjour à tous premièrement faut distinguer deux choses continuités sur un intervalle I et continuité en un point pour ce qui est continuité de f sur [0,1] oui elle est bien continue , maintenant on ne peut pas parler de continuité à gauche et à droite pour les extimités de I le cas de car tout simplement f n'est pas définie à gauche de et à droite de , par contre f est aussi continue en en utilisant une définition simple et adéquate déjà proposer dans le lien fournie par PlaneteF que je le salut en passant dans ce cas précis le prolongement par continuité des fois est utile .

http://www.apprendre-en-ligne.net/MA...ALY/ANALY2.PDF

Cordialement

[topmath]

Encore pour finir avec la continuité que vous évoquez en un point y' a cette très belle discussion la continuité (suite) .

Cordialement

[PlaneteF]

Je suis d'accord que les deux dernières (en comptant l'avant-dernière manquante) équivalences devraient être remplacées par des implications, mais les autres mes semblent justifiées.

Ben en fait il suffit d'une seule équivalence utilisée abusivement pour faire écrouler tout un raisonnement !

Maintenant dans ce cas précis je faisais une remarque plutôt globale qui consiste à considérer que ce type de démonstration demande de trouver une condition suffisante pour rendre une implication vraie. Donc dans ce cas quand je vois un raisonnement composé uniquement d'équivalences, je me dis tout simplement au premier coup d'oeil : "Ouh là, ça ne sent pas bon cette histoire" . Après, on peut regarder dans le détail, mais ici le que tu as choisi n'est même pas conforme à la définition, donc de toute manière tout ce qui peut suivre s'écroule de fait.

Cdt

[Lepton]

Merci pour vos réponses.