Polynôme second degré et factorisation

[invited589077f]

Bonjour à tous,

J'ai un problème de maths qui m'a l'air assez simple et pourtant je bloque à un endroit :

pour tout x : 8x² - 70x - 100 = 8(x + u)(x + v) ; trouvez u , v.

Je suis donc parti du principe qu'on a là un polynôme du second degré de type ax² + bx + c
notamment avec a = 8

J'ai donc développé de cette manière :

(8x + 8u)(x + v) = 8x² - 70x - 100

8x² + 8xv + 8ux + 8uv = 8x² - 70x - 100

autrement dit :

8xv + 8ux + 8uv = - 70x - 100 avec u<0 ou v<0

les valeurs de u et v sont telles que 8xv + 8ux = -70x ET 8uv = -100

C'est donc un "système" (si c'est correct jusque là) mais comment résoudre cela ?

Merci d'avance !
-----

[mAx6010]

par identification tu en deduis que v+u=-70/8 et u.v=-100/8
Tu isoles par exemple v, comme v=-70/8-u
Et tu remplaces v par sa valeur dans u.v=-100/8
--> u.(-70/8-u)=-100/8
Tu en deduis u
Puis v

[jacknicklaus]

8xv + 8ux + 8uv = - 70x - 100

ce n'est pas un système. c'est une égalité entre polynômes.

deux polynômes en X sont égaux si et seulement si tous les coefficients de chaque puissance de X sont égaux .


mais pour trouver u et v, tu n'échapperas pas à devoir résoudre (classiquement) l'équation du second degré 8x2 - 70x - 100 = 0

[mAx6010]

ce n'est pas un système. c'est une égalité entre polynômes.

deux polynômes en X sont égaux si et seulement si tous les coefficients de chaque puissance de X sont égaux .

L egalité entre les polynômes (identification) engendre un systeme à resoudre

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacknicklaus]

L egalité entre les polynômes (identification) engendre un systeme à resoudre

Ca ne présente pas le moindre intérêt.

on trouve simplement une relation avec somme et produit des racines du polynôme, chose absolument triviale qu'on sait déjà depuis le début. C'est du cours de base.
l’identification entre les polynômes permet de retrouver l’équation du début, la belle affaire . on a fait 4 lignes de calcul sans avoir progressé d'un seul pouce vers la solution.


Cet exercice n'a qu'un seul but :faire assimiler le lien entre les racines d'un polynôme (obtenues par calcul classique) et sa forme factorisée. On fera attention au signe : la forme factorisée est a(x - x1)(x - x2) et ici on demande a(x + u) (x + v).

[mAx6010]

Ah oui tiens...
Comme d hab j y suis allé comme un bourrin

[invited589077f]

Bonjour,

@jacknicklaus Effectivement il s'agit de résoudre 8x² - 70x - 100 = 0, cependant delta se retrouve être négatif, il n'y aurait donc pas de solutions, c'est ça?

D'autre part, je cherche à comprendre ce que veut dire : "deux polynômes en X sont égaux si et seulement si tous les coefficients de chaque puissance de X sont égaux".

Enfin, si j'ai bien compris, ce qu'a envoyé @mAx6010 est une autre manière d'aborder le problème, sans pour autant donner la solution ?

Cordialement.

[jacknicklaus]

Effectivement il s'agit de résoudre 8x² - 70x - 100 = 0, cependant delta se retrouve être négatif

non, delta est positif. ca se voit immédiatement au fait que a > 0 et c < 0.
ca se voit aussi en remarquant que x = 10 est solution triviale

D'autre part, je cherche à comprendre ce que veut dire : "deux polynômes en X sont égaux si et seulement si tous les coefficients de chaque puissance de X sont égaux".

si 8xv + 8ux + 8uv = - 70x - 100
ca veut dire
x(8v + 8u) + 8uv = - 70x - 100
qui implique par égalisation ds coefs et x et des termes constants :
8u + 8v = -70
8uv = -100

Enfin, si j'ai bien compris, ce qu'a envoyé @mAx6010 est une autre manière d'aborder le problème, sans pour autant donner la solution ?

