Problème d'entrainement au concours général de Mathématiques -

[DavianThule95]

Bonjour,

Je m'entraîne actuellement pour le concours général de mathématiques, et ce faisant, je me suis attaqué à certains problèmes. Parmi ceux-ci, je suis tombé sur cela:

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Soit une fonction polynôme de vers (donc à racines et coefs réels), telle que:


Déterminer toutes les fonctions polynômes P qui vérifient cette équation.
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Pour l'instant, j'ai réussi à prouver que était un polynôme d'ordre pair, en passant par les limites en + et - inf. Et je pense qu'il y a moyen de travailler sur l'ensemble des racines de ce polynôme, voilà ce que j'ai pour l'instant :

Soit l'ensemble des racines de ce polynôme . est fini. Soit un élément de . On a alors:


On peut alors définir la suite telle que :



Il vient que : . On sait étant strictement croissante, tous ses termes sont différents, et il y en a une infinité. Or E est fini. Contradiction. Donc... je sais pas comment continuer. Ou alors c'est une fausse piste ?

Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Comme P ne peut pas avoir une infinité de racines, il ne peut pas en avoir une
Ça donne déjà le type de polynôme possible ...

Cordialement.

[DavianThule95]

Bonsoir,

Vous dites que cela donne déjà le type de polynôme possible. Mais en quoi ? Comment procéder ? Dois-je trouver le minimum de ? Et dans ce cas, a-t-on :

Soit le minimum de , alors :

Avec les racines du polynôme ? Et de là, peut-être que l'on peut travailler sur au lieu de ?

[gg0]

Désolé, je ne comprends pas ce que tu racontes, ni pourquoi tu as écrit des .

Comme je ne sais pas quelles sont tes connaissances sur les polynômes, difficile de savoir ce qui pourrait te guider.

Il serait peut-être bon pour toi de regarder avec des polynômes simples : P peut-il être constant ? de degré 1 ? de degré 2 ? Et dans chaque cas, de regarder les polynômes qui conviennent ..

Bon travail personnel !

NB 1 : Au concours général, personne ne t'aidera.
NB 2 : Ce sujet ne semble pas être un sujet de concours général, plutôt un sujet d'olympiade (avec un programme supplémentaire).

[A voir en vidéo sur Futura]

[DavianThule95]

Il s'agit d'un exercice qui a été proposé lors du stage pépinière de mathématique 2019.

P peut-il être constant ? de degré 1 ? de degré 2 ?

Le degré du polynôme ne peut qu'être pair, comme dit dans mon premier message.

Et dans chaque cas, de regarder les polynômes qui conviennent

je vais regarder ça, effectivement c'est une bonne piste !

J'ai les connaissances sur les polynômes d'un élève de Terminale S que je suis. Et effectivement personne ne m'aidera lors du concours général, et c'est bien pour cela que je pose les questions avant !


J'essaie d'avancer par moi-même et je reviens si je trouve quelque-chose ou si je suis vraiment bloqué...
Bonne soirée.

[ansset]

je t'invite à trouver les 2 "polynômes" de degré 0 qui conviennent, puis à déterminer le seul de degré 2.
on en déduit déjà une infinité de polynômes de degré 2p , reste à montrer ensuite que ce sont les seuls.

[eudea-panjclinne]

@DavianThule95
La démonstration faite dans le premier message ressemble à une démonstration par l'absurde mais, si c'est le cas, elle est mal rédigée et la conclusion ne peut être énoncée correctement : Il manque la supposition de départ, en l’occurrence ici :
Supposons qu'il existe une fonction polynôme non constante qui vérifie l'égalité donnée.
La contradiction de la fin infirmant cette supposition donne la solution au problème.

D'autre part, il y a un problème dans l'énoncé:
Soit une fonction polynôme P de IR vers IR (donc à racines et coefs réels), telle que:
Une fonction polynôme de IR vers IR a ses coefficients réels mais pas forcément ses racines réelles.

[ansset]

suite à mon précédent message :

l'implication est évidente, mais je ne vois pas ( en première lecture ) comme tu arrives directement à l'équivalence.

En espérant que tu reviennes nous faire part de tes commentaires sur les interventions précédentes.
Cdt

@eudéa:

Une fonction polynôme de IR vers IR a ses coefficients réels mais pas forcément ses racines réelles

elles ne peuvent être réelles, et il l'a démontré.

[minushabens]

Comme P ne peut pas avoir une infinité de racines(...)

il existe tout de même un polynôme qui a une infinité de racines.

[ansset]

Comme P ne peut pas avoir une infinité de racines, il ne peut pas en avoir une

heuu si, si elles restent les mêmes, justement.
donc des racines, mais pas une infinité.

pas compris mitsuhabens, d'ailleurs.

