Caractéristique d'un Corps - Nombres d'éléments inversibles

[The_Anonymous]

Bonjour tout le monde ! =D

Aujourd'hui, j'ai deux questions que voici ^^

La première concerne la caractéristique d'un corps. J'ai comme définition (je vous l'indique pour information) que si est un corps et que est son unité (élément neutre pour la multiplication) et qu'on définit , alors la caractéristique de est le plus petit entier strictement positif tel que . Si un tel n'existe pas in dit que la caractéristique est nulle.

Maintenant, je dois démontrer deux affirmations :

"Si est un corps de caractéristique positive , est un nombre premier"

et

"Si est un corps de caractéristique nulle, est infini (a un nombre infini d'éléments)."

Pour la première affirmation, j'ai pour exemple les ensembles , où est un nombre premier. Je comprends bien la situation : forcément , et est le plus petit nombre (non nul) qui vérifie l'égalité à zéro. Mais le problème, c'est que je ne sais pas comment démontrer cette propriété de manière générale, je veux dire pour tout ensemble de caractéristique plus grande que zéro. Premièrement, je ne sais pas s'il existe d'autres ensembles que ayant une telle caractéristique, mais surtout par quelle propriété ou par quel théorème montrer cela.
Merci d'avance pour les pistes que vous pourrez me donner.

Pour la deuxième affirmation, je vois bien que des ensembles comme vérifient l'affirmation. Mais à nouveau, je pense qu'il existe bien d'autres ensembles vérifiant cette affirmation (là n'est pas le problème), mais du coup, je ne sais pas trop comment m'y prendre... Les ensembles sont comme croissants, il n'y pas ce genre de "cycle" comme dans les ensembles (désolé de l'expression, mais j'espère que vous voyez de quoi je parle). À nouveau, je ne sais pas quel genre de raisonnement entreprendre.


Ma deuxième question concerne l'ensemble (ensemble des nombres réels de la forme ). On me demande combien d'éléments sont inversibles dans cet ensemble.
J'ai alors calculé l'inverse d'un élément comme et j'ai trouvé . Je vois déjà qu'il faut que ou (en gros l'élément 0 n'est pas inversible).
Mais comme l'inverse doit aussi appartenir à l'ensemble, je dirais que et que doivent être des nombres entiers, donc qu'il doit exister et des nombres entiers tels que et . Mais avec ces conditions, je n'arrive pas à déterminer quels éléments sont inversibles et donc combien il y en a.
Je cherche encore mais je ne trouve rien de plus. Merci beaucoup pour toute l'aide que vous pourrez fournir

Cordialement
-----

[gg0]

Bonjour.

Pour ce genre de question, il vaut mieux aller dans le forum du supérieur.

Pour la première question, tu peux procéder par l'absurde, en supposant que K est un corps de caractéristique n avec n non premier. Puis tu traduis le "non premier".

Pour la deuxième (caractéristique nulle), suppose ton corps fini. Puis tu regardes la suite 1,2.1, 3.1, 4.1, ...
Elle va se répéter puisqu'elle n'a qu'un nombre fini de valeurs possibles.

Pour la deuxième partie, j'aurais plutôt esayé de trouver c et d de façon que On obtient deux relations, dont une est une relation de Bézout et l'autre une relation de proportionalité (un peu cachée).

Cordialement.

[The_Anonymous]

Bonjour.

Pour ce genre de question, il vaut mieux aller dans le forum du supérieur.

Pour la première question, tu peux procéder par l'absurde, en supposant que K est un corps de caractéristique n avec n non premier. Puis tu traduis le "non premier".

Pour la deuxième (caractéristique nulle), suppose ton corps fini. Puis tu regardes la suite 1,2.1, 3.1, 4.1, ...
Elle va se répéter puisqu'elle n'a qu'un nombre fini de valeurs possibles.

Pour la deuxième partie, j'aurais plutôt esayé de trouver c et d de façon que On obtient deux relations, dont une est une relation de Bézout et l'autre une relation de proportionalité (un peu cachée).

Cordialement.

