Problème : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

[PlaneteF]

Utilise le fait que , ... et la récurrence est immédiate.

Cdt
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[invite521422ec]

en multipliant ((Un)+1) à -1<Un<0 ? ce qui donnerait un -(Un)-1<Un+1<0 ce qui me semble presque complet mis à part ce -Un en première partie de l'inéquation

[PlaneteF]

Tout simplement par hypothèse de récurrence on a donc on en déduit que

Et donc

Cdt

[invite521422ec]

je ne comprend pas comment tu fais pour passer de tes 2 première inégalités à la dernière

[PlaneteF]

Supposons que : et

De la première inégalié on déduit que

Du coup et donc


Cdt

[invite521422ec]

Comment tu déduis 0<-a<1 de -1<a<0 ? En ajoutant 1 à chaque terme de l'inégalité ? Mais de ce cas je ne comprend pas le "-a".

J'essaie réellement de comprendre.. Ne perd pas patience ahah..

[PlaneteF]

Il me semble que ce sont des règles que l'on voit en 3e --> Et bien tout simplement en multipliant par et en inversant le sens des inégalités !!!

Et pour donner une explication d'un niveau terminal, tout simplement parce que la fonction est strictement décroissante sur , d'où l'inversion du sens des inégalités lorsque l'on applique cette fonction c'est-à-dire lorsque l'on change les signes !

Cdt

[invite521422ec]

d'accord, merci !

dans une partie ultérieur du dm on me demande de donner la limite en + infini de f(x)=2V(x)+(2/V(x))-1 et en 0
en + infini j'ai trouve + infini mais pour 0 je sais qu'il faut que je calcul la limite en 0 avec x<0 puis >0, mais c'est impossible non ? à cause des racines carrés ?

[invite521422ec]

je sais que lim x->0 V(x)=0, mais pour ce qui est de x->0 avec x>0 ou x<0 je ne sais pas si c'est identique ou non

[PlaneteF]

Bonjour,

Tu n'as pas à considérer puisque cela ne fait pas partie du domaine de définition.

Cdt

[invite521422ec]

donc lim x->+ infini de f(x) = + infini
lim x->0 de f(x) = + infini car [lim 2V(x)=0], [lim (2/V(x)) = + infini], [lim -1=-1], le tout faisant +infini

juste ?

[PlaneteF]

Oui, ... ce qui "cadre" bien avec

Cdt

[invite7d367980]

C'est d'ailleurs intéressant d'utiliser le fait que pour calculer les deux limites. En effet tu montres que . Il suffit de poser et comme alors par composition de fonctions et comme sont continues, alors .

C'est une manière peut-être plus élégante de voir les choses et qui permet d'éviter de faire un autre calcul, donc un gain de temps et une chance en moins de faire une erreur de calcul.

[invite521422ec]

je suis maintenant bloqué (surment à cause des racines carrés) à cette étape : montrer que pour tout réel x>0 : f'(x)=(x-1)/(x*V(x))

[PlaneteF]

Il s'agit là d'un banal calcul de dérivée. Où est ton problème ? ... Vas-y, fais tomber le calcul

Cdt

[invite521422ec]

j'ai essayé d'appliquer la méthode : (up)'=u'p+up'
pour cela j'ai factorisé : 2(V(x)+(1/V(x))-(1/2))
donc u(x)=2 ; u'(x)=0 ; p(x)= V(x)+(1/V(x))-(1/2)) ; p'(x)= (1-x)/(2V(x))

ce qui au final me donne du 2-2x/(2V(x))
et c'est pas ça que je dois trouver..

[invite7d367980]

Je n'ai absolument pas compris ce que tu as essayé de faire.

est une somme de fonction : , et

Tu sais que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées.
Tu dois donc dériver puis les sommer afin d'obtenir la dérivée de .

[invite521422ec]

je trouve f1=2/(2V(x)) ; f2= -2/(x*2V(x)) et f3=0

suis je sur la bonne route ?

