Racines de l'unité

[invite102b12a0]

Bonjour,

Je lis un cours de trigonométrie, plus précisément un cours sur les racines de l'unité mais il y a des choses que je ne comprends pas.

Chercher les racines -ème de l'unité, c'est chercher les nombres complexes tel que
En mettant sous sa forme exponentielle on a
Il vient alors:



Le module du nombre complexe a pour valeur donc le module de est car il y a égalité, ainsi donc
On a donc ce qui est équivalent à
Pour respecter l'égalité il faut que et
On en déduit alors que:
soit avec

Donc pour moi les solutions de l'équation est l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme avec
Et il y a autant de solution possible que peut prendre de valeur, soit une infinité.

Cependant dans tout les cours que je lis il est tout le temps dit que l'équation admet seulement solution(s) et que ces solutions sont l'ensemble des nombres qui peuvent s'écrire sous la forme mais avec

Je ne comprends pas pourquoi, en plus la calculatrice semble me confirmer que ça marche pour n'importe quelle valeur de dans , c'est sans doute tout bête mais je bloque.



Ensuite je bloque sur une deuxième chose, prenons deux nombres et qui vérifient la première équation.
On a alors:

avec et
Il vient alors avec étant un entier

En divisant les deux membres par on a:


Ils s'en suit:





Donc divise

Mais cela me semble faux, par exemple si on prend et

On a Donc ne peut pas diviser à moins de valoir
Je ne comprends vraiment pas car le raisonnement ne me semble pas être faux.

Merci d'avance pour votre aide !
-----

[invite23cdddab]

Pour ton premier blocage : le truc, c'est que bien que soit effectivement une racine n-ième pour tout , il n'y a pas une infinité de tels nombres. La raison? Des k différents peuvent donner le même nombre.

Posons , avec Alors on a



Ainsi, on a . Mais , donc ne prends que n valeurs différentes quand k parcours Z

[invite102b12a0]

Merci beaucoup !

J'avais vraiment pas pensé à ça, je m'en serais peut-être rendu compte en essayant de représenter l'ensemble des solutions avec Geogebra

[invite51d17075]

pour le deuxième :

Ensuite je bloque sur une deuxième chose, prenons deux nombres et qui vérifient la première équation.
On a alors:

avec et
Il vient alors avec étant un entier

c'est là que ça cloche
avec et
et pour k' donné


d'où

ce qui n'abouti à aucune contradiction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite102b12a0]

Merci !

Mais du coup ça me confronte à d'autres problèmes.

Voici un extrait du cours en question:



Premièrement, comment démontrer l'équivalence de l'extrait ?
Deuxièmement, dans ce cours on a bien qui divise , donc on a le même problème qu'au début.

Je commence à être vraiment perdu

En tout cas merci de m'aider

[invite51d17075]

Merci !
Deuxièmement, dans ce cours on a bien qui divise , donc on a le même problème qu'au début.

l'extrait du cours ( première partie ) ne m'est pas lisible.
par contre , non, pourquoi n diviserait k,k' ou k-k' ?
les n solutions correspondent à n angles entre 0 et 2pi.
donc du type q*(2pi) avec q rationnel !

[gg0]

Bonsoir.


Les seuls nombres dont l'exponentielle vaut 1 sont les
Je suppose qu'il s'agissait de prouver que les n racines n-ièmes sont distinctes.

Cordialement.

[invite102b12a0]

Oui justement par bon sens je voyais bien que ne divise pas forcément mais ma démonstration erronée me disait le contraire.
Maintenant que vous m'avez montré mon erreur je suis encore plus d'accords avec vous mais le cours semble dire le contraire.
Peut-être est-ce moi qui ai mal interprété le cours ?


Le cours dont je vous parle ce trouve ICI aux pages 84 et 85

[gg0]

Attention,

avec l'énoncé proposé, n ne divise pas nécessairement k, ou k', mais divise bien k-k'. Autrement dit, deux exponentielles de ce type égales correspondent au même nombre complexe.

Cordialement.

[gg0]

A noter : Cette partie suppose déjà bien connus et compris les cours de terminale sur les complexes, en particulier leur formes trigonométriques et exponentielles, et les propriétés de base de la trigonométrie.

[invite102b12a0]

Ok! enfaite ça voulais juste dire que si alors
Et du coup ça répondait à ma toute première question

[gg0]

Non,

le passage que tu citais établissait la réciproque de ce que tu dis au message #11. La justification de ton si .. alors ... est un simple calcul en posant k'=k+m.n et utilisant les propriétés de l'exponentielle.

[invite102b12a0]

Oui enfaite je me suis complètement emmêlé les pinceaux, j'avais pas vu que j'avais mis:
"si et vérifient l'équation alors " .

Ce que j'aurais du mettre c'était:
"si et vérifient l'équation alors ".

Cette erreur devait bien m'arranger pour faire la suite alors mon subconscient a du m’empêcher de la voir aha

Donc au final si j'ai bien compris la signification de cette partie du cours est:



Dites moi que c'est bon

[invite51d17075]

pour moi c'est bon.
il y a même équivalence.
dans mon message précédent, j'avais evacué "n divise (k-k')" mais c'était sans avoir pu lire ton énoncé qui apparaît maintenant.
qui ne correspondait pas à la suite du texte à savoir k et k' dans {0,1,...,n-1)
Cdt

[invite102b12a0]

Merci pour votre aide !