Oui, car chercher u et v tels que u + v = S et uv = P équivaut exactement à résoudre X² -SX + P = 0, dont les deux racines (si elles existent) donneront u et v. Or on a d'entrée de jeu le polynome 8x² - 70x - 100 = 0, ca ne sert à rien de passer par les calculs de u + v et de uv, pour retrouver finalement le même polynome qu'au départ.

[mAx6010]

Enfin, si j'ai bien compris, ce qu'a envoyé @mAx6010 est une autre manière d'aborder le problème, sans pour autant donner la solution ?

Tu bloquais à la resolution du systeme.
Je t'ai donné les moyens de le resoudre.
Donc la solution je te la donne, hein....

Apres effectivement on pouvait (doit) considérer les remarques de jacknicklaus, ça evite de refaire la demonstration.
Mais ça fait pas de mal...

[invite51d17075]

@mAx...:
l'approche que tu proposes ne me semble pas aider vraiment ( plutôt à semer la confusion )
dans l'esprit "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué".

les u et v ici recherchés sont "bêtement" les racines du polynôme
donc, soit on résout cet exercice avec une recherche des racines ( ce qu'on a certainement vu en cours )
soit , on voit de suite une racine évidente et on a même pas besoin de passer par le calcul du discriminant ( qui est bien positif )

[jacknicklaus]

les u et v ici recherchés sont "bêtement" les racines du polynôme

au signe près.

[invite51d17075]

exact, je n'avais pas relu le premier post. désolé.

[mAx6010]

Relisez bien le post initial.
Blackrafter a fait de lui même la demarche "bourrin" de l identification.
Il bloquait sur la resolution du systeme.
Je l ai aidé dans sa demarche.
Je ne l ai pas aiguillé sur cette methode. Meme si pour etre franc, j aurai effectué la meme demarche sans reflechir.
Mes profs me faisaient exactement la meme remarque:

"pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué".

Mais le probleme etait resolu.

Bref on trouve le meme resultat, et il/nous avons pas tenu compte de la factorisation "évidente" diu polynome.
ça lui a couté 4 lignes en plus.
J ai fait largement pire

[invited589077f]

Effectivement, delta positif... ah c'est calculatrices très strictes au niveau de la notation

Je me demandais d'ailleurs, s'il était possible de résoudre 8u + 8v = -70 et 8uv = -100 on trouverait le même résultats ?

Cordialement.

[jacknicklaus]

ne te le demande pas

fais le.

[invite51d17075]

Effectivement, delta positif... ah c'est calculatrices très strictes au niveau de la notation

Je me demandais d'ailleurs, s'il était possible de résoudre 8u + 8v = -70 et 8uv = -100 on trouverait le même résultats ?

Cordialement.

elle est croustillante celle là.
devines quoi ? tu remplaces v en fct de u ( eq 1) dans l'eq 2 et tu retombes sur le même polynôme dont il faut extraire les racines ( au signe prêt vu la première écriture )

[mAx6010]

elle est croustillante celle là.
devines quoi ? tu remplaces v en fct de u ( eq 1) dans l'eq 2 et tu retombes sur le même polynôme dont il faut extraire les racines ( au signe prêt vu la première écriture )

Ah ba tient on retombe sur le post#2....
cqfd

[invite51d17075]

Ah ba tient on retombe sur le post#2....
cqfd

donc tu confirmes toi-même que cela ne correspond qu'à une nouvelle écriture du pb posé, qui pour la résoudre, retombe sur l'énoncé initial.
une approche qui boucle sur elle-même, et pas une direction de résolution.

[mAx6010]

Bien sur qu on retombe sur la résolution du polynôme.

Après en revenant en amont du problème:
-soit on se rappelle de la factorisation du polynôme et donc on trouve les racines du polynôme
-soit on s en rappelle pas et on se sert de l égalité posée au départ, pour "redémontrer" la factorisation du polynome.
Méthode bourrin certes, mais méthode légitime et correcte mathematiquement.

