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Exercice terminale S suite et recurrence



  1. #1
    Camille1008

    Exercice terminale S suite et recurrence


    ------

    Bonjour,
    Je travaille sur cet exercice depuis un bon moment mais rien à faire je n'y arrive pas :
    On considere la suite (un) définie par u0=8 et pour tout n appartenant à N pa r un+1=1/2(un+3/un)
    On considére la fonction définie que [√3;+∞[ par f(x) =1/2(x+3/x)

    A. Étudier les variations de f(x)
    J'ai trouvé que la fonction était strictement croissante.

    B. Démontrer pour tout n appartenant à N, un >=√3
    J'ai déduit que un+1>=√3 puisque sa fonction associée est comprise entre [√3 ;+∞[. Mais je ne sais pas comment faire pour un.

    C. En utilisant les questions A et B, démontrer par référence que la suite (un) est décroissante
    Pn : un+1<un

    Initialisation : Montrons que P0 est vraie
    P0 : u1<u0 ce qui est vrai car 4,19<8

    Hérédité : Supposons que Pn est vraie, montrons alors que Pn+1 est vrai
    Pn+1: un+2<un+1

    On a un+1<un
    Malgré toutes mes tentatives je n'arrive pas à le démontrer
    Pouvez vous me mettre sur la piste ?
    Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    Camille1008

    Re : Exercice terminale S suite et recurrence

    Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

  4. #3
    PlaneteF

    Re : Exercice terminale S suite et recurrence

    Bonsoir,

    Pour le B, fais un simple raisonnement par récurrence qui est immédiat en utilisant la stricte croissance de la fonction .

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 26/09/2015 à 20h48.

  5. #4
    HugoD

    Re : Exercice terminale S suite et recurrence

    Bonjour Camille,


    Petite faute de ta part : nous ne savons pas si dans "un+3" le "n" est en indice, ou le "n+3" l'est. Je vais considérer :


    A. Étudier les variations de f(x)

    Ta réponse est bonne, elle est bien strictement croissante sur cet intervalle (n'oublie pas de rappeller "sur l'intervalle ...").

    B. Démontrer pour tout n appartenant à N, un >=√3

    Tu as une bonne idée, mais au lieu d'utiliser sa fonction associée, tu devrais faire un raisonnement par récurrence. Pour cela, il suffit de suivre trois étapes :

    1. Initialisation : Tu montres que pour , .

    2. Hérédité : tu montres la récurence. L'idée est de partir de et de grimper jusqu'à avec .



    Pour le passage à la fonction inverse : la fonction inverse change le signe de l'inéquation.

    Il te suffit donc de vérifier que . Si tu arrives à prouver cela, alors c'est que vérifie la conjecture (selon laquelle ).

    3. Conclusion : Tu conclues.


    C. En utilisant les questions A et B, démontrer par référence que la suite (un) est décroissante

    Montrer par récurence (et non référence) serait plus approprié, non ?

    Inutile d'écrire "initialisation" etc., ce n'est utile que pour un cours.

    Donc nous avons bien qui vérifie l'énoncé. Concernant l'héridité, voila un meilleur début :




    Bon courrage pour la suite !
    Images attachées Images attachées
    Dernière modification par HugoD ; 26/09/2015 à 20h50.

  6. #5
    PlaneteF

    Re : Exercice terminale S suite et recurrence

    Citation Envoyé par HugoD Voir le message
    B. Démontrer pour tout n appartenant à N, un >=√3

    Tu as une bonne idée, mais au lieu d'utiliser sa fonction associée, tu devrais faire un raisonnement par récurrence. Pour cela, il suffit de suivre trois étapes :

    1. Initialisation : Tu montres que pour , .

    2. Hérédité : tu montres la récurence. L'idée est de partir de et de grimper jusqu'à [tex]U_{k+1)} avec .



    Pour le passage à la fonction inverse : la fonction inverse change le signe de l'inéquation.

    Il te suffit donc de vérifier que . Si tu arrives à prouver cela, alors c'est que vérifie la conjecture (selon laquelle \forall n \in \mathbb N, U_n\geqslant \sqrt {3}).

    3. Conclusion : Tu conclues.

    En utilisant la stricte croissance de , la récurrence se fait en 1 ligne et aucun calcul

    (c'est d'ailleurs l'esprit de l'énoncé)

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 26/09/2015 à 20h53.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    PlaneteF

    Re : Exercice terminale S suite et recurrence

    Et même remarque pour la question C, cela se fait en 1 ligne et aucun calcul de la même manière (là encore dans l'esprit de l'énoncé).

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 26/09/2015 à 20h59.

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  10. #7
    HugoD

    Re : Exercice terminale S suite et recurrence

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    En utilisant la stricte croissance de , la récurrence se fait en 1 ligne et aucun calcul

    (c'est d'ailleurs l'esprit de l'énoncé)

    Cordialement
    Certainement ! Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? (en réalité, c'est la notion de démonstration qui m'induit souvent [malheureusement...] en erreur ; je me serais attendu à un "en déduire [...]" s'il s'agissait d'une prise en compte de la fonction associée à la suite. Tout cela pour dire que je ne suis pas très fiable.

  11. #8
    Camille1008

    Re : Exercice terminale S suite et recurrence

    Merci pour vos réponses
    J'ai pu faire la question B avec la méthode sans calcul mais ça bloque toujours du côté de la question C. Je ne comprends pas bien le raisonnement : la fonction est croissante mais la suite est decroissante

  12. #9
    Camille1008

    Re : Exercice terminale S suite et recurrence

    Merci pour vos réponses !
    J'ai pu faire la question B avec la méthode sans calcul mais ça bloque toujours du côté de la question C. Je ne comprends pas bien le raisonnement : la fonction est croissante mais la suite est decroissante

  13. #10
    PlaneteF

    Re : Exercice terminale S suite et recurrence

    C'est la même chanson. Fais une récurrence en utilisant la stricte croissance de sur l'intervalle en question --> Idem, 1 ligne, 0 calcul.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 26/09/2015 à 21h49.

  14. #11
    Camille1008

    Re : Exercice terminale S suite et recurrence

    Donc si je comprends bien ,on fait :

    P0 : u1<u0 ce qui est vrai car 4,19<8
    Supposons que Pn est vraie, montrons alors que Pn+1 est vrai
    Pn+1: un+2<un+1 ce qui vrai puisque la fonction associée à un+1 est croissante
    Mais en quoi de savoir que la fonction est croissante nous permet de conclure ?

  15. #12
    PlaneteF

    Re : Exercice terminale S suite et recurrence

    Soit . Supposons que

    Or d'après la question A, et appartiennent à l'intervalle

    Donc on peut appliquer la stricte croissance de sur cet intervalle, à l'inégalité

    Je te laisse finir.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 26/09/2015 à 22h11.

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