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Definition de la dérivée d'une fonction



  1. #1
    gatsu

    Definition de la dérivée d'une fonction


    ------

    Salut a tous,

    Voila, je dois preparer un rapide cours de fac sur la dérivée d'une fonction et je n'arrive pas a me convaincre que la definition que j'ai apprise au lycee est unique.

    Lorsque j'essaie d'introduire progressivement comment on peut obtenir la pente de la tangente a une courbe, la definition qui me vient le plus naturellement est la suivante :



    Si l'on prend d'abord la limite tend vers zero on obtient la definition standard; si on prend d'abord la limite tend vers zero, on obtient l'autre convention qu'on aurait pu imaginer et si on prend par exemple on obtient aussi une formulation courante de la derivee (juste jusqu'a l'ordre deux si ne tend pas vers zero).

    Ma question est donc la suivante :

    Est-il mathématiquement faux de presenter les choses comme ci-dessus avec differents ordres pour les limites ?

    Merci d'avance.

    -----
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

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  3. #2
    Dynamix

    Re : definition de la dérivée d'une fonction

    Salut
    C' est (h1+h2) qu' il faut faire tendre vers 0 , sinon ou est l' indétermination ?

  4. #3
    gg0

    Re : definition de la dérivée d'une fonction

    Bonjour.

    As-tu vu que ta définition de nombre dérivé ne nécessite pas que f(x0) existe ? Par exemple, a une dérivée en 0 au sens .
    Autre chose : Pourquoi et pas , puisque les signes de h1 et h2 sont quelconques ?

    Sinon, ce n'est pas la définition habituelle de la dérivée, et ça ne redonne pas toujours le bon résultat. On définit généralement la tangente en A comme la limite d'une sécante en A lorsque un deuxième point d'intersection M tend vers A. la définition de la dérivée utilise cela.
    Mais on veut aussi que la notion de différentielle (approximation affine) soit aussi présente, ce qui amène la définition classique :
    "f est dérivable en a si, sur un voisinage de a, il existe un réel A tel que "
    Cette définition est compatible simplement avec le classique
    .

    Cordialement.

  5. #4
    gatsu

    Re : definition de la dérivée d'une fonction

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bonjour.

    As-tu vu que ta définition de nombre dérivé ne nécessite pas que f(x0) existe ? Par exemple, a une dérivée en 0 au sens .
    Autre chose : Pourquoi et pas , puisque les signes de h1 et h2 sont quelconques ?

    Sinon, ce n'est pas la définition habituelle de la dérivée, et ça ne redonne pas toujours le bon résultat. On définit généralement la tangente en A comme la limite d'une sécante en A lorsque un deuxième point d'intersection M tend vers A. la définition de la dérivée utilise cela.
    Mais on veut aussi que la notion de différentielle (approximation affine) soit aussi présente, ce qui amène la définition classique :
    "f est dérivable en a si, sur un voisinage de a, il existe un réel A tel que "
    Cette définition est compatible simplement avec le classique
    .

    Cordialement.
    Ok je vois. Désolé pour les âneries et merci beaucoup.
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

  6. #5
    gg0

    Re : definition de la dérivée d'une fonction

    Oh non,

    aucune ânerie ! Au contraire, une réflexion utile, à condition de pouvoir la mener jusqu'au bout. Il est effectivement tentant de généraliser la définition de la dérivée, mais ce n'est pas pour rien qu'elle a peu changé depuis 2 siècles.

    Cordialement.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gatsu

    Re : definition de la dérivée d'une fonction

    Je reviens a la charge avec mes questions naives .

    Pour l'instant, de ce que j'en comprends, il me semble qu'il y a une distinction entre la proposition :

    "f est derivable en a si il existe un reel A tel que f(x) ~ f(a) + A(x-a) pour x dans un voisinage proche de a"
    et la proposition

    la derivee de f en a est : "f'(a) = lim_{h -> 0} (f(a+h)-f(a))/h" .

    Il me semble que la deuxième proposition presuppose que la premiere est deja vraie. Du coup pour l'instant je distingue les deux.

    Est ce que ces deux propositions sont donc réellement équivalentes ou est ce que je chipote ou j'ai faux encore une fois en essayant de distinguer l'une de l'autre ?

    Merci d'avance a nouveau.
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

  9. Publicité
  10. #7
    gg0

    Re : definition de la dérivée d'une fonction

    Désolé,

    Mais je ne comprends pas ce que tu appelles "présupposer". A part décider que dérivable veut dire "avoir une dérivée", la dérivée étant définie par la deuxième définition (celle avec le quotient).
    D'ailleurs, dans ta première définition, il manque la définition du nombre dérivé de f en a. Tu peux la rajouter, et démontrer toi-même que ces deux définitions sont équivalentes. Si tu dois faire un cours en fac sur le sujet, tu as intérêt à avoir complétement déblayé toutes ces petites questions qui risquent de t'arriver posées pas des étudiants futés.

