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Problème : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)




  1. #1
    dani21

    Problème : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Bonjour, je suis en TS et j'ai un soucis sur un exercice qui fais partie d'un DM sur les fonctions (chapitre Fonction et limite) et c'est assez urgent.

    je vous insère une légende car je ne sais pas introduire le symbole racine carré : V(x)=racine de x

    "on considère la fonction f définie sur ]0;+ infini[ par f(x)=2V(x)+(2/V(x))-1
    Montrer que pour tout réel x>0: f(1/x)=f(x)"

    j'ai d'abord essayé de procédé par récurrence en "transformant" les fonctions en suites où Un=f(x) et Vn=f(1/x) mais je reste bloqué sur l'hérédité, surement que c'est pas le bon chemin à prendre. si vous pouviez m'aider ce serait gentil, j'aimerais comprendre !

    Merci d'avance.

    -----


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  3. #2
    PlaneteF

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Bonsoir,

    Citation Envoyé par dani21 Voir le message
    j'ai d'abord essayé de procédé par récurrence en "transformant" les fonctions en suites où Un=f(x) et Vn=f(1/x) mais je reste bloqué sur l'hérédité,
    ... Hein ? ... Keseksa ?

    La démonstration est évidente, tu calcules en utilisant le fait que , ... et tu tombes directement sur !

    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/11/2015 à 00h37.

  4. #3
    dani21

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    je laisse tomber le raisonnement par récurrence ?


  5. #4
    PlaneteF

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Mais un raisonnement par récurrence qui porterait sur quelle propriété dépendant de quelle variable n entier naturel ??
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/11/2015 à 00h46.

  6. #5
    dani21

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    UexN= U exposant N

    voilà ce que j'ai commencé à faire:
    je dois montrer que VexN=UexN

    j'étais parti sur le fait que Uex1=3 et Vex1=3 (j'ai calculé)
    par conséquent l'initialisation est vérifié car cela marche pour le premier terme

    hérédité : on suppose que pour un entier N>0 (c'est ce qui est dis dans l'énnoncé, que N>0 (x>0)), on VexN=UexN

    et là je suis censé faire l'hérédité mais c'est le néant

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    PlaneteF

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    ... Hein ?? ... Mais qu'est-ce que c'est que ce délire ?? ... Je te le répète, relis mon message#2, la démonstration est évidente, elle se fait en 1 ligne et 10 secondes.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/11/2015 à 00h52.

  9. #7
    dani21

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Et suivant tes indications, en calculant f(1/x) je fais :

    f(1/x)=2V(1/x)+2/(V(1/x))-1
    =2*(1/V(x))+(2/(1/V(x))-1
    =2/V(x)+2V(x)-1

    je suis sur la bonne route ou je me suis déjà trompé ?
    merci de m'aider, j'apprécie surtout à cette heure

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  11. #8
    PlaneteF

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Citation Envoyé par dani21 Voir le message
    Et suivant tes indications, en calculant f(1/x) je fais :

    f(1/x)=2V(1/x)+2/(V(1/x))-1
    =2*(1/V(x))+(2/(1/V(x))-1
    =2/V(x)+2V(x)-1
    ... ce qui est égal à

    Next
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/11/2015 à 01h00.

  12. #9
    dani21

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    oh bah oui.. je me sens vraiment idiot sur le coup.. on va dire que c'est par ce qu'il est tard ahah.. merci beaucoup ! si tu veux bien regarder tes messages privés

  13. #10
    dani21

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    En fait je ne peux pas t'envoyer de message car tu as atteint le quota limite..

    merci encore !

  14. #11
    PlaneteF

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Pour être rigoureux il faut quand même préciser la chose suivante :

    La fonction est définie uniquement pour les réels strictement positifs. Donc puisque l'énoncé part de , il faut préciser qu'en conséquence , ce qui nous autorise à calculer .


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/11/2015 à 01h11.

  15. #12
    dani21

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Voilà merci, c'est ce dont j'avais du mal à comprendre !

    j'ai de nouveau essayé de t'envoyer un message mais ça me dit encore que tu as atteint le quota de message privé et que tu dois faire un peu d'espace?
    sinon, je sais que ça peut te déranger et si c'est le cas je comprend mais je peux te donner mon adresse skype ou fb ou mon num téléphone (je supprimerais le message contenant mes données directement après bien sûr)

  16. #13
    PlaneteF

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Citation Envoyé par dani21 Voir le message
    sinon, je sais que ça peut te déranger et si c'est le cas je comprend mais je peux te donner mon adresse skype ou fb ou mon num téléphone (je supprimerais le message contenant mes données directement après bien sûr)
    En rapport avec FS je ne dialogue qu'au travers de FS.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/11/2015 à 01h19.

  17. #14
    dani21

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Je comprend.

    je vais essayer de faire la suite du dm, en cas de soucis je dois créer un nouveau post ou je peux continuer sur celui ci ?

  18. #15
    PlaneteF

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Le mieux c'est de continuer sur ce fil.

