Méthode de solution particulière, complexes

[invite01356ec6]

Bonjour,

j'ai besoin d'aide...

En résumé, j'ai :

"Résolvez dans les complexes :"

x⁶ = 8i

Je voudrais résoudre ça avec la méthode de solutions particulières.
Donc je dois d'abord trouver un z tel que :

z⁶ = 8cis(pi/2)

Et ça ne je ne trouve pas.
Je sais qu'après je dois résoudre dans les complexes:

x⁶ = 1

Dont les solutions sont :

cis(2pi/6)^k

avec k appartenant à l’ensemble {0,1,...,5}

Comment trouver un z qui, une fois multiplié à ça donnera les solutions pour
x⁶ = 8i

Est-ce que je me goure quelque part ?
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[gg0]

Bonjour.

C'est qui "cis" ??

Sinon, la méthode n'est adaptée que si tu connais une solution particulière. Comme tu n'en connais pas, c'est à peu près aussi futé que vouloir prendre un avion quand il n'y a pas d'avoin.
Alors qu'il est très simple de trouver les solutions en écrivant z sous forme exponentielle.

Cordialement

[invite01356ec6]

Bonsoir,

je ne pense pas que ce soit si peu futé... C'est un exercice que j'ai reçu de l'un de mes professeurs de math à l’université... La consigne est clair, résoudre avec la méthode de solution particulière.

Quant au cis, c'est l'abréviation qui correspond à la forme trigonométrique d'un nombres complexe. Ça représente (cos(théta) + i sin(théta))

Tout le monde l'utilise non ?

[invite01356ec6]

Bonsoir,

je ne pense pas que ce soit si peu futé... C'est un exercice que j'ai reçu de l'un de mes professeurs de math à l’université... La consigne est clair, résoudre avec la méthode de solution particulière.

Quant au cis, c'est l'abréviation qui correspond à la forme trigonométrique d'un nombres complexe. Ça représente (cos(théta) + i sin(théta))

Tout le monde l'utilise non ?

EDIT : Je me corrige. Il n'est pas écrit dans la consigne que je dois le résoudre par cette méthode, donc il est possible que mon prof n'attende pas ce type de résolution. Cependant, je lui avais remis la résolution (fausse, sinon je ne serais pas ici) de cet exercice, et il m'avait pisté en me décrivant les étapes de résolution, que je connaissais déjà. Donc, c'est possible de le résoudre de cette manière.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pour "cis", il s'agit d'une notation particulière peu utilisée (c'est tellement mieux d'utiliser exp(it) plutôt que cis(t), on peut appliquer les règles classiques de l'exponentielle).
Quant à l'utilisation d'une solution particulière, encore une fois, ça n'a d'intérêt que quand on l'a. Comme ici tu n'es pas capable de deviner, c'est une méthode pour ton prof !! A moins que ce soit une question dans un problème et que les calculs précédents aient justement fait apparaître un nombre qui, élevé à la puissance 6, donne justement 8i.

Cordialement.

[invite01356ec6]

Malheureusement, je n'ai pas vu la forme exponentielle.
Je dois donc trouver la solution à cette équation avec les méthodes que je connaît. De plus, on a vu cette méthode en cours, et cette question était à faire dans le cadre de la théorie sur la méthode de résolution particulière... Les seuls exemples que l'on a vu à propos de ce type de résolution sont au nombres de deux, et sont tous les deux du types "Résoudre dans les complexes : x^a = 1". En plus de ça je ne trouve aucune documentation sur internet à ce sujet.

[Resartus]

A defaut de connaitre la forme exponentielle, vous avez au moins dû apprendre l'écriture d'un nombre sous sa forme module et argument, et apprendre que si x a le module a et l'argument theta, x^n a le module a^n et l'argument ntheta (ce qui est une application de la formule générale du produit de deux complexes exprimés en module argument)

A partir de cela, il ne devrait pas être trop difficile de trouver une solution particulière de l'équation (toujours exprimée en module argument), puis d'en déduire les autres

[invite01356ec6]

Et bien, je me souviens de quelque chose d'assez similaire. je pense que c'est la formule de De Moivre qui dit que . Par contre, je ne savais pour l'argument aⁿ. En tous les cas, je ne vois toujours pas comment ça peut m'aider.

Je sais que je dois trouver une solution

tel que

Ca veut donc dire que je cherche



Mais après ?

Je dois simplement faire


Ce qui voudrait dire que

et que

|z|⁶=8

et donc |z|= (racine 6ième)

[Resartus]

C'est cela. On peut quand même simplifier un peu racine sixième de 8 (sachant que 8=2^3)

[gg0]

Attention,

ne donne pas seulement , mais 5 autres valeurs à près, dont deux particulièrement simples.

Ce qui est un peu surprenant, c'est que tu aies ce genre d'exercice à faire avec aussi peu de connaissances. En général, quand on fait ça, on connaît les propriétés des modules et arguments, et l'unicité du module, et l'unicité à près des arguments. Donc on sait que si z= r. cis(t), alors r⁶ est le module de 8 i, soit 8 et 6t est un argument de 8i donc .
Ce qui permet de trouver les 6 valeurs de z.

Quant à la méthode particulière c'est simplement que zⁿ=aⁿ donne (si a est non nul) . Pas besoin de cours si on sait calculer.

Cordialement.

[invite01356ec6]

Bonjour,

je répond un peu tard, mais je voulais juste vous remercier de m'avoir aider...
Au final, on n'avais pas réellement vu cette méthode en cours... (même si en réalité, c'est une méthode on ne peut plus simple)
Donc voilà ^^