    Donc, si tu veux être au clair, tu écris tes deux propositions sous la forme "f est dérivable en a si ..." et tu te convaincs qu'elles sont équivalentes en rédigeant la preuve.

    Cordialement.

  11. #8
    Dynamix

    Re : definition de la dérivée d'une fonction

    Salut
    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    ces deux définitions sont équivalentes
    Comment on peut définir une condition pour que f soit dérivable si on a pas définit la dérivée ?
    Il me semble que le 2 vient avant le 1 .

  12. #9
    gatsu

    Re : definition de la dérivée d'une fonction

    Citation Envoyé par Dynamix Voir le message
    Salut

    Comment on peut définir une condition pour que f soit dérivable si on a pas définit la dérivée ?
    Il me semble que le 2 vient avant le 1 .
    etrangement pour moi la 1 vient avant la 2. La 1 concerne l'existence d'un objet qui se trouve être la dérivée et la 2 nous dit ce que vaut cette dérivée. En particulier, si cet objet n'est pas un reel (pour l'analyse réelle) alors la dérivée n'existe pas.

    Je ne comprends pas comment on peut formuler la 2 sans être sur que le membre de gauche existe.

    Pour moi c'est comme chercher une solution a une equation sans savoir qu'il y en a une (meme si en trouver une est suffisant pour dire qu'il y en a au moins une).

    D'un point de vue logique, j'essaie de clarifier si la dérivée définie uniquement par la proposition 2 est un nom associe au processus de la limite d'une suite de sécantes pour trouver la pente de la tangente ou bien un objet qui existe dans R auquel on associe un autre nombre qui est la limite convergente du membre de droite de la proposition 2; auquel cas il faut s'assurer au préalable que ce cet objet existe et donc que la proposition 1 est vraie.
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

  13. #10
    gg0

    Re : definition de la dérivée d'une fonction

    Si tu rédigeais correctement les deux propriétés, tu n'aurais aucun problème. Dans les deux cas, la dérivabilité est l'existence d'un certain nombre (si ça te gène d'écrire lim avant d'avoir l'existence de la limite, tu écris le quotient et tu exiges qu'il ait une limite), et le nombre dérivé est ce nombre.

    Dans tous les cas "la dérivée définie uniquement par la proposition 2 n'est pas un nom associe au processus de la limite d'une suite de sécantes", mais un nombre défini précisément et qui traduit l'idée intuitive du coefficient directeur de la tangente. La définition de la dérivée n'est pas géométrique.

    Tu es bizarrement pointilleux sur les définitions, pas sur le rapport intuitif/formel. Peut-être toutes tes difficultés viennent-elles de là : La dérivée a des définitions (équivalentes) dans son propre domaine : l'analyse. Elle sera utilisée pour définir des notions généralement floues, comme la notion de tangente à une courbe. Quitte à prouver que les tangentes au cercle sont bien des tangentes en ce sens.

    Si tu veux continuer sur ce sujet, rédige complétement les deux définitions. Et traite-les en termes de maths, pas de sensations : Si une chose te gêne, écris-la complétement.

  14. #11
    gatsu

    Re : definition de la dérivée d'une fonction

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Désolé,

    Mais je ne comprends pas ce que tu appelles "présupposer". A part décider que dérivable veut dire "avoir une dérivée", la dérivée étant définie par la deuxième définition (celle avec le quotient).
    Je croyais que derivable voulait dire "avoir une droite tangente dont la pente est calculable" en gros; ce qui ne me semble pas equivalent a dire "voila comment on la calcule".

    D'ailleurs, dans ta première définition, il manque la définition du nombre dérivé de f en a.
    en fait c'était une definition de derivable pas de dérivée. Il est clair que si on peut calculer la dérivée en un point alors la dérivée existe en ce point mais on pourrait seulement se demander si la fonction est derivable au sens de la simple existence de la dérivée sans s'inquieter de ce qu'elle vaut.

    En gros mon interpretation (naive) était que la definition de dérivée était conditionnée par l'existence ou nom d'une tangente avec une pente finie calculable a partir de la fonction étudiée au voisinage du point d'intérêt.


    Tu peux la rajouter, et démontrer toi-même que ces deux définitions sont équivalentes. Si tu dois faire un cours en fac sur le sujet, tu as intérêt à avoir complétement déblayé toutes ces petites questions qui risquent de t'arriver posées pas des étudiants futés.
    je suis bien au courant que vu mes prétentions (tenter de fair en cours sur le sujet a la fac) je pose un peu beaucoup trop de questions qui sont un peu idiotes; ca m'apprendra a postuler a des postes de Math Appliquees.

