Suite par récurence

[invitec3ee68cd]

Bonjour j'ai un exercice ou plutôt une question qui me pose problème.
Soit la suite u définie sur N par u0=3 et pour tout entier n :
Un+1= (4Un-2)/(Un+1)

1) Dresser le tableau de variations de la fonction f définie sur ]-1;+inf[ par f(x)=(4x-2)/(x+1)
Donc ça c'est fait et je trouve que la fonction f est croissante.

2) Démontrer par récurrence que pour tout entier n, Un>2
Question faite aussi.

3) La suite u est-elle monotone ?
Là je bloque complètement j'ai regarder sur internet, mais je ne comprend absolument pas comment faire.
Merci de votre aide.
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Tout simplement en procédant par récurrence et en utilisant la stricte croissance de . Se fait en une seule ligne, sans aucun calcul.

Cordialement

[invitec3ee68cd]

ok pour la récu, cependant y a une autre méthode possible en faisant un+1-un et je n'arrive pas avec cette méthode.

[PlaneteF]

Et ben tu calcules en fonction de et tu montres que cette quantité est strictement négative en utilisant le fait que


Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3ee68cd]

Sauf que j'arrive pas a déterminer Un ..

[PlaneteF]

Sauf que j'arrive pas a déterminer Un ..

... Mais déterminer pour quoi faire ?? ... On sait que , cela suffit !

[invitec3ee68cd]

enfaite j'ai la réponse mais je comprend pas les étapes pour arriver jusque là ... excusez moi ^^

[PlaneteF]

Ben qu'est-ce que tu ne comprends pas ?!

[invitec3ee68cd]

comment passer de Un+1-Un à (-(Un)²+3Un-2)/(Un+1)

[PlaneteF]

comment passer de Un+1-Un à (-(Un)²+3Un-2)/(Un+1)

Ben tu remplaces par son expression en fonction de !!

[invitec3ee68cd]

ah mais oui j'suis bête... je pensais qu'il fallait exprimer un en fonction de un+1 enfaite faut juste faire Un+1-Un= ((4un-2)-(Un(Un+1))/(Un+1) ....

[PlaneteF]

2 remarques à propos de la correction proposée dans ton bouquin :

1) Je trouve dommage que pour la question#3 il ne soit pas utilisé pleinement les propriétés de la fonction vues précédemment et qui permettent de démontrer le résultat avec zéro calcul et quasi-instantanément. Là cette fonction n'est utilisée qu'à moitié.

2) Pour la démonstration de qui est proposée, la justification par la croissance de ne suffit pas, il faut préciser stricte croissance.

Cordialement

[invitec3ee68cd]

Oui cest cest vrai pour la question 3 mais bon cest possible qu'on le voit en cours apres, et pourquoi ca ne suffit pas a la question 2?

[PlaneteF]

Si n'est "que" croissante, te permet de conclure que , mais pas que

Cdt

[invitec3ee68cd]

il faudrait faire comment du coup ? Et j'ai une question quand on écrit un+1=f(un) f(un) est bien en abscisse et un+1 en ordonnée ?

[PlaneteF]

Et bien on évoque la stricte croissance de , au lieu de la croissance.

Cdt