Résoudre une équation dans C,nombres complexes.

[invite9c5f7482]

Bonjour,j'ai tâcher de résoudre un exercice sur les nombres complexes.
Et j'aurais voulu que l'on me dise si ce que j'ai fais est bon,ou qu'on m'explique ce qui n'est pas bon.
PS:je n'ai rien trouvé pour la question a).

Voici donc cet exercice:
Etant donné un nombre complexe,on pose :
f(z)=z^3-(16-i)z²+(89-16i)z+89i.
a) Montrer que l'équation f(z)=0 a une racine imaginaire pure que l'on déterminera.
b)factorisez f(z),puis résoudre dans C(ensemble des nombres complexes) l'équation f(z)=0.

a) D'habitude j'ai surtout du mal avec les dernière questions ^^...
b)Ensuite,la factorisation du f(z) donne:

f(z)=z^3-(16-i)z²+(89-16i)z+89i=z(z²-16z+iz+16i+89+(89/z)).
Puis,on sait que f(z)=0 implique que soit z=0,soit (z²-16z+iz+16i+89+(89/z))=0, dans le premier cas,je pense que z ne peut pas être égale à 0 car ça voudrait dire que (89/z)= 89/0,or on ne peut pas diviser par 0 en maths.
Mais nous nous attarderont sur le second cas en disant que z²-16z+iz+16i+89+(89/z) implique que soit iz+16i=0,donc que z=-16.
Ou soit z²-16z+89+(89/z)=0.

Mais c'est une équation du second degré,donc le discriminant D=b²-4ac,avec b=-16+1 "-16 devant z et le 1 vient de 1*89/z=89*1/z=89/z."
Donc D=(-15)²-4*1*89=-131<0.
Donc l n'y a pas de solutions dans R,mais il y en a dans C.
Par conséquent,les solutions sont:

x1= (15+ racine(131))/2 et x2=(15-racine(131))/2 sauf erreur.
-----

[invite2b0650e6]

C'est faux

[invite2b0650e6]

Bonsoir,

 Cliquez pour afficher

est une racine évidente.

Après factorisation via Hörner, il vient

 Cliquez pour afficher

Le second facteur est du second degré, donc via le discriminant réduit ( http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Discriminant ), il vient

 Cliquez pour afficher

Cordialement

[invite9c5f7482]

C'est faux

Ah bon,au moins j'aurais essayé^^,pourtant je pensais que c'était cohérent ^^.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c5f7482]

Bonsoir,

 Cliquez pour afficher

est une racine évidente.

Après factorisation via Hörner, il vient

 Cliquez pour afficher

Le second facteur est du second degré, donc via le discriminant réduit ( http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Discriminant ), il vient

 Cliquez pour afficher

Cordialement

Leur racine,elle est évidente quand on est fort en maths^^.
Mais comment on montre que c'est -i,tu as "vu" ça comme ça?
Ensuite je vois que la seconde expression que tu as factoriser c'est la factorisation demander donc je doit poser f(z)=(z+i)(z²-16z+89)=(z+i)(z-(8+5i))(z-(8-5i))=0 et résoudre ça pour trouver la valeur z qui annule cette expression.
C'est bien ça.
Je pose beaucoup de question^^
En tout cas merci pour ton aide

[Duke Alchemist]

Bonsoir Argon39.

Je te propose pour la question 1, une méthode un peu plus longue que celle de la racine évidente mais qui n'est pas si compliquée que ça en fait :
Si on note z=x+iy le nombre complexe z. Si z est un imaginaire pur alors z=iy (Tu me suis là ?)
Si "iy" est solution de l'équation f(z)=0 alors f(iy)=0. Remplace les z par iy puis après simplification regroupe les termes imaginaires et réels de f(iy) et comme le nombre obtenu doit être nul alors la partie réelle et la partie imaginaire doivent être nulle. Tu aboutis à deux équations à résoudre en y et seule la solution y=-1 est acceptable.
Alors lu comme ça, cela n'a pas l'air "évident". Je te propose de le faire, cela prend 4 lignes.

L'avantage est que cette version est plus une démonstration (ce qui est demandé implicitement dans la question, il me semble)

Cordialement,
Duke.

[invite2b0650e6]

Bonsoir,

Si ce n'est pas évident pour toi (ce qui est normal ), il y a une autre méthode: on te dit que l'équation a une racine imaginaire pure, c.-à-d. du type . Il te suffit de remplacer dans l'expression, ensuite tu factoriser par groupements [édit: ou tu fais comme Duke] et tu trouves . Je te conseille de faire ceci et de ne pas seulement lire le message pour être sur que c'est compris

Pour répondre à ta deuxième question, quelle est la définition d'une racine?

