arithmétique et complexes

[invite0bad6ba3]

Bonjour à tous j'ai un dm de spe où je bloque sur les questiondes 2 et 3 questions voici l'énoncé : résoudre dans C l'equation suivante : x^2 +x+1=0*
1)**on note j la solution dont la partie imaginaire est positive . Vérifier que l'autre solution de l'equation est égale à j^2 puis calculer j^3*
J'ai trouvé**-1/2 +racine3/2i ainsi que son conjugué*
pour j^3 J'ai trouvé 1*
2) calculer j^n pour tout enier n naturel non nul: raisonner**par disjonction des cas**suivant les restes de la division euclidienne de n*
3) determiner les valeurs de n , entier**naturel non nul , pour lesquelles j est solution de l'équation: (x+1)^n -x^n -1=0*
Raisonner à disjonction des cas , selon les restes dans la division euclidiene de n par 6*
jai tourne en rond**pendant**pas mal de temps mais en vain je sais pas comment aboutir aux résultats pouvez vous M aider s'il vous plaît
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[albanxiii]

Bonjour,

Qu'avez-vous fait ? Tourner en rond, c'est assez vague... mettez ici ce que vous avez essayé de faire et dites ce qui bloque. L'énoncé est très très guidé, il n'y a qu'à le suivre...

[invite0bad6ba3]

Pour j^n jai pris le j dont la partie eet positive et j'ai trouvé (-1/2 + racine de 3/2i)^n est ce juste ? En suite le raisonnement par disjonotion des cas j'arrive vraiment pas à le cerner
3) il faut remplacér x par j non ? Vu l'enonce je sais que je dois faire apparaître un 6 mais je sais pas où exactement

[invite0bad6ba3]

pour le 3 en ayant remplace x par j et apres calcul il me reste -1=0 je trouve ca mais ca m'apporte pas la réponse sur ce que je cherche à obtenir

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

3) determiner les valeurs de n , entier**naturel non nul , pour lesquelles j est solution de l'équation: (x+1)^n -x^n -1=0*
Raisonner à disjonction des cas , selon les restes dans la division euclidiene de n par 6*

l'équation revient à chercher les n tel que:
(j+1)^n=j^n+1
ensuite "selon les restes dans la division euclidiene de n par 6" signifie :
étudier la validité de l'égalité pour n allant de 1 à 6 et montrer qu"il y a un cycle d'ordre 6
pour vérifier les égalités possibles:
tu peux calculer la suite cyclique des (j+1)^n et la comparer avec celle des j^n+1
bref que valent (j+1)^1 et j^1+1 ?
idem pour (j+1)^2 et j^2+1
ceci jusqu'à n=6
en déduire les valeurs de n valables.

[invite0bad6ba3]

merci de la réponse donc apres avoir remplacé par la valeur de j jai obtenu (1/2+racine3/2i)^n = (-1/2+racine3/2i)^n +1 comment je dois faire obtenir les n je fais passer tous les membre avec un n du meme côté ?

et ensuite pour etudier le cycle je remplace n par chaque chiffre dans les 2 membre ou bien je fais tout passer du meme côté ?

[invite51d17075]

non, il te suffit de faire les calculs ( simples )
tu connais la suite de j^n en fct de n ( c'est cyclique ) pour n allant de 1 à 6
tu calcules la suite ( cyclique aussi ) des (j+1)^n
et de même la suite des j^n+1.
tu en déduis les n possibles.

[invite0bad6ba3]

jai trouve pour n =1 et n=5 cela suffit aussi pour répondre à la 2eme partie de la question ?

[invite51d17075]

pas tout à fait, car ce n'est pas l'ensemble des solutions.
qui sont en fait tous les n dont la division euclidienne par 6 vaut 1 ou 5.
comme 7,11,13,17,......
il te reste donc à montrer qu'il y a bien un cycle d'ordre 6 soit
(j+1)^(6n+k)=(j+1)^k et j^(6n+k)+1=j^k
indice: partir des valeurs de j^6 et (j+1)^6

[invite0bad6ba3]

Je démontre comment ces 2 égalités ? Je remplace k par 1 2 3 4 5 6 ? Et je dois aboutir à quoi pour prouver ce que je cherche à demontrer svp car je comprends pas même en partant de j^6 et j+1^6

[invite51d17075]

que valent j^6 et (j+1)^6 ?
tu les as forcement calculé avant.

