Exercice terminale S suite et recurrence

[invite1287c134]

Bonjour,
Je travaille sur cet exercice depuis un bon moment mais rien à faire je n'y arrive pas :
On considere la suite (un) définie par u0=8 et pour tout n appartenant à N pa r un+1=1/2(un+3/un)
On considére la fonction définie que [√3;+∞[ par f(x) =1/2(x+3/x)

A. Étudier les variations de f(x)
J'ai trouvé que la fonction était strictement croissante.

B. Démontrer pour tout n appartenant à N, un >=√3
J'ai déduit que un+1>=√3 puisque sa fonction associée est comprise entre [√3 ;+∞[. Mais je ne sais pas comment faire pour un.

C. En utilisant les questions A et B, démontrer par référence que la suite (un) est décroissante
Pn : un+1<un

Initialisation : Montrons que P0 est vraie
P0 : u1<u0 ce qui est vrai car 4,19<8

Hérédité : Supposons que Pn est vraie, montrons alors que Pn+1 est vrai
Pn+1: un+2<un+1

On a un+1<un
Malgré toutes mes tentatives je n'arrive pas à le démontrer
Pouvez vous me mettre sur la piste ?
Merci d'avance
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[invite1287c134]

Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

[PlaneteF]

Bonsoir,

Pour le B, fais un simple raisonnement par récurrence qui est immédiat en utilisant la stricte croissance de la fonction .

Cordialement

[invite237855a1]

Bonjour Camille,


Petite faute de ta part : nous ne savons pas si dans "un+3" le "n" est en indice, ou le "n+3" l'est. Je vais considérer :


A. Étudier les variations de f(x)

Ta réponse est bonne, elle est bien strictement croissante sur cet intervalle (n'oublie pas de rappeller "sur l'intervalle ...").

B. Démontrer pour tout n appartenant à N, un >=√3

Tu as une bonne idée, mais au lieu d'utiliser sa fonction associée, tu devrais faire un raisonnement par récurrence. Pour cela, il suffit de suivre trois étapes :

1. Initialisation : Tu montres que pour , .

2. Hérédité : tu montres la récurence. L'idée est de partir de et de grimper jusqu'à avec .



Pour le passage à la fonction inverse : la fonction inverse change le signe de l'inéquation.

Il te suffit donc de vérifier que . Si tu arrives à prouver cela, alors c'est que vérifie la conjecture (selon laquelle ).

3. Conclusion : Tu conclues.


C. En utilisant les questions A et B, démontrer par référence que la suite (un) est décroissante

Montrer par récurence (et non référence) serait plus approprié, non ?

Inutile d'écrire "initialisation" etc., ce n'est utile que pour un cours.

Donc nous avons bien qui vérifie l'énoncé. Concernant l'héridité, voila un meilleur début :




Bon courrage pour la suite !

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

B. Démontrer pour tout n appartenant à N, un >=√3

Tu as une bonne idée, mais au lieu d'utiliser sa fonction associée, tu devrais faire un raisonnement par récurrence. Pour cela, il suffit de suivre trois étapes :

1. Initialisation : Tu montres que pour , .

2. Hérédité : tu montres la récurence. L'idée est de partir de et de grimper jusqu'à [tex]U_{k+1)} avec .



Pour le passage à la fonction inverse : la fonction inverse change le signe de l'inéquation.

Il te suffit donc de vérifier que . Si tu arrives à prouver cela, alors c'est que vérifie la conjecture (selon laquelle \forall n \in \mathbb N, U_n\geqslant \sqrt {3}).

3. Conclusion : Tu conclues.

En utilisant la stricte croissance de , la récurrence se fait en 1 ligne et aucun calcul

(c'est d'ailleurs l'esprit de l'énoncé)

Cordialement

[PlaneteF]

Et même remarque pour la question C, cela se fait en 1 ligne et aucun calcul de la même manière (là encore dans l'esprit de l'énoncé).

Cdt

[invite237855a1]

En utilisant la stricte croissance de , la récurrence se fait en 1 ligne et aucun calcul

(c'est d'ailleurs l'esprit de l'énoncé)

Cordialement

Certainement ! Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? (en réalité, c'est la notion de démonstration qui m'induit souvent [malheureusement...] en erreur ; je me serais attendu à un "en déduire [...]" s'il s'agissait d'une prise en compte de la fonction associée à la suite. Tout cela pour dire que je ne suis pas très fiable.

[invite1287c134]

Merci pour vos réponses
J'ai pu faire la question B avec la méthode sans calcul mais ça bloque toujours du côté de la question C. Je ne comprends pas bien le raisonnement : la fonction est croissante mais la suite est decroissante

[invite1287c134]

Merci pour vos réponses !
J'ai pu faire la question B avec la méthode sans calcul mais ça bloque toujours du côté de la question C. Je ne comprends pas bien le raisonnement : la fonction est croissante mais la suite est decroissante

[PlaneteF]

C'est la même chanson. Fais une récurrence en utilisant la stricte croissance de sur l'intervalle en question --> Idem, 1 ligne, 0 calcul.

Cdt

[invite1287c134]

Donc si je comprends bien ,on fait :

P0 : u1<u0 ce qui est vrai car 4,19<8
Supposons que Pn est vraie, montrons alors que Pn+1 est vrai
Pn+1: un+2<un+1 ce qui vrai puisque la fonction associée à un+1 est croissante
Mais en quoi de savoir que la fonction est croissante nous permet de conclure ?

[PlaneteF]

Soit . Supposons que

Or d'après la question A, et appartiennent à l'intervalle

Donc on peut appliquer la stricte croissance de sur cet intervalle, à l'inégalité

Je te laisse finir.

Cdt