 Cliquez pour afficher

en gros, un truc qui annule ton expression

. Donc si en remplaçant tu trouves que c'est égal à 0 c'est évidemment une racine.

Ensuite je n'ai rien posé du tout j'ai factorisé une première fois via Hörner (je ne sais pas si vous voyez ça en France ?) et une seconde fois via le discriminant

De rien

Gandhi

Édit: petit croisement

[Duke Alchemist]

Re-

Pour la deuxième, tu sais que -i est solution, donc on factorise par (z+i). Le reste de l'expression est nécessairement un polynôme du second degré en z puisque tu as avant la factorisation, un polynôme du troisième degré.
A partir de ce raisonnement, tu peux écrire que f(z) = (z+i)(az²+bz+c)...

 Cliquez pour afficher

J'aurais même envie de te proposer directement (z+i)(z²+bz+c) puisque le terme de plus haut degré a 1 pour coefficient donc a=1 d'office mais bon... allons-y doucement mais sûrement, n'est-ce pas ?

puis développer cette expression et après avoir regrouper les termes suivant les puissances de z, tu effectues une identification des coefficients.
Tu dois retomber sur le résultat proposé par Gandhi33.
Enfin tu factorises en utilisant le discriminant pour achever la question

Cordialement,
Duke.

EDIT : Tiens ! Un autre croisement

[Duke Alchemist]

Merci Gandhi33 pour cette méthode (celle de Hörner) que je ne connaissais pas et qui a l'air très simple et pratique pour les factorisations polynomiales

Cordialement,
Duke.

[invite2b0650e6]

Il n'y a pas de quoi

[invite2b0650e6]

Pour les autres lecteurs de la discussion, la méthode est expliquée sur Wikipedia mais plutôt difficile à comprendre. Sinon, il y a ce lien facile et bien expliqué http://integraledesmaths.free.fr/idm/EquMetHor.htm

[Duke Alchemist]

Re-

... Sinon, il y a ce lien facile et bien expliqué http://integraledesmaths.free.fr/idm/EquMetHor.htm

C'est là où j'ai vu que c'était très facile

Duke.

EDIT : L'inconvénient reste la détection des racines évidentes malgré tout...

[invite9c5f7482]

Bonsoir Argon39.

Je te propose pour la question 1, une méthode un peu plus longue que celle de la racine évidente mais qui n'est pas si compliquée que ça en fait :
Si on note z=x+iy le nombre complexe z. Si z est un imaginaire pur alors z=iy (Tu me suis là ?)
Si "iy" est solution de l'équation f(z)=0 alors f(iy)=0. Remplace les z par iy puis après simplification regroupe les termes imaginaires et réels de f(iy) et comme le nombre obtenu doit être nul alors la partie réelle et la partie imaginaire doivent être nulle. Tu aboutis à deux équations à résoudre en y et seule la solution y=-1 est acceptable.
Alors lu comme ça, cela n'a pas l'air "évident". Je te propose de le faire, cela prend 4 lignes.

L'avantage est que cette version est plus une démonstration (ce qui est demandé implicitement dans la question, il me semble)

Cordialement,
Duke.

Oui oui,jusque là je te suis car la partie réel =0,ok,je le fairai,et je post ça demain matin très tôt.
Merci pour ton aide,ta méthode,je la comprend parce que elle est logique,etnormalement au moins le début de ma réponse sera bon,mais je pense que je peux répondre
parfaitement à cette question avec ta méthode .

[invite9c5f7482]

Re-C'est là où j'ai vu que c'était très facile

Duke.

EDIT : L'inconvénient reste la détection des racines évidentes malgré tout...

Ok je regarderai ce lien ce soir aussi,ahh le décalage horaire,si je répond maintenant,le temps de répondre il sera 23h passé voir minuit dans ton pays ^^

[invite9c5f7482]

Bonsoir,

Si ce n'est pas évident pour toi (ce qui est normal ), il y a une autre méthode: on te dit que l'équation a une racine imaginaire pure, c.-à-d. du type . Il te suffit de remplacer dans l'expression, ensuite tu factoriser par groupements [édit: ou tu fais comme Duke] et tu trouves . Je te conseille de faire ceci et de ne pas seulement lire le message pour être sur que c'est compris

Pour répondre à ta deuxième question, quelle est la définition d'une racine?

 Cliquez pour afficher

en gros, un truc qui annule ton expression

. Donc si en remplaçant tu trouves que c'est égal à 0 c'est évidemment une racine.

