Problème : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

[dani21]

Bonjour, je suis en TS et j'ai un soucis sur un exercice qui fais partie d'un DM sur les fonctions (chapitre Fonction et limite) et c'est assez urgent.

je vous insère une légende car je ne sais pas introduire le symbole racine carré : V(x)=racine de x

"on considère la fonction f définie sur ]0;+ infini[ par f(x)=2V(x)+(2/V(x))-1
Montrer que pour tout réel x>0: f(1/x)=f(x)"

j'ai d'abord essayé de procédé par récurrence en "transformant" les fonctions en suites où Un=f(x) et Vn=f(1/x) mais je reste bloqué sur l'hérédité, surement que c'est pas le bon chemin à prendre. si vous pouviez m'aider ce serait gentil, j'aimerais comprendre !

Merci d'avance.
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[PlaneteF]

Bonsoir,

j'ai d'abord essayé de procédé par récurrence en "transformant" les fonctions en suites où Un=f(x) et Vn=f(1/x) mais je reste bloqué sur l'hérédité,

... Hein ? ... Keseksa ?

La démonstration est évidente, tu calcules en utilisant le fait que , ... et tu tombes directement sur !

Cordialement

[dani21]

je laisse tomber le raisonnement par récurrence ?

[PlaneteF]

Mais un raisonnement par récurrence qui porterait sur quelle propriété dépendant de quelle variable n entier naturel ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[dani21]

UexN= U exposant N

voilà ce que j'ai commencé à faire:
je dois montrer que VexN=UexN

j'étais parti sur le fait que Uex1=3 et Vex1=3 (j'ai calculé)
par conséquent l'initialisation est vérifié car cela marche pour le premier terme

hérédité : on suppose que pour un entier N>0 (c'est ce qui est dis dans l'énnoncé, que N>0 (x>0)), on VexN=UexN

et là je suis censé faire l'hérédité mais c'est le néant

[PlaneteF]

... Hein ?? ... Mais qu'est-ce que c'est que ce délire ?? ... Je te le répète, relis mon message#2, la démonstration est évidente, elle se fait en 1 ligne et 10 secondes.

Cdt

[dani21]

Et suivant tes indications, en calculant f(1/x) je fais :

f(1/x)=2V(1/x)+2/(V(1/x))-1
=2*(1/V(x))+(2/(1/V(x))-1
=2/V(x)+2V(x)-1

je suis sur la bonne route ou je me suis déjà trompé ?
merci de m'aider, j'apprécie surtout à cette heure

[PlaneteF]

Et suivant tes indications, en calculant f(1/x) je fais :

f(1/x)=2V(1/x)+2/(V(1/x))-1
=2*(1/V(x))+(2/(1/V(x))-1
=2/V(x)+2V(x)-1

... ce qui est égal à

Next

[dani21]

oh bah oui.. je me sens vraiment idiot sur le coup.. on va dire que c'est par ce qu'il est tard ahah.. merci beaucoup ! si tu veux bien regarder tes messages privés

[dani21]

En fait je ne peux pas t'envoyer de message car tu as atteint le quota limite..

merci encore !

[PlaneteF]

Pour être rigoureux il faut quand même préciser la chose suivante :

La fonction est définie uniquement pour les réels strictement positifs. Donc puisque l'énoncé part de , il faut préciser qu'en conséquence , ce qui nous autorise à calculer .


Cdt

[dani21]

Voilà merci, c'est ce dont j'avais du mal à comprendre !

j'ai de nouveau essayé de t'envoyer un message mais ça me dit encore que tu as atteint le quota de message privé et que tu dois faire un peu d'espace?
sinon, je sais que ça peut te déranger et si c'est le cas je comprend mais je peux te donner mon adresse skype ou fb ou mon num téléphone (je supprimerais le message contenant mes données directement après bien sûr)

[PlaneteF]

sinon, je sais que ça peut te déranger et si c'est le cas je comprend mais je peux te donner mon adresse skype ou fb ou mon num téléphone (je supprimerais le message contenant mes données directement après bien sûr)

En rapport avec FS je ne dialogue qu'au travers de FS.

Cdt

[dani21]

Je comprend.

je vais essayer de faire la suite du dm, en cas de soucis je dois créer un nouveau post ou je peux continuer sur celui ci ?

[PlaneteF]

Le mieux c'est de continuer sur ce fil.

