Démontrer pour tout reel

[Onmangak]

bonjour ,

on considere la fonction g definie sur R par g(x)= x²+2x-3

a) demontrer que pour tout reel x on a g(x)=(x+1)²-4

b) demontrer que pour tout reel x on a g(x)=(x-1)(x+3)

je ne cache pas que tout sa est un peu compliquer pour mo mais j'ai essayer de trouver quelques solution , qui peut m'aider et me corriger ?
moi j'ai fais :

a) ((x+1)²)²-4+2x-3

b)( x²+2x-3-1)( x²+2x-3+3)

merci d avance
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[Noct]

Bonjour,
En réalité, il n'y a rien de compliqué , il te suffit de développer les expressions que l'on te donne en a) et b) , afin de montrer qu'elles sont bien égales à ton expression de départ.

[gerald_83]

Bonjour,

@ Noct, dans la question il est dit de démontrer, pas de vérifier donc le pense qu'il ne suffit pas de développer les expressions.....

@ Onmangak

Tu connais g(x), tu peux en déduire ses racines (valeurs de x pour lesquelles g(x) = 0). Soit a et b ces deux valeurs tu sais alors que g(x) peut être mis en facteur selon l'expression suivante : g(x) = (x-a)(x-b)

[Médiat]

Bonjour,

Ou remarquer que x²+2x-3 = x²+2x + (1 - 4)

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Bonjour,

moi j'ai fais :

a) ((x+1)²)²-4+2x-3

b)( x²+2x-3-1)( x²+2x-3+3)

Je ne vois pas le rapport entre ce que tu écris là et l'énoncé ??!


Cordialement

[untruc]

je présume que tu es dans un cours pour calculer les racines d'un polynome du second ordre.
Avant de te sortir la formule à base de discriminant. Ton professeur voudrait que vous calculer un petit peu, juste un peu, pour comprendre d'ou cette formule sort.
Pour cela il vous a expliqué ce que c'est qu'une "forme canonique" d'un polynome du second degré.
ie A(x-B)^2 - C
la forme canonique est caractérisée par le carré d'un terme avec x, et de constante C qui ne dépend pas de x.

il vous a indiqué que tout polynome du second dégre: a x^2 + bx +c, peut se réecrire sous forme canonique.
et vous a probablement expliqué comment obtenir la forme canonique. Ce que tu as essayé, en faisant un truc bizarre à partir de la forme à démontrer.

Au cas ou tu as égaré ton cours dans le bus, la démarche est toujours la meme:
on part du polynome
x²+2x-3
et on veut trouver B et C tel que
(x-B)^2 + C
en remarquant eu (X-B)^2= X^2 - 2BX + quelque chose de degré 1. On sait que B=-1

donc on écrit
Etape 1 ___________
x^2+ 2X -3
=
= (x + 1)^1 + ?
---------------
j'ai délibérement laissé une ligne blanche. sur cette ligne blanche tu développe le terme de la dernière ligne
Etape 2 ___________
x^2+ 2X -3
= x^2 + 2X + 1 + ....
= (x + 1)^1 + ?
---------------
à se moment on cherche à completer la ligne 2, pour avoir la ligne 1, du coup à la place des ... on écrit
Etape 3 ___________
x^2+ 2X -3
= x^2 + 2X + 1 -1 -3
= (x + 1)^1 + ?
---------------
enfin, maintenant on détermine le "?"
Etape 4 ___________
x^2+ 2X -3
= x^2 + 2X + 1 -1 -3
= (x + 1)^1 -4
---------------

maintenant que tu as l'ecriture canonique, tu es bien placé pour calculer les racine de ce polynome comme on a fait dans le cours.
tu cherches les racines de x^2 +2X -3
donc tu cherche à résoudre
x^2 +2X -3 = 0
or, en écrivant le polynôme sous forme canonique on obtient:
(x+1)^2 - 4 = 0

tout à coup, la racine apparait. en effet:
(x+1)^2 = 4
=> x+1 = +2 ou -2
=> x = 2-1 ou -2-1
=> x= 1 ou -3

maintenant que tu connais les racines du polynôme x^2+2X-3, tu sais qu'il s’écrit sous forme factorisé (x-1)(x+3).

conclusion, tu as raison, l'objectif de l'exercice n'est pas de convaincre du résultat ( on peut développer l'expression du 1/ , ou simplement calculer les valeurs du polynômes pour quelques entiers pour trouver les racines dans le 2/)
l'objectif est de te faire comprendre ce qu'est une décomposition canonique et pourquoi elle est utile (calculer les racines d'un polynôme)

Entraine toi à calculer la forme canonique d'une dizaine de polynômes de degré 2, et quand tu arrivera à la partie du cours ou on de balance la formule de calcul des racines d'un polynômes, elle ne sera pas un truc magique.

[PlaneteF]

maintenant que tu as l'ecriture canonique, tu es bien placé pour calculer les racine de ce polynome comme on a fait dans le cours.
tu cherches les racines de x^2 +2X -3
donc tu cherche à résoudre
x^2 +2X -3 = 0
or, en écrivant le polynôme sous forme canonique on obtient:
(x+1)^2 - 4 = 0

tout à coup, la racine apparait. en effet:
(x+1)^2 = 4
=> x+1 = +2 ou -2
=> x = 2-1 ou -2-1
=> x= 1 ou -3

maintenant que tu connais les racines du polynôme x^2+2X-3, tu sais qu'il s’écrit sous forme factorisé (x-1)(x+3).

Bonjour untruc,

On peut le voir comme çà, parler de racines et d'équation à résoudre comme tu le présentes, ... mais je pense que ce n'est sutout pas le premier réflexe à avoir, car quand on a une expression comme il faut avoir le réflexe instantané de voir le produit remarquable qui donne la réponse immédiatement.

Alors sur le fond c'est la même chose que ce que tu proposes, dans l'esprit je préfère souligner et insister sur les réflexes fondamentaux à acquérir au Lycée.


Cordialement