Bonjour

Ah, d'accord, je penserai à poster ma prochaine question de le forum du supérieur ^^

Alors pour la première question, première affirmation, je suppose alors que K est un corps de caractéristique n , avec n non premier. Donc, je peux écrire mon nombre , avec s et r plus grand que 1.

Cela implique donc que .

Donc, K admet un nombre plus petit que n qui vérifie , donc K n'est pas de caractéristique n.

Donc, si K est de caractéristique n plus grande que 0, n est un nombre premier.

J'ai pas mal de difficulté avec les démonstrations par l'absurde mais celle-ci me semble correcte.

Pour la deuxième affirmation, je ne comprends juste pas bien votre suite (je crois que je confonds points et parenthèses) : le premier élément est 1 et le deuxième est 2,1 (ou 2.1) et ensuite 3,1 ou 3.1 après 4,1 (4.1) etc mais alors pourquoi au début 1 et pas 1,1 (1.1) ? (Il ne me semble pas que la suite est 1,2 1,3 1,4 etc...?)
Enfin, je suppose que mon corps K possède un nombre fini d'élément, et je regarde votre suite ^^
Mais ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi est-ce qu'elle se répéterait ? Je veux dire, on peut continuer jusqu'à 238746,1 et comme l'ensemble est fini, il y a un moment où le dernier élément arrive et après l'ensemble est fini, donc je ne comprends pas pourquoi cela implique que la suite se répète...
Mais en attendant que je comprenne pourquoi la suite se répète, je suppose cela et donc cela implique que l'ensemble admette un nombre tel que donc la caractéristique n'est pas nulle.

Donc, par l'absurde, si K est infini, alors la caractéristique est nulle.

J'espère à nouveau que la conclusion de la démonstration par l'absurde est correcte.

(Si vous pouviez me donner plus d'indications concernant son fonctionnement et pourquoi elle se répète, je vous en serais très reconnaissant )

Pour la deuxième question, je crois que j'ai utilisé ces deux relations pour trouver mon inverse ^^

En effet, j'ai fait . J'ai résolu ce système et j'ai trouvé mon inverse, mais je pense que ce sont les deux relations sur lesquelles vous vous arrêtez pour les utiliser.

Je ne connaissais pas la relation de Bézout, mais j'imagine que vous parlez de du Théorème de Bachet-Bézout (ax+by=pgcd(a,b)) dont le corollaire est que ax+by=1 si et seulement si a et b sont premiers entre eux.
Je comprends alors qu'il faut, pour qu'un élément soit inversible, que a et b soient premiers entre eux.

Vous parlez alors d'une relation de proportionnalité "un peu cachée" et donc je cherche dans "bc+ad=0", mais je sèche... Je vois que cela peut donner des tableaux comme

1________|__bc/d + a
d___|___0

(Pardonnez-moi la mise en page).

Je ne comprends en quoi cette relation peut m'aider et comment l'utiliser.

Merci d'avance pour tous vos conseils et votre aide.

Cordialement

[gg0]

1) " ." ???
Je comprends l'équivalence, pas la suite. Quelle règle utilises-tu ?
De plus, ce n'est pas mais
2) "je ne comprends juste pas bien votre suite " ?? C'est toi qui as introduit une notation n.1; je l'utilise ...
Regarde de qui se passe dans le corps {0,1,2,3,4} muni de l'addition et la multiplication modulo 5.
3) C'est bien Bachet-Bézout. Pour la proportionnalité, remarque que (a,b) n'est pas nul, par exemple supposons a non nul (*). La relation bc+ad=0 donne d=-(b/a) c qui marque une proportionnalité de c et d par rapport à a et -b. mais déjà sous la forme bc=-ad, et sachant que a et b sont premiers entre eux, on voit que c est divisible par a et d par b (lemme de gauss).

Cordialement.


(*) en fait, on peut montrer qu'il n'est pas nul; par l'absurde.