Cdt

[dani21]

Dans une autre partie de l'exercice on me donne :
"soit a un nombre réel tel que : -1<a<0
on considére le suite u définie par : Uex0=a, et pour tout entier naturel n UexN+1=(UexN )au carré + UexN

Etudier la monotonie de la suite u

je suis perdu car j'ai toujours appris que pour calculer la monotonie il me fallait Un et Un+1, or la je n'ai que Un+1..

[PlaneteF]

Tu confonds exposant et indice.

Sinon là encore la démonstration est évidente. Que vaut et quel est le signe de ? ... Conclusion.

Cdt

[dani21]

en effet, j'allais justement modifier mon message.;

justement, je n'ai pas Un !

[PlaneteF]

On a :

A partir de cette égalité quelle expression de peux-tu donner immédiatement te permettant de statuer sur son signe ?

Cdt

[dani21]

Un+1 - Un = (Un) au carré
par conséquent Un+1 - Un>0 car (Un) au carré>0 (car un carré est forcément >0)

j'ai juste ?
et comment fais tu pour inclure les expression mathématiques aux messages ? merci

[PlaneteF]

Un+1 - Un = (Un) au carré
par conséquent Un+1 - Un>0 car (Un) au carré>0 (car un carré est forcément >0)

Avec ce stade du raisonnement tu ne peux que conclure et non pas .

N.B. : Un carré n'est pas forcément >0, il peut être =0.

et comment fais tu pour inclure les expression mathématiques aux messages ? merci

En utilisant Latex.

Cdt

[dani21]

c'est un bon début ahah..
sachant que le premier terme Uo est non nul (u0=a et a<0) la suite tes termes ne peuvent être nul donc un+1-un>0

j'ai essayé de broder quelque chose autour de mon idée m'ai ça reste un peu vague..

[PlaneteF]

sachant que le premier terme Uo est non nul (u0=a et a<0) la suite tes termes ne peuvent être nul

C'est un peu court comme raisonnement, ce n'est pas si évident que cela, ... Il faut faire un raisonnement par récurrence et montrer que pour tout entier naturel ,

Cdt

[dani21]

d'accord, je vais faire ça ! je communiquerais mes résultats demain matin, sera tu disponible demain ?

[PlaneteF]

(...) sera tu disponible demain ?

Par moment oui, par moment non, ... mais de toute manière il y a beaucoup de forumiens qui pourront probablement t'aider.

Cdt

[dani21]

j'espère !

en tout cas merci beaucoup de m'avoir aider ! à demain ( ou plutot tout à l'heure), bonne nuit !

[PlaneteF]

OK ça marche.

Cdt

[dani21]

Juste, pour la récurence j'ai fais l'initialisation et pour l'hérédité j'ai fais:
on suppose que pour un entier n, on a -1<Un<0
-1+(Un) au carré <Un + (Un) au carré< (Un) au carré
-1+(Un) au carré < Un+1 < (Un) au carré

mais je n'arrive pas à continuer et par conséquent conclure..

[PlaneteF]

C'est un peu court comme raisonnement, ce n'est pas si évident que cela, ... Il faut faire un raisonnement par récurrence et montrer que pour tout entier naturel ,

Je vais t'expliquer un peu plus dans le détail pourquoi ton raisonnement est effectivement trop court, beaucoup trop court, ... car je pense que ce point est important à comprendre.

Tu dis que puisque est non nul alors les autres termes sont non nuls aussi. A cela je te réponds 2 choses :

1) En quoi cela prouve t-il directement que est non nul ?

2) Et même pour ce n'est pas aussi simple que cela car . C'est forcément non nul ça ? ... Et que se passe t-il si ?! ... Tu vas me répondre mais ne peut pas être égal à , ce à quoi je te réponds mais alors dans ce cas tu utilises plus que le fait que est non nul ! ... être différent de est tout aussi primordial !! ... Et qui te dit que les autres termes sont eux aussi différents de afin d'assurer la non nullité du terme suivant ?!!

--> D'où la récurrence que je te propose.

Tu vois, quelque chose qui peut paraître évident si l'on regarde vaguement, ne l'est finalement pas tant que ça !


Cdt

[dani21]

je m'en rend bien compte, merci pour tes précieuses explications.

j'ai essayé la récurrence dans mon message #28 mais je n'arrive pas à terminer, j'ai eu du mal à assimiler son fonctionnement lors du chapitre que j'ai étudié précédemment et je ne m'attendais pas en revoir encore ahah..