Etude d'une fonction trigonométrique

[invite5d12e77d]

Bonjour,

Je pense que ma démarche pour résoudre cet exercice de math est correcte mais j'arrive à de drôles de réponses. Pouvez-vous m'aider?
Voici l'énoncé:

Un étudiant en architecture a dessiné une façade en verre de 40 m de large en utilisant pour la
partie supérieure le graphique de f(x) = 4 cos (x/10 - 20) + 6.

Aider cet étudiant à répondre aux questions suivantes en effectuant les calculs adéquats :
a) Quelle est la hauteur du point le plus élevé de cette façade ? b) Combien mesure l’aire de cette façade, au mètre carré près ? c) Sur quelle largeur, au cm près, cette façade mesure-t-elle au moins 6 mètres de haut ?


Voici ma réponse:

a) Je dérive ma fonction pour en étudier le signe et déterminer quel sera le maximum:
f' (x) = 4 x 1/10 x -sin (x/10 - 20) = -2/5 sin (x/10 - 20)
Je cherche les racines de f' (x):
-2/5 sin (x/10 - 20) = 0
ssi sin (x/10 -20) = sin 0 ou sin (3.14)
ssi x = 200 + (2kpi) ou 231.4 + (2kpi)

Après avoir fait un tableau des signes, je vois que le maximum est x = 200 + (2kpi)
Je suppose que je travaille sur un intervalle donné , de 0 à 40 m, donc k = 0
Pour x = 200 , f(x)= 10 m

Donc le point le plus élevé de la façade est à 10 m

b) je calcule l'intégrale définie de f(x) entre les bornes 0 et 40:

I= 10 x 4 x sin ( x/10-20) + 6x = 40 sin (x/10 - 20) +6x
Entre les bornes 0 et 40, I = (40 sin (-16) +240) - 40 sin (-20) ) = 288.0334 m2


c) Je dois résoudre l'équation: f(x) = 6
cos (x/10-20) = 0
ssi cos (x/10-20)= cos ( 1.17) ou cos ( -1.17)
ssi x = 211.7 m ou 188.3 m

Or, sur le graphe et dans l'énoncé, on dit que je dois travailler dans une largeur comprise entre 0 et 40 m. Comment faire???


MErci d'avance
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[PlaneteF]

Bonjour,

Je suppose que je travaille sur un intervalle donné , de 0 à 40 m, donc k = 0
Pour x = 200 , f(x)= 10 m

Je n'ai pas vérifié ce que tu as écrit plus haut mais ce que tu écris en citation n'est pas cohérent. Tu dis toi même que tu travailles sur l'intervalle (OK cela correspond à l'énoncé) , ... et ensuite tu écris :

Pour x = 200 , f(x)= 10 m

Donc ça ne colle pas ... De toute manière la façade fait 40m, ... pas plus, et pas 200m.


Cordialement

[invite5d12e77d]

Justement c'est ce que je ne comprends pas! Par mes calculs, j'arrive à des valeurs de x qui ne sont pas comprises dans l'intervalle étudié ...
Pourtant, il me semble que mes calculs sont justes.

[PlaneteF]

Donc je te laisse regarder ce point afin que tu retombes bien sur le bon résultat.

Sinon un moyen assez simple de trouver la hauteur maximale est de raisonner comme suit :

On sait que sur la fonction cosinus a pour valeur maximale . A partir de là, la question est de savoir si dans l'intervalle , atteint cette valeur ?

Or pour , on a


Or et


Donc la hauteur maximale est :


Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5d12e77d]

Déjà bonne nouvelle on arrive à la même réponse puisque ma hauteur est bien de 10 m

Peut-être que pour le point c de ma question, il faudrait alors "replacer" le point x de 211.7 ou 118.3 dans cet intervalle de -20 à -16. Puisque les fonctions trigono sont périodiques, l'image sera la même. Peux-tu m'aider à faire cette conversion?
Si je comprends, la valeur que je dois trouver doit se trouver dans l'intervalle -20;-16 . La valeur de x qui donne 0 est pi/2 ou 1.17. Après, je ne vois pas comment faire...

[PlaneteF]

Pour y voir plus clair, tu peux poser avec donc

Et donc résoudre sur revient à résoudre sur

Cdt

[PlaneteF]

Edit : Supprimé

[PlaneteF]

(...) revient à résoudre sur

Par contre attention, une fois que tu auras résolu cette inéquation en , n'oublie pas de donner le résultat pour la variable qui est celle qui correspond aux mesures sur la largeur de la façade.

Cdt

[invite5d12e77d]

Voilà, après calculs, j'arrive à une valeur de t qui doit être supérieure à 1.17 ou -1.17.
Si je dois remettre ces valeurs dans l'intervalle -20 à -16, je dois soustraire k x (2x3.14) à ces valeurs. Je prends k= 3 et j'ai t= -17.67 et l'autre valeur n'a pas de valeurs correspondantes dans cet intervalle.
En sachant que t = x/10-20, je peux alors trouver la valeur de X???

[PlaneteF]

Voilà, après calculs, j'arrive à une valeur de t qui doit être supérieure à 1.17 ou -1.17.
Si je dois remettre ces valeurs dans l'intervalle -20 à -16, je dois soustraire k x (2x3.14) à ces valeurs. Je prends k= 3 et j'ai t= -17.67 et l'autre valeur n'a pas de valeurs correspondantes dans cet intervalle.
En sachant que t = x/10-20, je peux alors trouver la valeur de X???

... On ne peut pas vraiment dire que tes explications soient hyper limpides !

Pour l'inéquation on obtient : avec .

Pour se retrouver dans l'intervalle seul convient et donne comme ensemble des solutions : .

Sachant que , je te laisse le soin de donner l'ensemble des solutions recherché pour .


Cdt