[A voir en vidéo sur Futura]

[The_Anonymous]

1) " ." ???
Je comprends l'équivalence, pas la suite. Quelle règle utilises-tu ?
De plus, ce n'est pas mais
2) "je ne comprends juste pas bien votre suite " ?? C'est toi qui as introduit une notation n.1; je l'utilise ...
Regarde de qui se passe dans le corps {0,1,2,3,4} muni de l'addition et la multiplication modulo 5.
3) C'est bien Bachet-Bézout. Pour la proportionnalité, remarque que (a,b) n'est pas nul, par exemple supposons a non nul (*). La relation bc+ad=0 donne d=-(b/a) c qui marque une proportionnalité de c et d par rapport à a et -b. mais déjà sous la forme bc=-ad, et sachant que a et b sont premiers entre eux, on voit que c est divisible par a et d par b (lemme de gauss).

Cordialement.


(*) en fait, on peut montrer qu'il n'est pas nul; par l'absurde.

Bonsoir!

1) Ce fut conclusion tirée beaucoup trop hâtivement que d'affirmer cette implication. Et je comprends pourquoi multiplication et "point" sont différents. Comme K est un corps, je dirais qu'on peut effectuer (distributivité). Mais après, j'avoue ne pas trop savoir quoi en tirer d'autre... Même en restant à , je ne vois pas quoi faire...

2) Pardonnez mon incompréhension, j'ai pris vos points pour des virgules et non pour des multiplications ^^'

Dans le corps {0, 1, 2, 3, 4} modulo 5, je vois que par exemple [2+3] = [5] = [0], et donc comme [5] . 1 = 0, et que 5 est le plus petit élément plus grand que zéro vérifiant cette égalité, alors 5 est la caractéristique de ce corps.

Je comprends alors pourquoi elle se répète comme elle a un nombre fini d'éléments. Mais alors puis-je finir la démonstration par l'absurde en disant donc que si K est fini, la caractéristique est plus grande que 0, et donc si K est infini, la caractéristique est nulle?

3) Je comprends maintenant et donc je sais finalement que pgcd(a,b)=1, a|c et b|d. J'ai beau réfléchir, je ne trouve pas de manière de décompter le nombre d'éléments inversibles... En utilisant le fait qu'a et b sont premiers entre eux, cela me donne un critère mais comme on ne sait pas s'il y a une infinité de nombres premiers, je ne sais pas comment aboutir et j'ai l'impression que a|c et b|d donnent des conditions sur comment sera l'inverse mais pas vraiment sur comment doit être l'élément inversible... Je rame un peu, je ne vois sûrement pas l'évidence, je suis désolé...

Je vous remercie de m'aider!

Cordialement

[gg0]

Bonjour.

1) est une équivalence à prouver. Il ne s'agit pas de la distributivité car sauf si K est ou un de ses surcorps, la loi "." ne se confond pas avec la multiplication dans K.
Mais le produit nul de la fin devrait te faire réagir !!!
2) Maintenant que tu as vu, il reste à rédiger une preuve, car une intuition n'est pas une preuve, ni un exemple.
3) Tout d'abord, il y a une infinité de nombres premiers (connu depuis au moins 2300 ans) et même une infinité de couples de nombres premiers entre eux. Attention, rien ne dit que a et b sont des premiers ! Le lemme de Gauss donne effectivement la divisibilité, que tu peux exploiter.

Bon travail !

[The_Anonymous]

Bonjour.

1) est une équivalence à prouver. Il ne s'agit pas de la distributivité car sauf si K est ou un de ses surcorps, la loi "." ne se confond pas avec la multiplication dans K.
Mais le produit nul de la fin devrait te faire réagir !!!
2) Maintenant que tu as vu, il reste à rédiger une preuve, car une intuition n'est pas une preuve, ni un exemple.
3) Tout d'abord, il y a une infinité de nombres premiers (connu depuis au moins 2300 ans) et même une infinité de couples de nombres premiers entre eux. Attention, rien ne dit que a et b sont des premiers ! Le lemme de Gauss donne effectivement la divisibilité, que tu peux exploiter.

Bon travail !

Merci de ces conseils, je les regarde avec attention et essaye de terminer mes exercices.

Cordialement