Bonjour,
J'aimerai comprendre le fonctionnement de cette exercice avoir un peu d'aide s'il vous plait et des explication avant tout si possible
Merci beaucoup
Voici un exercice :
Rédiger la démonstration complète de l'inégalité de Bernoulli pour tout entier naturel n, (1+a)^n ≥ 1+na
On suppose fixé un réel a[1,0[U]0,+∞[et on montre l'inégalité pour tout entier n > 1, par récurrence sur n.
Initialisation : (1+a)^n=1+na+a^n>1+na donc la propriété est vraie pour n =na.
Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que (1+a)^k>1+ka et montrons que la propriété est vraie au rang suivant k+1, c'est-à-dire montrons que (1+a)^{k+1}>1+(k+1)a.
En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par 1+a (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient : (1+a)^{k+1}=(1+a)^k(1+a) ≥(1+ka)(1+a)=1+(k+1)a+ka^2>1+( k+1)a.
Conclusion : la propriété est vraie au rang na et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier n supérieur ou égal à na.
j'ai trouver cette sorte de raisonnement que j'ai essayer de suivre merci de m'éclaire![]()
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