[invite7d367980]

Attention, tu trouves : , et

Oui c'est ça, allez continue, aie confiance!
Et n'oublie pas les simplifications élémentaires sur et ...

PS : Évidemment, le que tu trouves au dénominateur de provient de . Attention, en règle générale, est faux, tu le sais bien.
C'est bien sûr et comme tu travailles sur , ça marche bien. Mais attention.

[invite521422ec]

j'ai donc 1/V(x)-(1/x*V(x))

et la je bloque, pour mettre tout sous le même le dénominateur commun, j'ai essayé mais je ne tombe pas sur le bon résultat, c'est là mon problème

[invite7d367980]

On y arrive... Bon... Quand même, mettre au même dénominateur ces fractions, un 3ème DOIT être capable de le faire.
Petit aparté, tu mets des parenthèses, c'est bien. Les mettre au bon endroit, c'est quand même beaucoup mieux. Ici c'est 1/V(X) - 1/[xV(x)]. Tu comprends la différence ?

Bon, maintenant, tu ne vois vraiment pas comment à partir de , tu peux obtenir un fraction de la forme ? Je te rappelle la propriété de 4ème :

[invite521422ec]

en effet, merci ! c'est plus clair avec les crochets.

je connais cette propriété mais je n'arrive pas à trouver comment faire apparaître le "x-1" en numérateur

[invite7d367980]

Mais enfin il n'y a rien à faire apparaître au numérateur.

(!!!!)

[invite521422ec]

oh putain ( désolé.. ) c'est si évident que je suis passé au dessus, j'étais partie pour multiplier les 2 dé numérateur etc.. n'importe quoi, merci en tout cas !

[invite7d367980]

T'es en T°S ? Certes le bac de maths n'est pas incroyablement dur, mais si tu passes 45mins à voir que 1/sqrt(x) = x/[xsqrt(x)], tu vas te compliquer les choses.

[invite521422ec]

oui je suis en TS, je sais bien que c'est évident et simple mais je cherchais à passer par un autre moyen pour mettre 1/V(x) et -1/xV(x) sous le même dénominateur (j'ai un peu soucis avec les V(x) on va dire, dès qu'il y en a j'essaie de trouver la réponse via un mode compliqué alors que c'est simple en effet)

[invite7d367980]

Mais il n'y a qu'une seule et unique méthode que tu as appris il y a déjà quelques temps pour mettre deux fractions au même dénominateur!! Elle est évidemment valable pour des rationnels comme les irrationnels (les racines en sont), les complexes... TOUT! Pas besoin de chercher midi à quatorze heure!

[invite521422ec]

j'ai fais une grosse partie du reste du dm mais la je suis de nouveau bloqué, voilà :
g(x)= x(au carré)/(x+1)
V0=9
Vn+1 =g(Vn)

monter que pour tout entier naturel n, Vn>(ou égal)0

initialisation : vrai pour n=0
hérédité : on suppose que pour tout entier n, on a Vn>(ou égale)0
Vn> (ou égale)0
Vn+1>(ou égal) 1 (j'ai ajouté 1, pas changé l'indice, ne pas confondre avec Vn+1= terme suivant)
1/(Vn+1)<(ou égal) 1 (j'ai inversé la fonction)
Vn/(Vn+1)<(ou égal) Vn (j'ai multiplié par Vn)
et la je bloque, comme mettre le numérateur au carré ? puis le sens de variation me semble faux pour ma conclusion

c'est URGENT svp, c'est ma dernière question !

[PlaneteF]

Une fois de plus cette récurrence est évidente :

Tu as

Donc si tu supposes que , ça ne va pas être trop compliqué de démontrer que

Cdt

[invite521422ec]

je laisse tomber mon raisonnement dans ce cas ? car pour justifier je dois logiquement procédé par étape et faire des calcul mathématiquement possible