Fonction croissante 1S

[invite1d9652c5]

Bonjour,

J'ai un exercice dans lequel il faut démontrer que la fonction racine carrée r : x --> √x est croissante sur [0 ; + l'infini[

Voici ce que j'ai fait : Soit x un nombre, √x sa racine carrée . F est la fonction définie sur l'intervalle I [0; + l'infini[, f est croissante dans I si et seulement si
pour tout réel x et √x appartenant à I, avec √x<x, alors F(√x)< F(x). La fonction est donc croissante sur I.

Déjà je pense que c'est loin d'être bon, il doit manquer des choses, et si on choisit cet intervalle c'est parce que √x est toujours positive c'est ça ? Merci de
votre aide
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[invite5756bcb3]

Bonjour,

Tu fais une confusion dans la compréhension de la fonction.

La fonction est celle qui, partant de x fournit

on écrit soit x ->
ou


donc c'est f(x) qui est la fonction racine, donc le résultat. Ce n'est pas une AUTRE fonction.

Dans ce cas là, appliquer f(x), c'est donc appliquer la fonction racine. Par exemple, f(9) sera égale à soit 3

Pour démontrer qu'elle est croissante, le principe général est en revanche bien de montrer que pour deux nombres x1 et x2 tels que x2 soit plus grand que x1, alors f(x2) est plus grand que f(x1). Donc ici que

On le voit sur la courbe : si elle est croissante, plus on prend un x grand, vers la droite, plus le f(x) (le y) est grand aussi.

Ensuite l'intervalle est lié aux valeurs possibles que peut prendre x pour qu'on puisse appliquer la fonction (et pas son résultat). Il n'est possible de prendre la racine que d'un nombre positif

[Mateo_13]

Bonjour,

il faut démontrer que :

Si 0 < a < b alors racine(a) < racine(b).

Cordialement,
--
Mateo.
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[invite5756bcb3]

Petite indication : une fois posée l'inégalité correcte, pense à utiliser l'expression conjuguée

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1d9652c5]

Merci beaucoup de votre aide ... donc si j'ai bien compris, il faut prendre deux réels et démontrer que si x2>x1 alors racine de x2>racine de x1 et ainsi la fonction et croissante, et ça s'arrête là ? Au risque de paraître stupide comment utilise t-on l'expression conjuguée ?

[invite5756bcb3]

C'est cas un un classique à connaitre.

Il faut réussir à retrouver x2 > x1 à la fin alors qu'on a des racines.

Une fois que tu as posé l'inégalité, tu passes tout à gauche pour avoir ...>0

quand on a et qu'on veut se débarrasser des racines, on multiple par le conjugué, c'est à dire par

Et ici, c'est une inéquation, qui indique que la quantité à gauche est positive. Comme des racines sont toujours positives donc la somme de racines aussi. Le fait de multiplier un nombre positif (ce que dit l'inéquation) par une quantité positive donne toujours qlqchose de positif. Donc l'inéquation reste correcte.

Tu vois alors apparaitre une identité remarquable que je te laisse développer pour supprimer les racines.

(rq : on fait souvent la même chose pour supprimer des racines au dénominateur d'une fraction par exemple. On multiplie par le conjugué pour faire la même chose, mais là sans oublier de multiplier le numérateur par la même quantité. Bon, on se retrouve avec les racines au numérateur, mais souvent ça aide à poursuivre)

[Mateo_13]

Salut Lari,

Il faut réussir à retrouver x2 > x1 à la fin alors qu'on a des racines.

On suppose au départ que x2 > x1 > 0. (Il faudra utiliser cette inégalité pour conclure).

On veut étudier le signe de (et démontrer qu'il est positif).
et pour faire cela, on le multiple par , qui est positif, donc cela ne change pas son signe.

On conclue en utilisant la supposition de départ.

Amicalement,
--
Mateo.
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[invite5756bcb3]

C'est sûr ! Mais moi j'aime bien "avec les mains"... !!!

d'autant plus que le préalable était compris et posé par l'impétrant(" si x2>x1 alors racine de x2>racine de x1 ")...