    Cdt

  19. #16
    dani21

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Dans une autre partie de l'exercice on me donne :
    "soit a un nombre réel tel que : -1<a<0
    on considére le suite u définie par : Uex0=a, et pour tout entier naturel n UexN+1=(UexN )au carré + UexN

    Etudier la monotonie de la suite u

    je suis perdu car j'ai toujours appris que pour calculer la monotonie il me fallait Un et Un+1, or la je n'ai que Un+1..

  20. #17
    PlaneteF

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Tu confonds exposant et indice.

    Sinon là encore la démonstration est évidente. Que vaut et quel est le signe de ? ... Conclusion.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/11/2015 à 01h57.

  21. #18
    dani21

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    en effet, j'allais justement modifier mon message.;

    justement, je n'ai pas Un !

  22. #19
    PlaneteF

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    On a :

    A partir de cette égalité quelle expression de peux-tu donner immédiatement te permettant de statuer sur son signe ?

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/11/2015 à 02h06.

  23. #20
    dani21

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Un+1 - Un = (Un) au carré
    par conséquent Un+1 - Un>0 car (Un) au carré>0 (car un carré est forcément >0)

    j'ai juste ?
    et comment fais tu pour inclure les expression mathématiques aux messages ? merci

  24. #21
    PlaneteF

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Citation Envoyé par dani21 Voir le message
    Un+1 - Un = (Un) au carré
    par conséquent Un+1 - Un>0 car (Un) au carré>0 (car un carré est forcément >0)
    Avec ce stade du raisonnement tu ne peux que conclure et non pas .

    N.B. : Un carré n'est pas forcément >0, il peut être =0.


    Citation Envoyé par dani21 Voir le message
    et comment fais tu pour inclure les expression mathématiques aux messages ? merci
    En utilisant Latex.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/11/2015 à 02h14.

  25. #22
    dani21

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    c'est un bon début ahah..
    sachant que le premier terme Uo est non nul (u0=a et a<0) la suite tes termes ne peuvent être nul donc un+1-un>0

    j'ai essayé de broder quelque chose autour de mon idée m'ai ça reste un peu vague..

  26. #23
    PlaneteF

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Citation Envoyé par dani21 Voir le message
    sachant que le premier terme Uo est non nul (u0=a et a<0) la suite tes termes ne peuvent être nul
    C'est un peu court comme raisonnement, ce n'est pas si évident que cela, ... Il faut faire un raisonnement par récurrence et montrer que pour tout entier naturel ,

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/11/2015 à 02h25.

  27. #24
    dani21

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    d'accord, je vais faire ça ! je communiquerais mes résultats demain matin, sera tu disponible demain ?

  28. #25
    PlaneteF

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Citation Envoyé par dani21 Voir le message
    (...) sera tu disponible demain ?
    Par moment oui, par moment non, ... mais de toute manière il y a beaucoup de forumiens qui pourront probablement t'aider.

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/11/2015 à 02h31.

  29. #26
    dani21

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    j'espère !

    en tout cas merci beaucoup de m'avoir aider ! à demain ( ou plutot tout à l'heure), bonne nuit !

  30. #27
    PlaneteF

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    OK ça marche.

    Cdt

  31. #28
    dani21

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Juste, pour la récurence j'ai fais l'initialisation et pour l'hérédité j'ai fais:
    on suppose que pour un entier n, on a -1<Un<0
    -1+(Un) au carré <Un + (Un) au carré< (Un) au carré
    -1+(Un) au carré < Un+1 < (Un) au carré

    mais je n'arrive pas à continuer et par conséquent conclure..

  32. #29
    PlaneteF

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    C'est un peu court comme raisonnement, ce n'est pas si évident que cela, ... Il faut faire un raisonnement par récurrence et montrer que pour tout entier naturel ,
    Je vais t'expliquer un peu plus dans le détail pourquoi ton raisonnement est effectivement trop court, beaucoup trop court, ... car je pense que ce point est important à comprendre.

    Tu dis que puisque est non nul alors les autres termes sont non nuls aussi. A cela je te réponds 2 choses :

    1) En quoi cela prouve t-il directement que est non nul ?

    2) Et même pour ce n'est pas aussi simple que cela car . C'est forcément non nul ça ? ... Et que se passe t-il si ?! ... Tu vas me répondre mais ne peut pas être égal à , ce à quoi je te réponds mais alors dans ce cas tu utilises plus que le fait que est non nul ! ... être différent de est tout aussi primordial !! ... Et qui te dit que les autres termes sont eux aussi différents de afin d'assurer la non nullité du terme suivant ?!!

    --> D'où la récurrence que je te propose.

    Tu vois, quelque chose qui peut paraître évident si l'on regarde vaguement, ne l'est finalement pas tant que ça !


    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 01/11/2015 à 02h57.

  33. #30
    dani21

    Re : Problème URGENT : montrer que pour tout réel x>0, f(1/x)=f(x)

    je m'en rend bien compte, merci pour tes précieuses explications.

    j'ai essayé la récurrence dans mon message #28 mais je n'arrive pas à terminer, j'ai eu du mal à assimiler son fonctionnement lors du chapitre que j'ai étudié précédemment et je ne m'attendais pas en revoir encore ahah..

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