Problème d'entrainement au concours général de Mathématiques -

[ansset]

en le disant positivement pour Davian, cet exercice est justement intéressant à ce titre.

cordialement.
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[DavianThule95]

(iv) Les polynômes irréductibles à coefficients réels sont exactement les polynômes de degré 1, et les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif (s'écrivant aX² + bX + c, avec a non nul et b² – 4ac < 0).
(v) Tout polynôme non constant à coefficients réels s'écrit comme un produit de polynômes à coefficients réels de degrés 1 ou 2.

Donc un polynôme de degré 2n est réductible en produit de polynômes de degré 1 ou 2 ( ces derniers avec déterminant strict négatif ).
Ceux de degré 1 sont exclus, car il ne peut y avoir de racines réelles, reste ceux de degré 2 à coeffs réels.
Et il a été montré qu'il n'en existait qu'un seul de degré 2.

Merci pour ces remarques !
Il se trouve que j'ai pu trouver la solution au problème sur le site euler : Je disais qu'il s'agissait d'un problème présenté à la pépinière mathématique 2019, eh bien les corrigés ont été mis en ligne. Voici le lien :

https://euler.ac-versailles.fr/IMG/p...iere_euler.pdf à la page 9.

Autrement, je tiens à préciser que je trouve votre argumentation plus claire que celle du corrigé merci encore !

[gg0]

Effectivement,

ce corrigé est un peu rapide. Et même déficient à la fin quand il dit "Dans cette dernière égalité, les polynômes des deux membres n’ont pas les mêmes degrés. " Comme on ne sait rien de S(x), à part qu'il est de degré inférieur à celui de Q et de R, il est possible que R(x)S(x+1)+S(x)r(x+1) soit de degré inférieur à S(x)S(x+1). Ce point n'étant pas abordé, le corrigé est fautif.

Cordialement.

[DavianThule95]

Dans la continuité de cet exercice, j'en ai trouvé un autre :

Soit , tels que .

Prouver que .

En fait, j'ai essayé d'introduire une fonction telle que :


En supposant c constant, et d'après la relation abc = 1, on a b = 1/ca, et donc :


Finalement, le mininum de cette fonction est atteint pour et est :

Ensuite, j'ai étudié la fonction

On trouve que le minimum est atteint pour .

En injectant ça dans f, on obtient finalement que le minimum de f est :


Et ce n'est pas 3... Je ne vois pas pourquoi ?


Merci d'avance

[ansset]

Et ce n'est pas 3... Je ne vois pas pourquoi ?

sans avoir vérifié tes calculs, tu arrives à un résultat >3 donc pas de pb.
ceci dit, comme on ne demande pas de calculer expressément le min, je me demande si il n'y a pas une solution "astucieuse" pour montrer directement ce >= 3 sans passer par des analyses de fct.
mais je n'y ai pas réfléchi.

[ansset]

En fait, la démo doit être fausse ( méthode ).
supposons a=b=c=1
abc=1 et a+b+c=3 pile ( sup à ton "minimum" )

[ansset]

pardon de tripler ....
la formule est symétrique selon a,b et c.
supposons a<=b<=c
b=xa ( x>=1)
c=ya ( y>=x)
abc=a³xy=1
a+b+c=a(1+x+y)>=a(1+1+1)=3a et
a=x=y=1 satisfait a³xy=1.

[Merlin95]

Il y a en effet une erreur ici :

On trouve que le minimum est atteint pour .

c'est : On trouve que le minimum est atteint pour .

[DavianThule95]

Donc je me suis juste trompé sur l'étude de g(c) ?

@ansset, la solution astucieuse, c'est de remarquer que a + b +c >= 3 => (a+b+c)/3 >= 1, et que abc = 1 => racine_cubique(abc) = 1

Or, l'inégalité des moyennes géométrique et arithmétique nous dit tout de suite que (a+b+c)/3 >= racine_cubique(abc)

Et le tour est joué.


Mais pour ça, il faut connaître cette inégalité ;-(

[DavianThule95]

C'est bon ! J'ai trouvé mon erreur : J'avais juste mal dérivé...

[ansset]

Mais pour ça, il faut connaître cette inégalité ;-(

la preuve que non, ma démo ( qui ne l'utilise pas ) n'est elle pas bonne ?

[Merlin95]

J'ai juste compris que tu as prouvé que a+b+c>=3a
et je ne comprends pas ce que montre ce que tu écris après :

a=x=y=1 satisfait a3xy=1.

[ansset]

J'ai juste compris que tu as prouvé que a+b+c>=3a
et je ne comprends pas ce que montre ce que tu écris après :

a=x=y=1 satisfait a3xy=1.

a+b+c=a(1+x+y) avec 1<=x<=y
donc c'est bien >=3a, mais en plus 3a est le minimum ( correspondant au min de x et y )
par ailleurs, si a=1 ( en plus de x=y=1) on a bien
abc=a³=1
je ne vois pas ce qui "gène".

[Merlin95]

ok, 3a est le minimum de a+b+c (en supposant que a <= b <= c).
Par exemple a peut valoir 1/2 dans ce cas a+b+c > 3/2.

Je ne vois pas le lien logique pourquoi tu prends a = 1.

[ansset]

pour satisfaire la contrainte abc=1.

[Merlin95]

heu... abc = 1 n'implique pas a = 1.

[ansset]

heu... abc = 1 n'implique pas a = 1.

non, mais ce n'est pas ce qu'on demande.
on demande un minorant de a+b+c avec pour contrainte abc=1.
et a=1 => a^3=1, donc la solution satisfait l'inégalité sous la contrainte.
on tourne en rond, ou ben je ne saisi pas.

[ansset]

si on avait posé :
abc=2 + recherche d'un minimum pour a+b+c.
on aurait abouti de même à a=b=c avec une autre contrainte.
ce qui aurait donné de la même manière
a^3=2 soit a=b=c=2^(1/3)
On retrouve d'ailleurs le même résultat en prenant la méthode proposée initialement par Davian.

[Merlin95]

bon c'est pas grave.

[Merlin95]

On peut raisonner ainsi :
a,b,c jouent des rôles symétriques donc lorsque le minimum est atteint on a forcément a = b = c.

pour que abc=1 ca implique forcément que a=b=c=1. donc a+b+c, a pour minimum 3.

Mais l'axiome "a,b,c jouent des rôles symétriques le minimum est atteint pour a=b=c" qui parait évident doit néanmoins être admis (je ne sais pas si les éléments du langage de la logique permet de le démontrer ou s'il faut le rajouter explicitement).

[gg0]

Cet "axiome", ce principe n'est valable que s'il y a un seul minimum (*), s'il y en a plusieurs (**), les permutations peuvent faire passer de l'un à l'autre, sans que les trois valeurs soient égales.

Cordialement.

(*) minimum global
(**) minimums locaux

[Merlin95]

Oui bien vu merci de cette correction.