[gg0]

Effectivement, Minushabens,

j'ai d'ailleurs pensé à ce polynôme solution évidente quand je demandais à DT95 de regarder les polynômes de degré 0, 1 et 2; ce qu'il ne semble pas avoir fait ...

Cordialement.

[minushabens]

mais tu as oublié le degré "moins l'infini"

[gg0]

Oh, la ! tu pinailles. Et tu n'as même pas lu ce que j'écrivais à ce moment-là !

Cordialement !

[DavianThule95]

Bonjour,

Si je n'ai pas répondu jusqu'à présent, c'est tout simplement parce que je n'avais pas assez d'éléments. De plus, suite à la première remarque de gg0 sur "Personne ne m'aidera au concours", vous comprendrez que j'ai préféré revenir vers vous avec du solide. J'enverrai sous peu (2h max) un message contenant ce qui je pense est ma résolution du problème.

[DavianThule95]

Excusez-moi pour cette réponse tardive, je n'avais tout simplement pas assez d'éléments pour répondre plus tôt. je vais essayer de faire une rédaction complète pour ce problème. Je repose l'énoncé pour pas que vous ayez à faire des allers-retours entre ce poste et mon premier Donc :

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Soit une fonction polynôme de vers , telle que:



Déterminer toutes les fonctions polynômes qui vérifient cette équation.
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-------- I) Tout d'abord, démontrons que ce polynôme n'admet aucune racine dans .

Supposons que admet des racines réelles, et notons l'ensemble des racines de . Puisque est un polynôme, est fini et supposé non vide.


De plus, d'après la relation fonctionnelle:


On peut alors définir la suite telle que :



Il vient alors : .
Or est fini. On en conclut que :

--- 1) Soit la suite est constante :

Mais cette équation n'admet pas de solution réelle.

--- 2) Soit, et c'est que nous retiendrons : . Le polynôme n'admet donc pas de racines réelles.



-------- II) Démontrons maintenant que est un polynôme de degré pair.

Pour cela, nous allons étudier le comportement de aux limites de son domaine de définition, qui sont, puisqu'il s'agit d'un polynôme, de et .

On notera, en supposant que est un polynôme de degré :
avec le coefficient de

--- 1) Tout d'abord, déterminons le signe de , coefficient de .
On a

Le début du développement du terme de droite nous donne :

Le début du développement du terme de gauche nous donne :

Puisqu'il y a égalité entre les deux termes, on a aussi égalité des coefficients. Donc :
Puisque est supposé de degré ,

--- 2) On peut maintenant déterminer les limites.

Tout d'abord, pour tout polynôme à coefficients réels, tel que soit le monôme du plus haut degré, on a :


Ici, puisque le coefficient du terme de plus haut degré est égal à 1, on a :


On a :


On remarque que :


Ainsi :


Or, si était de degré impair, alors il aurait des limites en et différentes, ce qui n'est pas le cas. Donc est de degré pair.



-------- III) Etude des polynômes solutions pour les degrés 0 et 2.

--- 1) Degré 0:
On a :
Ce qui implique :

Les deux solutions de degré 0 sont les polynômes constants et

--- 2) Degré 2:
Soit un polynôme de degré 2 solution, tel que :


Le coefficient de est 1, comme démontré dans le II).

Alors, on a :


Soit, en développant :


On a de plus :



Par identification, on a le système suivant :





Qui conduit à la solution :




-------- IV) Généralisation et réponse au problème.

Reprenons la fonction , solution de degré 2.


Pour toute fonction polynomiale , avec un polynôme, la fonction est elle aussi un polynôme.

Donc l'ensemble des polynômes qui satisfont la relation fonctionnelle sont les polynômes de la forme:



Ainsi que les polynômes et



Voilà, aurais-je oublié des solutions ? Aurais-je fait une erreur ?

[ansset]

dieu que c'est long et lourd pour I) et II) qui peuvent se faire en deux lignes...

on peut faire aussi différemment pour le III) ( et plus court ) mais la méthode par identification est correcte.

quand au IV), je ne vois pas ou tu prouves que ce sont les seules solutions pour les degrés > 2.
c'est surtout ça qui manque.

ps: ^pour la conclusion, tu oublies de rappeler n pair, détail .

[DavianThule95]

Effectivement, je viens de m'apercevoir que dire qu'il n'y a pas de racines, c'est déjà dire que le polynôme est de degré pair...

