exercices sur la dérivation

[invite8143042e]

Merci de bien vouloir m'aider et me donner des pistes pour réussir à résoudre ces deux exercices.

Exercice 1:

1°) Résoudre dans [0;+l'infini[ l'équation : x - 10√x + 5 = 0. (on pourra se ramener à une équation du second degré).

2°)Un vaisseau spatial, Fighter 2014, apparaît à l'écran d'un jeu vidéo par le coin inférieur gauche et le traverse en restant sur la courbe d'équation y=√x pour x E ]0;10]. Ce vaisseau doit détruire une cible C, représenté par la point de coordonnées (5;5); chacun de ses tirs est tangent à sa trajectoire.

Déterminer la position exacte du vaisseau spatial à partir de laquelle il pourra détruire la cible C. (voir fichier annexe)

Exercice 2:

La fonction g est définie sur [0;3[ par g(x)=(x√x + 1)/(x-3)

1°) La fonction g est-elle dérivable en 0 ? Justifier votre réponse et interpréter graphiquement.

2°) a) Justifier la dérivabilité de g sur ]0;3[ puis calculer g'(x)

b) Montrer que g'(x) a le même signe que [(√x)/2](x-9) -1

c) En déduire le sens de variation de g sur ]0;3[

d) Dresser le tableau de signe.
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[invite8143042e]

Pour l'exercice 1, la 1ère question, j'ai trouver comme solutions : 5-2√5 et 5+2√5. Est-ce correct ?

[PlaneteF]

Bonsoir,

Pour l'exercice 1, la 1ère question, j'ai trouver comme solutions : 5-2√5 et 5+2√5. Est-ce correct ?

Non, ... car ce sont les solutions trouvées pour la nouvelle inconnue du changement de variable, pas pour l'inconnue !

Cordialement

[invite8143042e]

J'ai compris mon erreur et je me demande si x1=(5-2√5)² et x2=(5+2√5)² sont les bonnes solutions pour x-10√x + 5 = 0 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

J'ai compris mon erreur et je me demande si x1=(5-2√5)² et x2=(5+2√5)² sont les bonnes solutions pour x-10√x + 5 = 0 ?

Oui, ... mais il ne faut pas les laisser sous cette forme !


Cdt

[invite8143042e]

je trouve alors x1=45-20√5 et x2=45+20√5.
Cependant si on résoute f(x1), on obtient -1.64*10^-12, ce qui est différent de 0. donc la solution x1 est impossible !
Est-ce bon ?

[PlaneteF]

je trouve alors x1=45-20√5 et x2=45+20√5.
Cependant si on résoute f(x1), on obtient -1.64*10^-12, ce qui est différent de 0. donc la solution x1 est impossible !

Nan mais franchement j'espère que tu rigoles en disant cela !!?

[invite8143042e]

ben non, mais je ne sais pas du coup si les 2 solutions sont correctes !

[PlaneteF]

ben non, mais je ne sais pas du coup si les 2 solutions sont correctes !

Les questions qu'il faut te poser sont les suivantes :

1) Pour trouver x₁ et x₂, est-ce que tu as pu raisonner par équivalences de bout en bout ?

Dans ce cas x₁ et x₂ sont tous les deux solutions de l'équation (tu peux toujours vérifier que ces 2 solutions marchent juste pour voir si tu ne t'es pas trompé, mais formellement ce n'est pas nécessaire).

2) Ou bien as-tu été obligé de mettre au moins une implication dans ton raisonnement ?

Dans ce cas il faut vérifier si x₁ et x₂ sont solutions (et pas avec une calculatrice !)


Cordialement

[invite64320a4c]

Salut,

Avant de te lancer dans cet exercice, pourquoi ne pas revoir préalablement ton cours ? A priori tu n'as pas assimilé ce dernier et certaines méthodes (changement de variable) que l'on voit dans le chapitre des polynomes du second degré ne sont pas maitrisées.

[invite8143042e]

Pour trouver x1 et x2, est-ce que tu as pu raisonner par équivalences de bout en bout ?
Dans ce cas x1 et x2 sont tous les deux solutions de l'équation (tu peux toujours vérifier que ces 2 solutions marchent juste pour voir si tu ne t'es pas trompé, mais formellement ce n'est pas nécessaire).

J'ai effectivement raisonner au maximum :

f(x)=0 avec f(x)=x-10√x+5
posons √x=x et x=x²
on a ainsi x²-10x+5=0

x²-10x+5=0 a pour solutions x1=5-2√5 et x2=5+2√5

Etant donné que l'on a posé √x=x;
on a:
√x1=5-2√5 <=>(√x1)²=(5-2√5)²<=>x1=(5-2√5)²<=>x1=45-20√5
√x2=5+2√5 <=>(√x2)²=(5+2√5)²<=>x2=(5+2√5 )²<=>x2=45+20√5

Je ne sais pas si mon raisonnement est correct et si x1 et x2 sont bon?