    Donc, si tu veux être au clair, tu écris tes deux propositions sous la forme "f est dérivable en a si ..." et tu te convaincs qu'elles sont équivalentes en rédigeant la preuve.
    je suis convaincu qu'elles sont équivalentes du point de vue pratique mais c'est du point de vue du sens donne a la dérivée avec la proposition 2 seule (ou son existence n'est pas questionnée) que j'ai un peu de mal.
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

  15. #12
    gg0

    Re : definition de la dérivée d'une fonction

    Pour Dynamix : Le calcul de limite qui donne le nombre dérivé n'est pas la définition de la dérivée : C'est une égalité, pas une définition. Il suffit de rédiger correctement la définition pour voir qu'il s'agit de deux définitions équivalentes.

    Je suis très surpris de ces difficultés (*), car c'est du niveau d'un bon élève de terminale (ou de fin de première de l'époque de mes études).

    Cordialement.

    (*) si ce n'est pas du pinaillage sur les mots.

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  17. #13
    gatsu

    Re : definition de la dérivée d'une fonction

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Si tu rédigeais correctement les deux propriétés, tu n'aurais aucun problème. Dans les deux cas, la dérivabilité est l'existence d'un certain nombre (si ça te gène d'écrire lim avant d'avoir l'existence de la limite, tu écris le quotient et tu exiges qu'il ait une limite), et le nombre dérivé est ce nombre.

    Dans tous les cas "la dérivée définie uniquement par la proposition 2 n'est pas un nom associe au processus de la limite d'une suite de sécantes", mais un nombre défini précisément et qui traduit l'idée intuitive du coefficient directeur de la tangente. La définition de la dérivée n'est pas géométrique.

    Tu es bizarrement pointilleux sur les définitions, pas sur le rapport intuitif/formel. Peut-être toutes tes difficultés viennent-elles de là : La dérivée a des définitions (équivalentes) dans son propre domaine : l'analyse. Elle sera utilisée pour définir des notions généralement floues, comme la notion de tangente à une courbe. Quitte à prouver que les tangentes au cercle sont bien des tangentes en ce sens.

    Si tu veux continuer sur ce sujet, rédige complétement les deux définitions. Et traite-les en termes de maths, pas de sensations : Si une chose te gêne, écris-la complétement.
    Ok merci beaucoup.
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

  18. #14
    gg0

    Re : Definition de la dérivée d'une fonction

    Pour que ce soit clair :

    1) f est dérivable en a si, sur un voisinage de a, il existe un réel A tel que
    A est appelé dérivée de f en a et noté f'(a)
    2) f est dérivable en a si a une limite finie en a. Cette limite est appelée dérivée de f en a et noté f'(a)

  19. #15
    gatsu

    Re : definition de la dérivée d'une fonction

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Pour Dynamix : Le calcul de limite qui donne le nombre dérivé n'est pas la définition de la dérivée : C'est une égalité, pas une définition. Il suffit de rédiger correctement la définition pour voir qu'il s'agit de deux définitions équivalentes.

    Je suis très surpris de ces difficultés (*), car c'est du niveau d'un bon élève de terminale (ou de fin de première de l'époque de mes études).

    Cordialement.

    (*) si ce n'est pas du pinaillage sur les mots.
    oui oui je sais bien et je n'en suis pas vraiment ravi non plus...
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

  20. #16
    gatsu

    Re : Definition de la dérivée d'une fonction

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Pour que ce soit clair :

    1) f est dérivable en a si, sur un voisinage de a, il existe un réel A tel que
    A est appelé dérivée de f en a et noté f'(a)
    2) f est dérivable en a si a une limite finie en a. Cette limite est appelée dérivée de f en a et noté f'(a)
    ok pas de probleme avec ces deux definitions; effectivement c'est juste que j'écrivais la deuxieme mal en fait; désolé.
    "Au fond..la musique si on la prend note par note c'est assez nul". Geluck

  21. #17
    gg0

    Re : Definition de la dérivée d'une fonction

    Je réécris, je n'avais pas vérifié le LaTeX :

    Pour que ce soit clair :

    1) f est dérivable en a si, sur un voisinage de a, il existe un réel A tel que
    A est appelé dérivée de f en a et noté f'(a).

    2) f est dérivable en a si a une limite finie en a. Cette limite est appelée dérivée de f en a et noté f'(a).
    Dernière modification par gg0 ; 08/02/2015 à 16h46.

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