[jacknicklaus]

tu as montré j^3 = 1. bien.

donc que vaut j^6 ?

si k entier naturel > 0, que vaut
j^(3k) ?
j^(3k+1) ?
j^(3k+2) ?

soit n entier naturel > 0, et r le reste de sa division par 3, que vaut
j^(n) ?

[invite0bad6ba3]

oui jai trouve 1 et 2
alors j^3k vaut 1
j^3k+1 vaut -1/2 + racine 3/2i
j^3k+2 vaut -1- racine 3/2i on sait que ici cest un cycle d ordre 3 et pour l'autre c'est un cycle d'ordre 6
je vois pas du tout comment on pourrait trouver pour n , on divise le j de depart , -1/2-racine3/2i par 3 ?

[invite51d17075]

je saisi mal ce qui te gène.
tu as montrer que l'égalité (j+1)^k=j^k+1 était respectée pour k=1 et k=5.
par ailleurs on a :
j^6=1 et (j+1)^6=1 donc pour tout p>=1
j^(6p)=1 et (j+1)^6p=1
donc pour n=6p+k avec k app [0,5] ( k est le reste de la division euclidienne de n par 6 )
(j+1)^n=(j+1)^(6p+k)=((j+1)^(6 p)).(j+1)^k=(j+1)^k et de même
j^(6p+k)+1=j^k+1

donc n est solution si le reste de sa division euclidienne par 6 ( le k ici ) vaut 1 ou 5
soit tous les n de la forme
n=6p+1 ou n=6p+5

[invite0bad6ba3]

excusez moi je pense surtout que je m'étais empêtré dans plein de calculs et je savais plus du tout à quoi je devais aboutir car mtn que vs avez donné la solution ca parait évident ! je vous remercie d'avoir donné de votre temps pour moi et davoir ete patient lol derniere parenthese que veut dire le app svp ?
bonne soiree a vous monsieur

[invite51d17075]

app comme "appartient à" ( k étant un entier naturel bien sur )

[invite51d17075]

ps : j'ai été au bout du raisonnement, alors que normalement l'attitude "propre" consiste à simplement guider l'élève.
j'espère ne pas l'avoir fait à tord, au sens où tu auras certainement à reproduire ce type de raisonnement.
donc que tu l'as bien compris.
Cdt

[albanxiii]

Je suis repassé sur ce fil trop tard.

Un conseil quand même, quand on a affaire à des nombres complexes, surtout de module 1, et élevés à la puissance n, il est très pratique de faire un petit dessin et de placer le point représentatif de j sur le cercle trigonométrique.

,

quand on prend le carré de , on a , sur le cercle trigonométrique cela revient à se déplacer de dans le sens trigonométrique.
Pour , on part de et on tourne encore de , et ainsi de suite. De cette façon on visualise la périodicité des puissances successives... au bout d'un certain nombre d'itération on retombe sur le point de départ.

[invite0bad6ba3]

Oui je vous en remercie infiniment c'est juste que me fait de travailler dans les complexes m'à perturbé un peu ,en ds j'ai eu uniquement de l'arithmétique et j'ai eu 16

[invite0bad6ba3]

D'où sort le e ? C'est le e d'exponentielle ?

[invite51d17075]

@albanxiii:
pas certain qu'il(elle) a déjà vu l'expression d'un complexe par les exponentielles ( complexes )

[invite51d17075]

ps :
de plus, cela résout le cas J^(n+1) mais pas directement le cas J^n+1.
la réflexion utile est surtout sur les congruences.et donc ici sur le reste de la division euclidienne de n par 6 .