Il n y a pas qu une façon de résoudre un problème mathematique.
Il y a certes des façons plus élégantes que d autres.
Et y en a qui aime se compliquer la vie

[invite51d17075]

Bien sur qu on retombe sur la résolution du polynôme.

Après en revenant en amont du problème:
-soit on se rappelle de la factorisation du polynôme et donc on trouve les racines du polynôme
-soit on s en rappelle pas et on se sert de l égalité posée au départ, pour "redémontrer" la factorisation du polynome.
Méthode bourrin certes, mais méthode légitime et correcte mathematiquement.

en l'occurrence ici, tu ne la redémontre en rien, tu ne fais que la réécrire autrement pour au final retomber sur le même polynôme.
en revanche si on ne connaît pas la formule , elle peut retrouver la solution avec l'écriture sous forme canonique

8x²-70x-100=2(4x²-35x-50) et

4x²-35x-50=(2x-(35/4))²-50-(35/4)²=
(2x-(35/4))²-2025/16=
(2x-(35/4))²-(45/4)²=
( formule du type a²-b²=(a+b)(a-b)
(2x-(35/4)+(45/4))(2x-(35/4)-(45/4))=
(2x+10/4)(2x-20)=
4(x+5/4)(x-10)
au final
8(x+5/4)(x-10)

[mAx6010]

Non je ne démontre rien!
Je me sers des données du problème
Alors si on suppose (comme il est écrit) :

pour tout x : 8x² - 70x - 100 = 8(x + u)(x + v) ; trouvez u , v.

On cherche alors les valeurs de u et v qui satisfont l égalité sus-mentionnée.
Point-barre

[invited589077f]

ne te le demande pas

fais le.

Ok alors,

8u + 8v = -70 et
8uv = -100 ssi

u = (-70 - 8v) / 8 et
v = - 100 / 8 / ((-70 - 8v) / 8)

... non cela me mène à rien? Qu'est ce que je fais qu'il ne faut pas? ou plutôt qu'est ce qu'il me manque?

[invite51d17075]

ça ne mène nul part , à part réécrire l'équation du début autrement.
et pour résoudre cette nouvelle formulation , on retombe sur le même exercice.

donc, résoudre cette équation du second dégré en trouvant les racines du polynôme (*) ou prendre la méthode directe que j'ai développé au post #20.

(*) sachant que si x1et x2 sont les racines du polynôme P(x)=ax²+bx+c alors
on peut écrire
P(x)=a(x-x1)(x-x2)
et ici on cherche u et v tels que
P(x)=8(x+u)(x+v)
8 étant aussi le coeff principal a ; u=-x1 et v=-x2

[mAx6010]

u = (-70 - 8v) / 8 et
v = - 100 / 8 / ((-70 - 8v) / 8)

... non cela me mène à rien? Qu'est ce que je fais qu'il ne faut pas? ou plutôt qu'est ce qu'il me manque?

Serieux...

u=-70/8-v
et u.v=-100/8
(-70/8-v).v=-100/8
-70/8.v-v^2=-100/8
v^2+70/8v-100/8=0
8.v^2+70.v-100=0

On retombe sur le polynome en question (enfin au signe pres)
Delta=70^2-4.8.(-100)=8100=90^2
v1=(-70-90)/16=-10
v2=(-70+90)/16=5/4

Si v1=-10, alors u1=-70/8+10=5/4
Si v2=5/4, alors u2=-70/8-5/4=-10

Solutions de l exercice demandé avec methode bourrin:
8x2 - 70x - 100 = 8(x + 5/4)(x - 10)
ou
8x2 - 70x - 100 = 8(x -10)(x + 5/4) (oui c est pareil, c est idiot de l ecrire, mais le discriminant est positif, donc il y a 2 solutions)

Tu fais ça lors d un examen, tu as tous les points, avec en prime la mention "Pourquoi faire simple quand c est compliqué"
Mais arretez d'ecrire que ça mène à rien.

