Quel est le problème de l'Axiome des parallèles d'Euclide?

[Le Bescond Mickael]

Bonjour,

je me penche actuellement sur l'axiome des parallèles d'Euclide et je ne comprend pas d'où peut venir le problème de cette axiome.
J'ai beau regarder les explications, je ne comprends pas.
Et la création de nouvelle géométrie sans cette axiome, je le comprend encore moins.
Un petit éclaircissement de quelqu'un qui aurai comprit le problème que je ne vois pas, ça serai sympa.
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[gg0]

Bonjour.

Cet axiome ne pose aucun problème. Tout comme les autres.
Très bizarrement, pendant 20 siècles, on ne s'est posé que la question d'essayer de prouver cet axiome des parallèles à partir des autres. Et c'est pour une raison uniquement de présentation par Euclide de cet axiome très séparément des autres (tous appelés "demandes" ou postulats). Euclide commence ses démonstrations à partir d'un certain nombre de définitions et de 4 postulats. Puis, au bout d'un certain nombre de pages, il rajoute ce cinquième postulat, dont il n'avait pas eu besoin jusque là.
Donc de la géométrie sans cet axiome, il y en a depuis 2300 ans. Lis les "éléments de géométrie" d'Euclide.

Cordialement.

[gg0]

Je réponds maintenant à la deuxième partie de ta question.

Une fois compris et démontré que le cinquième postulat ne pouvait être démontré avec les autres (il en est indépendant), les mathématiciens qui avaient développé des géométries sans cet axiome, ou avec des postulats contraires ("par un point pris hors d'une droite, il passe plus d'une parallèle", ou "par un point pris hors d'une droite, il ne passe pas de parallèle") se sont posé la question de ce qu'est une géométrie. Ils ont construit des géométries avec un nombre fini de points, et ont compris que certaines mathématiques connues étaient des géométries (géométrie projective, géométrie affine, ...). Jusqu'à ce que Felix Klein avec son "programme d'Erlangen" définisse ce qu'on appelle maintenant "une géométrie".

Cordialement.

[Le Bescond Mickael]

Le problème de l'axiome des parallèles c'est qu'il n'est pas démontrable avec les autres axiomes?
Que doit-on démontrer de cette axiome exactement?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

En général, quand on donne une liste d'axiomes (propriétés utilisées comme base pour les démonstrations), on essaie qu'ils soient indépendants, qu'on ne puisse pas en démontrer un à partir des autres. Sinon il serait inutile de le mettre.
Mais je te redis qu'il n'y a pas de "problème de l'axiome des parallèles". Pourquoi racontes-tu ça ?

[Le Bescond Mickael]

Parce que les mathématiciens n'arrivent pas à le supprimer alors que j'ai l'impression qu'on peut le démontrer aussi et c'est là le problème.
Je ne sais pas si c'est clair ce que je viens d’énoncer?

[gg0]

Bien sûr qu'on peut le démontrer ! Mais pas à partir des axiomes d'Euclide.
D'ailleurs, dans les constructions de la géométrie plane actuelles, à partir de la géométrie affine, ce n'est plus un axiome, mais une propriété quasi évidente.

Si tu pars bien de la géométrie euclidienne, tu t'es trompé, comme des milliers de gens avant toi.

Cordialement.

[Le Bescond Mickael]

Ce n'est qu'un impression et j'utilise certainement des outils venants de la géométrie affine sans m'en rendre compte car il n'y pas eu de telle différentiation dans les cours de mathématique que j'ai eu.
Qu'elle est l’intérêt d'avoir autant de géométries différentes, si une grosse partie d'entre elles sont impossibles à dessiner avec un compas et une règle?

[gg0]

La géométrie est une discipline mathématique. Ne pas confondre avec le dessin géométrique.

[jacknicklaus]

Qu'elle est l’intérêt d'avoir autant de géométries différentes, si une grosse partie d'entre elles sont impossibles à dessiner avec un compas et une règle?

Les mathématiciens te répondront que les mathématiques ne sont pas limitées aux problèmes de compas et de règle (celà dit, très intéressants), et les physiciens que, curieusement, la nature ne semble pas dessinée avec règle et compas sur un canevas euclidien à 3 dimensions.

[Le Bescond Mickael]

Je trouve ça incohérent d'en faire la distinction. A quoi sert une géométrie si on ne peut pas l'appliqué physiquement?
Ca me dépasse, pour moi toutes ces géométries me font penser à cette expression bien connu : "Pourquoi faire simple, alors qu'on peut faire compliquer"

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Je trouve ça incohérent d'en faire la distinction. A quoi sert une géométrie si on ne peut pas
l'appliqué physiquement?

