Nombres complexes

[Nice N]

Bonjour .
Pouvez-vous m'aider avec cet exercice où je me suis bloquée .
On considère dans C ,l'équation (E) : (1+1/z)^3 =i .
1) montrer que si z est solution de E alors |1+z|=|z|
En déduire que les images des solutions de E appartiennent à une droite fixe à déterminer .

Je n'ai pas su comment faire, Pouvez-vous m'aider avec cette première question pour que je puisse terminer l'exercice.
Merci à tous
Ps: On a pas encore terminé la leçon en classe mais j'ai beaucoup aimé les nombres complexes et je veux en savoir plus ,si vous pouvez me dire où je peux trouver des exercices ou leçons concernant les nombres complexes ,pour améliorer mon niveau.
Merci encore une fois.
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[ansset]

pour démarrer , on peut multiplier les deux termes ( gauche et droite ) de (E) par z^3 , ( z est forcement non nul )
puis......à vous de finir.

[Nice N]

Merci ,j'ai fait la première partie de la question,mais je ne sais pas pour la deuxième partie .

[ansset]

|1+z|=|z|<=>

|1+z|²=|z|²
en écrivant z=x+iy tu en déduira facilement l'équation de ta droite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariepour]

Bonjour!
Il suffit d'appliquer les règles de calcul sur les modules des nombres complexe. En se rappelant que:


Ensuite, tu te souviens que un module représente une longueur, à savoir que si z est l'affixe du point M, et que , N étant le point d'affixe -1.
Ton ensemble des solutions est donc la médiatrice de 0N.

[PlaneteF]

Bonjour,

Ton ensemble des solutions est donc la médiatrice de 0N.

Attention c'est faux, l'ensemble des solutions est inclus dans cette médiatrice, mais n'est pas la médiatrice elle-même. Par exemple le point qui fait bien partie de cette médiatrice n'est pourtant pas solution de l'équation pour autant.

D'ailleurs l'énoncé précise bien : "En déduire que les images des solutions de E appartiennent à une droite fixe à déterminer". Il s'agit donc bien de montrer une inclusion.

La raison à cela est que la condition finale trouvée est une condition nécessaire mais aucunement suffisante, ce sont des implications utilisées ici dans le premier calcul, pas des équivalences.

Cordialement

[mariepour]

exact. Autant pour moi. L'équation de départ n'était pas |1+z|=|z|, mais (1+1/z)^3=ii !