Fonction exponentielle

[Sans Nom]

Bonjour,

J'essaie de résoudre une inéquation avec des fonctions exponentielles. Puis-je faire comme ça ?

e^2x+e^x-2 ≥ 0
e^2x ≥ 2-e^x
2x ≥ 2-x
3x ≥ 2
x ≥ 2/3

Merci d'avance !
-----

[invite47ecce17]

Bonjour,
Non!

[Sans Nom]

Bonjour,
Tant pis !

[PlaneteF]

Bonjour,

e^2x ≥ 2-e^x
2x ≥ 2-x

... Et par quelle magie passes-tu d'une ligne à l'autre ???

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sans Nom]

Car si:

e^a = e^b, alors a = b

[PlaneteF]

Et quel est le rapport avec les 2 lignes dont je te parles ??

Cdt

[Sans Nom]

J'ai juste appliqué la règle en remplaçant a par 2x et b par x:

e^2x ≥ 2-e^x ← et si e^a = e^b, alors a = b, avec a=2x et b=x donc:
2x ≥ 2-x

Comment faîtes-vous ?

[invited1be3975]

Non tu n'as pas appliqué la règle. Cette règle ne marche pas car tu n'as pas
exp(2x) > exp(2-x) mais exp(2x) > 2 - exp(x)
Et ça change tout.

As-tu vu la fonction réciproque de l'exponentielle?

[PlaneteF]

Une façon de procéder : Poser avec à la clé une inéquation du 2nd degré en facile à résoudre.

Une autre façon de procéder : Etudier la fonction et remarquer qu'elle est strictement croissante sur et que l'image de est .

Cdt

[Sans Nom]

Merci. Oui, la fonction réciproque de e^x est ln(x) mais je ne sais pas comment m'y prendre.

Comment remplacer e^x par x quand en exposant on a 2x ? par exemple:

e^x devient x
e^2x devient quoi ?

Comment transformer cette expression en polynôme ?

[invited1be3975]

e^2x = (e^x)²
A toi de voir la suite

[PlaneteF]

Comment remplacer e^x par x quand en exposant on a 2x ? par exemple:

e^x devient x
e^2x devient quoi ?

Attention, distinge bien et .

Cdt

[Sans Nom]

Ah, ok, merci. Donc j'ai posé X=e^x, puis j'ai trouvé un polynôme du 2^nd degré: X²+X-2 ≥ 0
Ensuite, j'ai trouvé le discriminant qui est égal à 9, avec x₁=(-2) et x₂=1. Mais maintenant, je ne sais pas comment continuer...

[PlaneteF]

Bonsoir,

Et ben résous complétement cette équation en , puis utilise la relation pour donner les solutions en (s'il y en a).

Cdt

[Sans Nom]

J'ai résolu l'équation en X et je trouve 2 racines (-2) et 1, mais ensuite je sais pas comment remettre dans le contexte de X=e^x...

[PlaneteF]

Bonjour,

J'ai résolu l'équation en X et je trouve 2 racines (-2) et 1, (...)

En fait il faut d'abord donner l'ensemble des solutions de l'inéquation (pas équation) en , chose que tu n'as pas faite.

Cdt

[Sans Nom]

OK, donc en posant le tableau de signes, je trouve S=]-∞;-2] U [1;+∞[

[Sans Nom]

Je vais me hasarder à trouver la réponse...

On avait posé e^x=X et (-2) est une racine, or e^x ne peut pas être négatif, donc je pense qu'on écarte cette possibilité. Ensuite, la 2^ème racine est 1, donc e^x=1, c'est à dire que x=0, donc:

e^2x + e^x - 2 ≥ 0 si x ≥ 0

J'ai bon ?

[PlaneteF]

Bonsoir,

Ta réponse est juste (mettre "si et seulement si" à la place de "si"), ... par contre je trouve ta justification insuffisante. En effet à aucun moment tu ne raisonnes en terme d'inégalité hormis dire qu'une exponentielle ne peut pas être négative, tu parles de racines mais cela ne suffit pas.

--> Quelles sont les 2 inéquations en qui sont en jeu ? ... Il faut les écrire explictement puis les résoudre.

Cdt

[Sans Nom]

D'après le tableau de signe, c'est donc:

e^x ≤ (-2)
→ Impossible car e^x est strictement >0 sur ℝ

et:

e^x ≥ (1)
→ x ≥ 0 car e⁰=1

[PlaneteF]

Bonjour,

e^x ≥ (1)
→ x ≥ 0 car e⁰=1

Et aussi parce que la fonction exponentielle est strictement croissante sur .

Sinon à la place de ta flèche vers la droite, mettre , c'est très important et ce n'est pas du tout un détail, vois-tu pourquoi ?

Cdt

[gg0]

Attention, PlaneteF,

le symbole "→" semble être, pour Sans nom une typographie pour éviter de chercher le lien logique entre ses phrases (un mélange entre "voici la suite", "donc", ...).
Et n'importe comment, sa "résolution" est du n'importe quoi, car il n'a jamais étudié le signe de X²+X-2. Il parie sur des résultats pour lesquels il n'a aucune règle d'obtention. Il résoudrait de la même façon -e^2x - e^x + 2 ≥ 0, avec un résultat faux.

@ Sans Nom : A toi de décider si tu veux calculer juste, ou seulement faire semblant. Là, tu as seulement fait semblant. Au prochain "calcul fait semblant" tu auras faux, mais tu ne pourras pas savoir pourquoi, puisque tu n'appliques pas des règles, mais te contentes d'écrire des "calculs".
Ici, il te fallait faire ce qu'on t'a conseillé : résoudre l'inéquation X²+X-2 ≥ 0. Avec les règles que tu as vues en première.

Cordialement.

