Suite définie par U0 > 0

**naruto34** · 15/09/2014, 16h10

Bonjour,

Je bloque à la question, Étudier la suite définie par $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

Je vois pas vraiment comment faire avec le $\text{[math]}$ , pour l'instant j'en suis à 3 cas (Supposition) :

$\text{[math]}$ , Croissante et convergente vers 2
$\text{[math]}$ , Constante $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , Croissante et vers l'infinie

Si vous pouvez m'aiguiller sa serai sympa

Merci par avance pour vos réponse

**gg0** · 15/09/2014, 17h57

Ben ... il ne te reste plus qu'à prouver tes affirmations. Dans le premier cas, tu pourras justifier que Un<2.

Tu peux évidemment utiliser le sens de variation de f(x)=1+x²/4.

Cordialement.

NB : Avec un U0 négatif, on se ramène immédiatement au cas précédent puisque U1 sera positif.

**naruto34** · 16/09/2014, 22h16

Merci d'avoir répondu,

du coup pour le 1er cas et pour le 2eme je suis passé par la récurrence
mais pour le 3eme cas je vois pas trop comment le démontré

**PlaneteF** · 16/09/2014, 22h55

Bonsoir,

Envoyé par naruto34

du coup pour le 1er cas et pour le 2eme je suis passé par la récurrence

Pour justifier la valeur de la limite, en l'occurrence $\text{[math]}$ , il faut un argument supplémentaire autre que la récurrence que tu as pu faire (mais peut-être tu l'as fait ?!).

Envoyé par naruto34

mais pour le 3eme cas je vois pas trop comment le démontré

On peut le faire en raisonnant par l'absurde.

Cordialement

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**naruto34** · 17/09/2014, 17h38

Merci de ta réponse
Ce que j'ai fais pour l'instant

$\text{[math]}$ croissant sur $\text{[math]}$

Pour $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ , vrai, on le choisit
On suppose que $\text{[math]}$
Comme $\text{[math]}$ est monotone croissante
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$
Pour $\text{[math]}$ :
$\text{[math]}$ , vrai
On suppose que $\text{[math]}$
On cherche à montrer que $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ , vrai
Pour $\text{[math]}$ :
Raisonnement par l'absurde
On suppose qu'elle est majorée, il existe un $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est croissant
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ conclusion : ??

**PlaneteF** · 17/09/2014, 18h05

Envoyé par naruto34

$\text{[math]}$ croissant sur $\text{[math]}$

Oui, mais c'est la de stricte croissance dont tu vas avoir besoin.

Envoyé par naruto34

Comme $\text{[math]}$ est monotone croissante
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Cette justification est fausse, ... je te laisse le soin de la corriger.

Cdt

**PlaneteF** · 17/09/2014, 18h26

Envoyé par PlaneteF

Oui, mais c'est la de stricte croissance dont tu vas avoir besoin.

"... de la ..."

**naruto34** · 17/09/2014, 19h57

$\text{[math]}$ strictement croissante sur $\text{[math]}$

pour y = x, on trouve 2

Pour $\text{[math]}$ :
suite récurrentes $\text{[math]}$
Si la suite $\text{[math]}$ est convergente vers $\text{[math]}$ , et si f est continue, alors $\text{[math]}$ vérifie $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

et pour le raisonnement par l'absurde ?

**PlaneteF** · 17/09/2014, 20h05

Pour le 1er cas, tu n'as toujours pas prouvé que la suite est convergente !

Cdt

**naruto34** · 17/09/2014, 21h25

$\text{[math]}$ strictement croissante sur $\text{[math]}$

pour y = x, on trouve 2

Pour $\text{[math]}$ :
suite récurrentes $\text{[math]}$

La suite est monotone croissante

On cherche par récurrence si elle est majorée
$\text{[math]}$ , vraie
On suppose que $\text{[math]}$
On cherche si vrai pour $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ la suite est majorée par 2

donc la suite est monotone croissante et majorée par 2 donc elle converge vers 2

**PlaneteF** · 17/09/2014, 22h04

Envoyé par naruto34

$\text{[math]}$ strictement croissante sur $\text{[math]}$

C'est $\text{[math]}$ qui est strictement croissante sur $\text{[math]}$ , pas $\text{[math]}$ !

Envoyé par naruto34

La suite est monotone croissante

Sauf que tu ne le démontres pas. Il n'y a rien dans ce que tu as écrit précédemment qui te permet de dire que la suite est croissante.

Envoyé par naruto34

$\text{[math]}$

Le cas $\text{[math]}$ est traité par ailleurs.

Envoyé par naruto34

(...) donc $\text{[math]}$ (...)

Justifié par quoi ?

Envoyé par naruto34

donc la suite est monotone croissante et majorée par 2 donc elle converge vers 2

Justification incorrecte. $\text{[math]}$ majore la suite, cela n'en fait pas pour autant la limite de cette suite !

Cdt

**PlaneteF** · 17/09/2014, 22h15

Envoyé par PlaneteF

C'est $\text{[math]}$ qui est strictement croissante sur $\text{[math]}$ , pas $\text{[math]}$ !

Enfin $\text{[math]}$ est bien évidemment strictement croissante, ... mais ce que je voulais dire c'est que ce n'est pas cela qui nous intéresse ici !

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