[PlaneteF]

posons √x=x et x=x²

Depuis quand fait-on des changements de variable en gardant le même nom de variable ??! ... D'abord formellement c'est faux, et ensuite rien de mieux pour s'embrouiller !

Il faut faire les choses proprement et bien donner les domaines de définition des variables que l'on utilise.

Donc la première chose à signaler, c'est le domaine de définition de la variable à savoir

Ensuite on pose : en précisant bien que , et pas autre chose, pas , ... parce qu'il faut que pour une valeur de corresponde une et une seule valeur de , et réciproquement.

Du coup, maintenant, et uniquement maintenant parce que l'on a précisé correctement les domaines de définition, on a le droit d'écrire : , avec une équivalence entre l'équation en et celle en .

Ensuite tu enchaines.

Cdt

[invite8143042e]

on a ainsi t²-10t+5=0 ?

[invite8143042e]

Par contre, mon domaine de définition est [0+l'infini[

[PlaneteF]

Par contre, mon domaine de définition est [0+l'infini[

Domaine de définition de quoi ?

[invite8143042e]

c'est pour x-10√x+5=0, on doit le résoudre dans [0+l'infini[. Mais pour t, je marque comme domaine R* ?

[PlaneteF]

c'est pour x-10√x+5=0, on doit le résoudre dans [0+l'infini[. Mais pour t, je marque comme domaine R* ?

Tu as lu mon message#12 ??! ... Quand je dis "lu", c'est "vraiment lu" !

[invite8143042e]

Oui, dsl.
donc après on cherche les solutions de t²-10t+5=0, ce qui donne t1=5-2√5 et t2=5+2√5.
Et je fais comment pour la suite ?

[PlaneteF]

donc après on cherche les solutions de t²-10t+5=0, ce qui donne t1=5-2√5 et t2=5+2√5.

Et bien déjà tu vérifies que t₁ et t₂ appartiennent bien au domaine de définition de l'inconnue t ...

... et ensuite tu "repasses en x" (façon de parler).

[invite8143042e]

t1=5-2√5 et t2=5+2√5 appartiennent bien au domaine de définition.
Ensuite je met t1 et t2 au carré pour revenir à x ?

[PlaneteF]

Ensuite je met t1 et t2 au carré pour revenir à x ?

Tu peux même ruser en écrivant :

, et puisque , on a donc , ce qui simplifie le calcul

[invite8143042e]

Ok. Et donc x1 et x2 sont les solutions de x-10√x+5=0 ?

[PlaneteF]

Ok. Et donc x1 et x2 sont les solutions de x-10√x+5=0 ?

Si tu poses cette question, cela veut dire que tu n'as pas compris l'objet du message#12. Relis attentivement ce message, et cela répondra à ta question !

[invite8143042e]

Donc x-10√x+5=0 a pour solutions x1=45-20√5 et x2=45+20√5.

[invite8143042e]

Mais par contre, je n'ai toujours pas compris la question 2. Si vous pouvez me l'expliquer. Merci

[PlaneteF]

Si tu poses cette question, cela veut dire que tu n'as pas compris l'objet du message#12.

D'ailleurs dans ce message, lire "inconnue" à la place de "variable".

Donc x-10√x+5=0 a pour solutions x1=45-20√5 et x2=45+20√5.

C'est effectivement ce que tu avais trouvé, mais le raisonnement et la rédaction c'était pas çà

N.B : C'est "x²" et pas "x" dans ta citation.

Mais par contre, je n'ai toujours pas compris la question 2. Si vous pouvez me l'expliquer. Merci

I need to go.

@+

[PlaneteF]

N.B : C'est "x²" et pas "x" dans ta citation.

Erratum : Non çà c'est OK, ... oublie cette remarque

[invite51d17075]

bjr Planète,
@Jaredleto,
si tu lis l'énoncé : il est dit, chacun des tir est tangent à la trajectoire.
ça te donne une idée ?

[PlaneteF]

bjr Planète,

Salut ansset, ... bon là j'y vais vraiment !

[invite8143042e]

bonjour ansset.
Pour la 2, et avec votre indice, j'ai pensée trouver 1 équation de la tangente (notée (T)) à (Cf) au point C d'abscisses 5 et ensuite de chercher le point commun entre (T) et (Cf).
Est-ce une bonne idée ?