Le prof pose une expression mathematique avec 2 parametres à trouver (calculer).
Cette donnée a été exploitée, u et v ont été calculé (et non pas déduit)

ça ne mène nul part , à part réécrire l'équation du début autrement.
et pour résoudre cette nouvelle formulation , on retombe sur le même exercice.

donc, résoudre cette équation du second dégré en trouvant les racines du polynôme (*) ou prendre la méthode directe que j'ai développé au post #20.

(*) sachant que si x1et x2 sont les racines du polynôme P(x)=ax²+bx+c alors
on peut écrire
P(x)=a(x-x1)(x-x2)
et ici on cherche u et v tels que
P(x)=8(x+u)(x+v)
8 étant aussi le coeff principal a ; u=-x1 et v=-x2

Donc au final au lieu de mener nul part, ça mène quand même au resultat.....

[invited589077f]

Bonjour,

@mAx6010 Oui je suis d'accord avec toi, "mener à rien" voulait seulement dire pour moi "sans calculer les racines, je ne trouverais pas les solutions de u et v".

Cordialement.

[invite51d17075]

@Blackrafter:
in finé, tu écris ta démo comme tu veux, mais j'ai un doute sur l'appréciation de ce chemin détourné.
aparté : on ne dit pas

"Pourquoi faire simple quand c est compliqué"

mais

"Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué" , qui est bien évidemment une remarque ironique.

[mAx6010]

@mAx6010 Oui je suis d'accord avec toi, "mener à rien" voulait seulement dire pour moi "sans calculer les racines, je ne trouverais pas les solutions de u et v".

Je ne comprends pas alors le but de ta question initiale
TU bloquais ou?

mais j'ai un doute sur l'appréciation de ce chemin détourné.

Pouvez-vous alors préciser ce qui est faux mathématiquement parlant?

[invite51d17075]

Pouvez-vous alors préciser ce qui est faux mathématiquement parlant?

ce n'est pas faux, c'est inutile. Un petit tour pour retomber sur le même polynôme.
et par ailleurs cela sous entend qu'on ne sait pas qu'un polynôme
P(x)=ax²+bx+c s'écrit, s'il a deux racines
P(x)=a(x-x1)(x-x2) et donc que les u et v recherchés sont forcement ( au signe prêt) les racines elle-même.

enfin , on peut aussi retrouver u et v sans même connaître la formule avec le discriminant ( voir mon post plus haut )

[mAx6010]

ce n'est pas faux, c'est inutile.

Alors:
Methode A
1- vous trouvez les racines du polynôme
2- vous factorisez le polynôme
3- vous identifiez votre factorisation avec celle proposée—> u;v

Methode B
1- je développe la factorisation proposée
2- j identifie les polynômes
3- je résous le système (résolution polynôme) —> u;v

Dans la méthode B qu'est qui est inutile?
On trouve u et v comme cela est demandé.

On peut privilégier une méthode à une autre; mais de là à écrire qu’elle est inutile...
Je veux bien que la méthode soit tordue, bizarre, qu'elle ne vous plaise pas, tout ce que vous voulez , mais elle permet aussi de trouver la solution.
Chacun à sa propre façon de penser, de réfléchir.
J ai eu beaucoup de discussions de la même sorte, toutes avec des professeurs (maths, meca)

[gg0]

Bonjour.

Je fais l'arbitre dans votre discussion :
mAx6010 : Ton 3 est nettement plus long que le 1 de Ansset
Ansset : Tu admets dans ta méthode (au 3) qu'il n'existe qu'une seule factorisation du polynôme. Même en post bac, ce n'est pas une évidence.

Au final : Un exercice qui semble simple, mais qui nécessite des outils d'algèbre élaborés pour être traité. En lycée, on ne peut le faire de façon rigoureuse, l'identification des polynômes n'étant plus enseignée.

Cordialement.