Ensuite je n'ai rien posé du tout j'ai factorisé une première fois via Hörner (je ne sais pas si vous voyez ça en France ?) et une seconde fois via le discriminant

De rien

Gandhi

Édit: petit croisement

Ok je fairai ça sans faute et je post tout ça demain sur cette discussion,c'est très important de faire des exerensuite ,je ne connaissais pas ta méthode de Hörner,mais je suis content de la connaitre.
Après je viens des antilles et je ne suis pas certains que le programme est exactement le même q'en France.
Ah demain Gandhi
Mais au fait,d'ou vient-tu?

[invite2b0650e6]

Mais au fait,d'ou vient-tu?

Du Royaume de Belgique, dont je salue Son Altesse Royale Le Roi, Monarque et Souverain Philippe Ier de Saxe-Cobourg Gotha, Héritier Légitime de Son Père Albert II

[invite9c5f7482]

Bonsoir Argon39.

Je te propose pour la question 1, une méthode un peu plus longue que celle de la racine évidente mais qui n'est pas si compliquée que ça en fait :
Si on note z=x+iy le nombre complexe z. Si z est un imaginaire pur alors z=iy (Tu me suis là ?)
Si "iy" est solution de l'équation f(z)=0 alors f(iy)=0. Remplace les z par iy puis après simplification regroupe les termes imaginaires et réels de f(iy) et comme le nombre obtenu doit être nul alors la partie réelle et la partie imaginaire doivent être nulle. Tu aboutis à deux équations à résoudre en y et seule la solution y=-1 est acceptable.
Alors lu comme ça, cela n'a pas l'air "évident". Je te propose de le faire, cela prend 4 lignes.

L'avantage est que cette version est plus une démonstration (ce qui est demandé implicitement dans la question, il me semble)

Cordialement,
Duke.

Alors voici ce que j'ai obtenue avec ta méthode Duke:
On a:
f(z)=0=>f(iy)=0 donc f(z)=z^3-(16-i)z²+(89-16i)z+89i=0=>f(iy)=(iy)^3-(16-i)(iy)²+(89-16i)(iy)+89i=0
Ce qui implique que f(iy)= i^3*y^3-16i²y²+i^3*y²+89iy-16i²y+89i=-i*y^3+16y²+iy^3+89iy+16y+89i=0 =>16y²+16y+89i+89iy=0
Donc on a: {16y²+16y=0
{89+89y=0
La première équation donne un discriminant négatif,donc les solutions sont complexes,or on cherche des solutions réel donc je ne vais même pas chercher ces solutions.
La seconde équation quand à elle donne 89y+89=0=>y=-1.
Mais je vais essayé avec la méthode de Gandhi demain je pense.

[invite9c5f7482]

Du Royaume de Belgique, dont je salue Son Altesse Royale Le Roi, Monarque et Souverain Philippe Ier de Saxe-Cobourg Gotha, Héritier Légitime de Son Père Albert II

Ah tu viens de Belgique

[invite9c5f7482]

Bonsoir,

 Cliquez pour afficher

est une racine évidente.

Après factorisation via Hörner, il vient

 Cliquez pour afficher

Le second facteur est du second degré, donc via le discriminant réduit ( http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Discriminant ), il vient

 Cliquez pour afficher

Cordialement

Ta factorisation avec Horner c'est la seule façon de factoriser?

[Duke Alchemist]

Bonjour.

...
Donc on a: {16y²+16y=0
{89+89y=0
La première équation donne un discriminant négatif,donc les solutions sont complexes,or on cherche des solutions réel donc je ne vais même pas chercher ces solutions.
La seconde équation quand à elle donne 89y+89=0=>y=-1.

Euh la première équation après factorisation (pourquoi le discriminant ?) devient 16y(y+1)=0 qui donne y=0 ou y=-1.

Ta factorisation avec Horner c'est la seule façon de factoriser ?

La méthode du discriminant est bonne aussi. C'est d'ailleurs le rôle principal du discriminant.
Comme je l'ai indiqué plus haut, la méthode de Hörner nécessite la connaissance des racines évidentes.

Duke.

[invite9c5f7482]

Bonjour.Euh la première équation après factorisation (pourquoi le discriminant ?) devient 16y(y+1)=0 qui donne y=0 ou y=-1.

La méthode du discriminant est bonne aussi. C'est d'ailleurs le rôle principal du discriminant.
Comme je l'ai indiqué plus haut, la méthode de Hörner nécessite la connaissance des racines évidentes.

Duke.

Ah oui c'est vrai, je me suis trompé,mais vu que -1 reviens dans les 2 équations et qu'on a 0 aussi, donc -1 et 0 sont les deux racines.
Mais j'avais pas vu ce que tu as dit sur Hörner désolé.
En tout cas,merci pour ton aide Duke

[Duke Alchemist]

Re-

Attention ! Seul -1 est à prendre en compte puisqu'il vérifie les deux équations (partie réelle et partie imaginaire nulles). Ce n'est pas le cas de 0.

Duke.