Sous-espaces vectoriels

[chimiste2312]

Bonjour,

J'ai aucune idée de comment résoudre cet exercice:

Soient U et V deux sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel E. Est-ce que U union V, ou encore U intersection V sont des sous-espaces vectoriels de E? Justifiez ou donnez un contre-exemple.

Voilà, alors je sais que les conditions qui doivent remplir sont:
(a) pour tout x; y e F, x + y e F,
(b) pour tout x e F et  l e K, lx e F.
(e = appartenant à)

D'après mes recherches, U inter V est un sev et U union V ne l'est pas. Mais comment le prouver?
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[Tryss2]

Bah tu prends deux éléments x et y dans l'intersection, et tu montres que x+y est encore dans l'intersection. De même, tu prends un élément z de l'intersection et un scalaire a, et tu montres que a.x est dans l'intersection.

Pour montrer que l'union n'est pas toujours un espace vectoriel, il suffit de donner un exemple. Est-ce que tu peux donner deux sous espaces vectoriels de R² tels que leur union n'est pas un sous espace vectoriel?

Au passage, il vaudrait mieux poster ce genre de questions dans la rubrique "mathématiques du supérieur" (ça n'est pas au programme du collège et du lycée)

[PlaneteF]

Bonsoir,

Voilà, alors je sais que les conditions qui doivent remplir sont:
(a) pour tout x; y e F, x + y e F,
(b) pour tout x e F et l e K, lx e F.
(e = appartenant à)

Il faut aussi montrer que est non vide, en montrant par exemple que .

Cordialement

[chimiste2312]

Je comprends pas trop:
"Bah tu prends deux éléments x et y dans l'intersection, et tu montres que x+y est encore dans l'intersection"
Comment ça je prends deux éléments x et y dans l'intersection?

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Soient et appartenant à (sous entendu ils sont quelconques).

A partir de là il est très simple de montrer que appartient aussi à .

Cdt