[Sans Nom]

gg0: C'est pas très sympa de dire sa "résolution" est du n'importe quoi, ou A toi de décider si tu veux calculer juste, ou seulement faire semblant...Enfin, vous pensez que je suis ici pour faire semblant et amuser la galerie ? Vous rigolez ou quoi ? Et vous, vous ne devez certes rien à personne, mais si on part du principe que vous souhaitez donner un coup de main à ceux qui sèchent, pour le coup, oui, vous faîtes semblant.

Je ne sais pas ce que signifie la flèche en Mathématiques. Je l'utilise comme le fait mon prof de Maths au tableau.

Je pensais avoir résolu l'inéquation X²+X-2 ≥ 0 en utilisant un tableau de signes (en #13 et en #17).

Non, je ne parie pas sur des résultats, j'essaie juste d'appliquer les règles que j'ai dans ma feuille de cours sur la fonction exponentielle.

A toi de décider si tu veux calculer juste, ou seulement faire semblant. Là, tu as seulement fait semblant. Au prochain "calcul fait semblant" tu auras faux [...] Cordialement.

Le "Cordialement" tranche cyniquement avec ce qui précède...C'est vraiment lamentable comme commentaire...Venir sur un forum pour déverser ce genre de commentaires contre-productifs, moralisateur et démoralisant, c'est juste nul. Vous n'aidez pas en faisant ce genre de leçons de morale sans fondements. Si vous saviez tout le temps que je passe à potasser les Maths...C'est vraiment affligeant de lire ça, on s'attendrait plutôt à lire le contraire (aide, astuces, conseils, encouragements). Pour faire fuir les gens, on fait pas mieux. Quand je relis votre commentaire, je pense que c'est vraiment limite, je sais pas ce qu'en pensent les modérateurs...

En tout cas, on peut clore cette discussion car j'aurai la correction demain en cours. Merci à ceux qui m'ont aidé pour de vrai.

[gg0]

Sans nom,

je te donne quitus du fait que tu as résolu l'inéquation en X, incomplètement cependant, car X étant un nombre strictement positif par nature, seul un des deux intervalle est solution. Mais je reconnais que j'ai raté ça. Donc je te fais mes plus plates excuses. Je me suis fait piéger par une lecture trop rapide, croyant avoir suivi régulièrement la discussion. Ce qui ne m'excuse pas.

Par contre, si ton prof utilise la flèche simple comme symbole typographique, je te plains, tu es tombé sur quelqu'un qui ne connais rien aux mathématiques. Mais je suppose plutôt qu'il emploie le symbole d'implication , et pour dire des implications (le fait qu'une phrase mathématique a pour conséquence une autre phrase mathématique), et que tu n'as pas compris pourquoi il le fait. Donc tu imites :

e^x ≤ (-2)
→ Impossible car ....

Ceci n'aurait aucun sens, "impossible" n'est pas une phrase mathématique, ni même une phrase, mais un adjectif qui qualifie l'inégalité qui précède.

Cordialement (eh oui !)

[PlaneteF]

Attention, PlaneteF,

le symbole "→" semble être, pour Sans nom une typographie pour éviter de chercher le lien logique entre ses phrases (un mélange entre "voici la suite", "donc", ...).

Oui certainement, d'où ma remarque de bien préciser qu'il sagit d'un raisonnement par conditions nécessaires et suffisantes en mentionnant "si et seulement si" ou avec le symbole d'équivalence logique, même si je ne suis pas sûr qu'il y ait cette exigence de précision au niveau Lycée, mais au moins cela donne un aperçu de la rigueur attendue plus tard.

Cordialement

[Sans Nom]

Pas de soucis. Pour la double-flèche, je crois de mémoire que mon professeur utilise une double-flèche. Je ne savais pas qu'il existait une différence (et un sens en Maths) pour les flèches. Merci.

[gg0]

Effectivement,

il y a un sens précis pour un certain nombre de symboles mathématiques : =, =>, <=>, ~, etc. Donc il faut éviter de les utiliser sans savoir ce qu'ils veulent dire
= entre deux noms dit que ces noms correspondent au même objet, qu'il s'agit de la même chose des deux côtés, nommée différemment : 2+3=5.
=>, je te l'ai donné
<=> signifie que la phrase mathématique avant a exactement la même signification que celle après. On l'emploie pour des équations (*) qui ont les mêmes solutions : (e^2x+e^x-2 ≥ 0) <=>(x=e^x et X²+X-2≥ 0)

Cordialement.

(*) Une équation est une phrase (verbe égaler) qui dit quelque chose de son inconnue; une inéquation aussi ("supérieur à" pour "est supérieur à).

[Sans Nom]

OK, merci.

[PlaneteF]

Pour la double-flèche, je crois de mémoire que mon professeur utilise une double-flèche. Je ne savais pas qu'il existait une différence (et un sens en Maths) pour les flèches.

Prenons un exemple très simple. Soit l'équation à résoudre dans , . Ce n'est pas du tout la même chose d'écrire :

1) et

2)


En effet dans le premier cas on peut en conclure que l'ensemble des solutions de l'équation est .

En revanche dans le second cas on a absolument pas résolu l'équation et l'on a pas le droit d'écrire . Ce que l'on peut en conclure c'est que si d'aventure il y a une solution alors cette solution ne peut pas être autre chose que ... (cela ne peut pas être ou ou ). Par contre cela ne nous assure pas qu'il existe une solution.


Cdt

[PlaneteF]

Je poursuis, on peut même prendre le 3e cas suivant :

3)

Dans ce cas, comme dans le 2), on n'a pas résolu l'équation non plus. Ici on peut juste conclure que est solution de l'équation. Par contre cette implication ne nous garantit pas qu'il n'existe pas d'autres solutions.

Cdt