Inégalité de Bernoulli

[tito8888]

Bonjour,

J'aimerai comprendre le fonctionnement de cette exercice avoir un peu d'aide s'il vous plait et des explication avant tout si possible

Merci beaucoup


Voici un exercice :

Rédiger la démonstration complète de l'inégalité de Bernoulli pour tout entier naturel n, (1+a)^n ≥ 1+na


On suppose fixé un réel a[1,0[U]0,+∞[et on montre l'inégalité pour tout entier n > 1, par récurrence sur n.

Initialisation : (1+a)^n=1+na+a^n>1+na donc la propriété est vraie pour n =na.
Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que (1+a)^k>1+ka et montrons que la propriété est vraie au rang suivant k+1, c'est-à-dire montrons que (1+a)^{k+1}>1+(k+1)a.
En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par 1+a (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient : (1+a)^{k+1}=(1+a)^k(1+a) ≥(1+ka)(1+a)=1+(k+1)a+ka^2>1+( k+1)a.
Conclusion : la propriété est vraie au rang na et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier n supérieur ou égal à na.


j'ai trouver cette sorte de raisonnement que j'ai essayer de suivre merci de m'éclaire
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[Tryss]

L'initialisation est fausse, (1+a)^n ça ne fait absolument pas 1+na+a^n

Et tu parles à plusieurs reprise d'un rang na : ça n'est même pas un entier.

Pour l'initialisation, prend un "vrai" nombre, par exemple n=1

[tito8888]

Rédiger la démonstration complète de l'inégalité de Bernoulli pour tout entier naturel n, (1+a)^n ≥ 1+na


On suppose fixé un réel a[1,0[U]0,+∞[et on montre l'inégalité pour tout entier n > 1, par récurrence sur n.

Initialisation : (1+a)^n≥1+na on remplace n=1 alors (1+a)^1 ≥ 1+1a = (1+a)^1≥ 1+a donc la propriété est vraie pour n=1

Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que (1+a)^k>1+ka et montrons que la propriété est vraie au rang suivant k+1, c'est-à-dire montrons que (1+a)^{k+1}>1+(k+1)a.
En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par 1+a (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient :
(1+a)^{k+1}≥1+(k+1)a

que dois je faire de plus?

Conclusion : la propriété est vraie au rang k+1 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier k supérieur ou égal à k.


je suis vraiment perdu là ..

[gg0]

Bonsoir.

L'initialisation est écrite "à l'envers". Puisque c'est la propriété évidente 1+a ≥ 1+a qui sert à justifier, mieux vaut commencer par là.
Hérédité :
"En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par 1+a (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient :
(1+a)^{k+1}≥1+(k+1)a" ???
Non ! On obtient (1+a)^{k+1}≥(1+ka)(1+a).

Ta conclusion est incompréhensible : "la propriété est vraie au rang k+1" ?? c'est qui k ??

Tu sembles essayer de mettre bout à bout des morceaux de phrases, au lieu de rédiger une preuve en employant l'idée évidente :
"Si une propriété qui dépend d'un entier n est vraie pour n = 1 et si, quand elle est vraie pour un entier, elle est vraie pour l'entier d'après, alors elle est vraie pour tout entier au moins égal à 1".
Ce mode de preuve est quand même assez intuitif, puisqu'on atteint tous les entiers à partir de 1 en passant au suivant (tu as fait ça dès l'école primaire : compter jusqu'à 10, puis 20, puis 100, puis .. puis ça ne s'arrête jamais).
On peut aussi commencer à 0.

Donc essaie de comprendre ce que signifie exactement ce que tu écris, tu es intelligent, profite de ton intelligence.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[tito8888]

Merci pour votre aide

voici une autre maniére ?


Rédiger la démonstration complète de l'inégalité de Bernoulli pour tout entier naturel n, (1+a)^n ≥ 1+na

Supposons que la proposition (1+a)^n ≥ 1+na soit vraie pour une certaine valeur k de n.
On a alors:
(1+a)^k ≥ 1 + ka

(1+a) étant > 0 (puisque a ≥ 0), on peut multiplier les 2 membres de l'inéquation par (1+a) sans changer le sens de l'inéquation ->

(1+a).(1+a)^k ≥ (1+a).(1 + ka)
(1+a)^(k+1) ≥ 1 + ka + a+ ka²
(1+a)^(k+1)≥ 1 + (k+1)a + ka²

Et comme kx² ≥ 0, on a a fortiori:
(1+a)^(k+1)≥ 1 + (k+1)a
Qui est proposition (1+a)^n ≥ 1 + na dans laquelle n est égal à k+1.

On vient donc de montre que:
Si la proposition (1+a)^n ≥ 1 + na soit vraie pour une certaine valeur k de a, elle est encore vraie pour a = k+1 (1)

Pour n = 1, la proposition (1+a)^n >= 1 + na est vraie.
en effet: (1+a)^1 ≥ 1 + a
1 + a ≥ 1 + a -> c'est vrai.

La proposition (1+a)^n >= 1 + na est vraie pour n = 1, par (1), elle est donc vraie pour n = 2.
La proposition (1+a)^n >= 1 + na est vraie pour n = 2, par (1), elle est donc vraie pour n = 3.
Et ainsi de proche en proche, la proposition (1+a)^n ≥ 1 + na est vraie pour tout n de N*


Peut on le faire comme ceci ?

[tito8888]

SI je prend comme tu ma dit : alors

Puisque c'est la propriété évidente 1+a ≥ 1+a qui sert à justifier, mieux vaut commencer par là.

il me faut mettre une initialisation pour que ce soit complet

Initialisation: (1+a)^n ≥ 1+na
a=0 alors (1+0)^n ≥ 1+n0

?

Hérédité :
"En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par 1+a (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient :
(1+a)^{k+1}≥(1+ka)(1+a).

Conclu:

"Si une propriété qui dépend d'un entier n est vraie pour n = 1 et si, quand elle est vraie pour un entier, elle est vraie pour l'entier d'après, alors elle est vraie pour tout entier au moins égal à 1".


mais ici ce sont ''les grandes lignes'' comment faire pour détailler s'il vous plait ?

[gg0]

Bon,

tu n'es pas sérieux ! Tu copie bêtement ce que je t'ai dit mélangé avec ce que tu écrivais, mais tu n'as absolument pas cherché à comprendre. Me serais-je trompé sur ton intelligence ?
En tout cas, dans ces conditions (absence de bonne volonté) on ne peut pas t'aider.

[tito8888]

Non pas du tout je n'ai juste pas compris se que tu ma dit en fait je crois.

[Tryss]

L'initialisation se fait avec n=1 et non a=0, ce qui n'a aucun sens vu que la réccurence porte sur n