Et pour le IV), je ne sais pas comment m'y prendre. J'y réfléchis

[DavianThule95]

Non je n'ai pas oublié de rappeler n pair : (x^2 - x + 2) est déjà un polynôme de degré pair. Donc (x^2 - x + 2)^n sera de degré pair pour tout n entier.

[minushabens]

pour le point 1 la suite pourrait a priori ne pas être constante et ne pas contenir une infinité de valeurs distinctes.

[ansset]

Non je n'ai pas oublié de rappeler n pair : (x^2 - x + 2) est déjà un polynôme de degré pair. Donc (x^2 - x + 2)^n sera de degré pair pour tout n entier.

oui, désolé, ma remarque n'était pas bonne.
je te laisse réfléchir pour la IV) car tu n'avais montré qu'une implication, comme tu le sais.

quand au début, on verra peut être après comment faire beaucoup simple et court.

[DavianThule95]

pour le point 1 la suite pourrait a priori ne pas être constante et ne pas contenir une infinité de valeurs distinctes.

effectivement. Il faudrait prouver qu'elle est d'abord croissante, ce qui se ferait tout simplement en étudiant la fonction f(x) = x^2 + 2 - x par exemple et montrer qu'elle est toujours positive sur R.

[gg0]

Bonsoir.

On peut aussi montrer directement que la suite est croissante, car dès U₁, on a , donc

D'autres remarques :
* Dans I : est faux, n'est pas une solution de l'équation. La bonne écriture est .
* Puisque la suite est strictement croissante, elle ne peut pas être constante
* Dans II, il est prouvé que le coefficient dominant est 1, donc pour les polynômes de degré 0, il n'y a que P(x)=1

Cordialement.

[ansset]

ben pourtant P(x)=0 satisfait bien P(x)P(x+1)=P(x^2+2).
tout est nul partout.

[Merlin95]

Bonjour désolé de revenir un peu en arrière mais pourquoi P(Un) = 0 ?

De plus, d'après la relation fonctionnelle:


On peut alors définir la suite telle que :



Il vient alors : .
Or est fini. On en conclut que :

[eudea-panjclinne]

message erroné

[DavianThule95]

@Merlin95 : Le 1er terme U0 de la suite est une racine de P. Or, d'après l'équation fonctionnelle : f(Un)f(Un +1) = f(Un² + 2)
Puisque f(Un) = 0 alors 0*f(Un +1) = f(Un² + 2) => f(Un² + 2) = 0
Et en raisonnant par récurrence, tout nombre de la suite Un est une racine du polynôme P.

[gg0]

ben pourtant P(x)=0 satisfait bien P(x)P(x+1)=P(x^2+2).
tout est nul partout.

Oui, en fait, dans la rédaction, il serait utile de partir de la remarque que le polynôme nul est solution, puis qu'on ne considèrera plus ensuite que des autres polynômes, de degré positif (voir mon petit entre deux avec Minushabens). Ce qui permettre de parler tranquillement de coefficient dominant.
L'une des difficultés est qu'on part d'une rédaction qu'on n'a pas produite.

Cordialement.

[minushabens]

Oui d'accord avec gg0, dans la rédaction il vaut mieux signaler d'abord la solution P=0 et supposer dans la suite que P n'est pas nul.

Une autre solution consiste à partir de la démonstration que si P a une racine il en a une infinité, ce qui signifie que soit P=0 soit P est un produit de polynômes de degré 2 sans racines (réelles).

[ansset]

OK, c'était lié à la rédaction.....

pour la IV) j'ai cherché une démo avec les bases du Lycée, mais je n'y arrive pas.
je suis "obligé" d'utiliser le théorème de d'Alambert Gauss, et/ou ses différentes formulations ou conséquences.
par exemple: je reprend la formulation de wiki, car feignant je suis :
(iv) Les polynômes irréductibles à coefficients réels sont exactement les polynômes de degré 1, et les polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif (s'écrivant aX² + bX + c, avec a non nul et b² – 4ac < 0).
(v) Tout polynôme non constant à coefficients réels s'écrit comme un produit de polynômes à coefficients réels de degrés 1 ou 2.

Donc un polynôme de degré 2n est réductible en produit de polynômes de degré 1 ou 2 ( ces derniers avec déterminant strict négatif ).
Ceux de degré 1 sont exclus, car il ne peut y avoir de racines réelles, reste ceux de degré 2 à coeffs réels.
Et il a été montré qu'il n'en existait qu'un seul de degré 2.

Y'a plus qu'à finir proprement la démo.
Car cela ne suffit pas dit tout seul.

[gg0]

N'importe comment,

il ne reste rien comme formation sur les polynômes en lycée, donc cet exercice ne peut qu'être prétexte à revoir tout ce qui a été abandonné.

Cordialement.