Deux réponses à cela:

1. Parce que cela pourrait un jour servir (au moins indirectement).
2. Parce que c'est intéressant en soit.

Sinon, si on devait envoyer aux oubliettes tout ce qui ne sert pas physiquement, on devrait oublier (liste non-exhaustive): l'art, la musique, le cinéma, la philosophie, l'histoire, l'archéologie, la poésie et la littérature en général, etc.

[Le Bescond Mickael]

Bonjour,

Deux réponses à cela:
1. Parce que cela pourrait un jour servir (au moins indirectement).
2. Parce que c'est intéressant en soit.

Alors on devrait se poser cette question, n'a-t-on pas déjà tous les outils mathématiques nécessaire pour comprendre la physique qui nous entour? On devra bien s’arrêter un jour au niveau de la théorie.

[gg0]

C'est justement le développement des géométries qui a permis l'essor de la physique au vingtième siècle. Sans compter d'autres applications (les avions utilisent une géométrie qui n'est pas celle d'Euclide), mais déjà la relativité restreinte utilise une géométrie non euclidienne.

Et si ça t'énerve qu'il y ait différentes géométrie, n'y pense plus, et laisse le sujet à ceux que ça intéresse.

Et on est déjà bien loin de ta question initiale !

[Le Bescond Mickael]

C'est justement le développement des géométries qui a permis l'essor de la physique au vingtième siècle. Sans compter d'autres applications (les avions utilisent une géométrie qui n'est pas celle d'Euclide), mais déjà la relativité restreinte utilise une géométrie non euclidienne.

Certes mais les lois de la physique sont limités et donc les théories associés aussi. C'est juste logique, on va bien finir par en faire le tour un jour ou l'autre.

Ca ne m'énerve pas, je trouve que bon nombre de ces géométries n'on aucun sens et trop abstraite.

[Médiat]

Et vous pensez que ce que vous pensez est plus pertinent et plus important que ce que pensent (et ont pensé) tous les mathématiciens depuis plus de 150 ans (pour se restreindre à la géométrie) ?
Bravo, bel égo !

[gg0]

On appelle généralement "trop abstraite" la notion qu'on ne comprend pas et on dit "aucun sens" de ce qu'on n'a pas cherché à comprendre.

[Paraboloide_Hyperbolique]

Certes mais les lois de la physique sont limités et donc les théories associés aussi. C'est juste logique, on va bien finir par en faire le tour un jour ou l'autre.

En l'état actuel, ce ne sera probablement pas avant très longtemps (plusieurs siècles en étant optimiste).

Ca ne m'énerve pas, je trouve que bon nombre de ces géométries n'on aucun sens et trop abstraite.

Si elles ont du sens, sinon ce ne seraient pas des mathématiques. Et même si l'on avait une description physique complète de l'Univers, le développement des mathématiques continuerais à rester intéressant. Cela le resterait en soit, mais aussi pour le développement d'autres applications (comme la cryptographie et les protocoles de communication.)

Enfin, en quoi l'abstraction est-elle dérangeante* ? J'ai bien un musée d'art moderne à quelques kilomètres de chez-moi qui expose régulièrement des oeuvres abstraites auxquelles je ne comprend rien. Je ne vais pas pour autant aller dire au directeur du musée que ce qu'il expose n'a aucune application, n'a aucun sens (pour moi), et est trop abstrait.

*Allez voir du côté des travaux d'Alexandre Grothendieck, question abstraction, chez lui, c'est bien gratiné.

[Le Bescond Mickael]

Lorsque j’écris "je trouve que", c'est un point de vue et en aucun cas je prétends en savoir plus que tous les mathématiciens réunis.
C'est clairement une extrapolation qui ne s'appuie sur rien de tangible. Et je n'est jamais écrit que les mathématiques se restreint à la seule géométrie.
Bref, je ne me souviens pas avoir prétendu être un génie en math ou autre chose dans le genre, c'est un avis qui ne concerne que moi.

Merci pour votre compréhension.

[Seirios]

Très bizarrement, pendant 20 siècles, on ne s'est posé que la question d'essayer de prouver cet axiome des parallèles à partir des autres. Et c'est pour une raison uniquement de présentation par Euclide de cet axiome très séparément des autres (tous appelés "demandes" ou postulats).

J'avais cru comprendre que le cinquième postulat se distinguait des autres parce qu'il était moins immédiat à l'intuition, comparé aux quatre autres qui sont des "évidences". En tout cas, c'est la motivation que j'ai rencontrée dans ce que je me souviens avoir lu. As-tu des références qui vont dans le sens inverse ?

Ca ne m'énerve pas, je trouve que bon nombre de ces géométries n'on aucun sens et trop abstraite.

