Étudier la position de la courbe de f par rapport à son asymptote

[Didi12e]

Bonjour, je suis bloquée dans un exercice de mon dm de math, quelqu'un pourrai me donner des pistes svp? Voici l'énoncé:
La fonction f est définie par f(x) = √(x^2 − 3x + 1). On note Cf sa courbe représentative.
1. Déterminer l’ensemble de définition de f.
2. Démontrer que la droite ∆ d’équation y = x −(3/2) est asymptote à Cf .
3. Étudier la position de Cf par rapport à ∆.

J'ai terminé la question 1 et 2 mais c'est à la question 3 que je bloque, je sais que pour étudier la position de la courbe revient à étudier le signe de la différence de f(x)- y en dressant le tableau de signe. Mais ce qui me bloque, c'est de dresser le tableau de signe du résultat de la différence, f(x)- y= (-1,25)/((√x^2-3x+1)+(x-(3/2))
Est ce que quelqu'un pourrai m'aider Svp ?
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[ansset]

Mais ce qui me bloque, c'est de dresser le tableau de signe du résultat de la différence, f(x)- y= (-1,25)/((√x^2-3x+1)+(x-(3/2))
Est ce que quelqu'un pourrai m'aider Svp ?

ce que tu écris n'est pas f(x)-y(x) !!!!
et pour faire un tableau de variation, il faut commencer par dériver.

[Didi12e]

Merci de m'avoir répondue. Lorsque j'ai effectué f(x)- y je suis passée par la quantité conjuguée et d'après mes calculs, c'est cela le résultat. Je dois donc dériver le résultat de f(x)- y?

[Didi12e]

Ou sinon, aurait-il un moyen de factoriser (√x^2-3x+1)+(x-(3/2)?

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

autre approche, l'asymptote est en +l'inf.
donc tu peux regarder ce que donne f(x) /y(x)
sachant par ailleurs que x>3/2 ( voir domaine de def de f )
donc tu peux mettre cette fraction au carré, et voir si elle est < ou > 1 dans le domaine de def de f(x) ( avec x >0 )

[Didi12e]

D'accord je comprends votre raisonnement, mais serai-ce possible de factoriser (√x^2-3x+1)+(x-(3/2)?

[ansset]

pourquoi chercher compliqué !
déjà quel est le domaine de f(x) ?
ensuite il est clair qu'on s'intéresse ici à x>3/2 !
donc comparer f(x) et y(x) revient à comparer ici f²(x) et y²(x), car les deux fct sont positives sur l'intervalle considéré.

ps : faute de signe quand tu écris un + entre les deux fonctions.

[Didi12e]

J'ai trouvé que f est définie sur ]-infini, ((3-√5)/2)[ U ]((3+√5)/2), +infini[
Mais ici il est question de savoir quand la fonction f est au dessus et en dessous de son asymptote oblique.
C'est pour cela que je passe par une étude du signe de leurs différence

[ansset]

mais l'asymptote est en +l'inf
donc il ne faut considérer que le second intervalle, dans lequel les deux fonctions sont positives.
et considérer le signe de f(x)-y(x) revient à considérer si f(x)>y(x) ou pas !
ce qui est équivalent à regarder si f²(x)>y²(x) ou pas. ( car les deux fonctions sont positives sur l'intervalle )

[Didi12e]

D'accord merci pour vos conseils

[Didi12e]

En résumé je dois étudier le signe de f^2(x)/y^2 ?

[ansset]

mais non! pas le signe, mais si cette fraction est plus grande ou plus petite que 1.
une autre manière de présenter cela :
pour x > (3+rac(5))/2; f(x) et y(x) sont strictement positives. ( et f(x) est nulle en (3+rac(5))/2 (*))
donc f(x)-y(x) est du même signe que (f(x)-y(x))(f(x)+y(x))=f²(x)-y²(x)
d'où ou bien on regarde le signe de f²(x)-y²(x), ou bien si f²(x)/y²(x) > ou < 1.
ce qui revient au même
soit a et b deux valeurs positives ( avec b >0 )
a-b <0 <=> a<b <=> a/b <1

(*) au passage tu fais donc une erreur en excluant (3-rac(5))/2 et (3+rac(5))/2 du domaine de def de f.

[jacknicklaus]

Mais tu avais terminé dès ton message 1 :

f(x)- y= (-1,25)/((√x^2-3x+1)+(x-(3/2))

Etudier l'égalité f(x) = x - 3/2 montre immédiatement que la courbe ne traverse jamais l'asymptote.

Or pour x dans le domaine de définition qui s'étend de la plus grande des deux valeurs où f(x0)=0, jusque +infini, la courbe est sous l'asymptote (trivial avec ton expression quotée ci dessus), elle l'est donc aussi pour tout x >= x0.

[fartassette]

Bonjour ,

Un autre angle aussi pour détourner un peu cette résolution,en majorant par exemple.


on a


est strictement croissante sur ainsi donc en s’intéressant juste à l'intervalle on répond à la question.


Cordialement

[Didi12e]

Aah d'accord je comprends mieux. J'ai trouvé que la Cf est en dessous de y (x) sur [(3+rac5)/2; +inf [
Merci pour vos conseils

[Didi12e]

Bonjour, dans un autre exercice, on me demande de démontrer que (√(x^2-1))/(x-1)= √((x+1)/(x-1))
J'ai vraiment tout essayé, j'ai essayé d'abord de partir de (√(x^2-1))/(x-1) pour pouvoir trouver l'autre écriture, mais à la fin je trouve 1, ensuite j'ai essayé de partir de l'autre écriture pour retomber sur la 1er écriture mais ça me donne ((x-1)/(x-2√(x)+1 ensuite j'ai essayé de soustraire les 2 écritures mais ça ne retombe pas sur 0.
Est ce que quelqu'un pourrai m'éclairicir svp?

[ansset]

Bonjour, dans un autre exercice, on me demande de démontrer que (√(x^2-1))/(x-1)= √((x+1)/(x-1))

x²-1=(x-1)(x+1)
donc rac(x²-1)=?
en en déduit l'égalité.

[Didi12e]

Je vais donc obtenir comme équation, rac((x-1)*(x+1))/(x-1)
Et en résolvant cette équation je devrai trouver l'autre équation?

[gg0]

Bonjour Didi12e.

D'abord une remarque :il manque sans doute une condition sur x à ton énoncé, car pour x=-2, le premier membre est strictement négatif et le second strictement positif. Je vais donc supposer qu'on a la condition x>1
Dans ce cas, x-1 est positif et égal à √((x-1)²) (ou à (√(x-1))² à ton choix); ce qui te permet ensuite de simplifier.

Sans la condition x>1, cette égalité est fausse.

Cordialement.

[Didi12e]

D'accord, merci beaucoup

[ansset]

Je vais donc obtenir comme équation, rac((x-1)*(x+1))/(x-1)
Et en résolvant cette équation je devrai trouver l'autre équation?

non pas en la "résolvant" mais en la simplifiant. ( et c'est tout simple )
quand à la remarque de gg0 sur le domaine de def de la fonction , j'ai oublié de le mentionner, tellement cela me semblait évident à priori.