Il ne faut pas opposer l'abstraction à l'applicabilité. Au contraire, l'abstraction est synonyme d'une grande applicabilité. Pour prendre un exemple basique, dans la résolution d'une équation d'inconnue , à aucun moment la nature de cette quantité est décrite, c'est une pure abstraction. Mais justement ! Ce pourra être un poids de patates, la durée d'une réunion, la hauteur d'une girafe ou la circonférence de séquoias.

Mais je ne pense pas que l'abstraction soit ce qui pose problème quand on dit que les mathématiques sont trop abstraites. Après tout, les triangles et les cercles de la géométrie euclidienne sont de pures abstractions. Dans la réalité expérimentale de la physique, les ellipses orbitales n'existent pas. Il me semble que, ce qui gêne, c'est que ça ne parle pas à l'intuition, on "ne voit pas" ce qui se passe. Ce n'est d'ailleurs pas exclusif aux mathématiques, la physique est souvent contre-intuitive (il y a une citation célèbre de Galilée qui va dans ce sens, mais je ne l'ai plus en tête). Mais la familiarité avec les concepts, ça se travaille. Pour un géomètre, les cercles et les droites du plan euclidien pourront sembler aussi intuitifs que les géodésiques de variétés riemanniennes. À force de travailler avec certaines constructions, cela devient aussi familier que la réalité physique autour de nous. De même qu'on sait un crayon va tomber quand on le lâche, on peut savoir que deux géodésiques hyperboliques vont diverger exponentiellement. Je ne suis pas sûr que le cerveau fasse la différence entre ces expériences.

Je voudrais aussi ajouter que l'abstraction en mathématique n'est pas faite pour le simple plaisir du mathématicien. Elle doit apporter une compréhension nouvelle. Dans son livre Géométrie vivante, Marcel Berger compare les abstractions successives aux barreaux de l'échelle de Jacob. Voici les premières lignes de l'introduction :

De nombreux problèmes de géométrie, d'apparence simple, que l'on peut présenter de façon très intuitive, ont en commun une ou plusieurs des propriétés suivantes :
- ils sont toujours non résolus, ou ils n'ont été résolus que récemment après des efforts considérables ;
- pour être bien compris (et éventuellement résolus en tout ou partie), ils ont nécessité la création de concepts et d'outils d'un degré d'abstraction variable, mais bien supérieur à celui de leur énoncé ;
- les outils mathématiques utilisés pour les résoudre ont été conçus dans de tout autres buts.
Dans cet ouvrage, nous présentons toute une série de problème de cette nature, en montrant pourquoi des notions abstraites nouvelles ont été nécessaires pour les résoudre, et comment elles interviennent successivement dans la solution. Ce sont des notions conceptuelles construites chacune "au-dessus" de la précédente et permettant de s'élever dans l'abstraction, qu'illustre, avec ses barreaux, l'image de l'échelle de Jacob.

[gg0]

Bonjour Seirios.

Effectivement, la formulation utilisée par Euclide est assez compliquée, mais elle relève de l'évidence issue du tracé de figure (si tu traces "l'angle" ABC puis "l'angle" BCD de façon que leur somme fasse moins de deux droits, (CD) va recouper (AB), éventuellement très loin si la somme fait presque deux droits. les mathématiciens grecs ont très vite trouvé que la formulation "par un point pris hors d'une droite il passe une parallèle et une seule à cette droite" était plus éclairante.
En fait, il est impossible de savoir ce qui se serait passé si le début des "éléments" avait utilisé ce postulat ou un équivalent et que le quatrième (égalité de tous les angles droits) était apparu après une trentaine de démonstrations sans lui. Ce quatrième postulat ne semble pas plus évident que le cinquième.

Cordialement.

NB : Il est éclairant de regarder les autres messages de l'auteur de ce fil.

[Deedee81]

Salut,

T'est quand même comique toi Les mathématiques pures sont par nature abstraites et détachées de tout autre chose.
(sinon on parle de physique appliquée ou éventuellement "inspirée", et là il y a les autres forums : physique, astrophysique, informatique, etc...
je dis inspirées car une partie des maths est née de problèmes concrets, mais ça c'est de l'histoire pas des maths pures)
Et puis tu lâches ça :

Ca ne m'énerve pas, je trouve que bon nombre de ces géométries n'on aucun sens et trop abstraite.

Si tu trouves que l'abstraction est trop abstraite, mais qu'est-ce que tu fais dans ce forum
Si tu trouves que c'est trop abstrait va dans un forum de concret. Les questions des liens entre géométrie et physique sont fort intéressant par exemple (ça ne se retrouve pas que dans l'espace "ordinaire" mais aussi des les espaces de configuration où l'on a des géométries symplectiques, projectifs ou basées sur des groupes divers et variés).

Tu te fais du mal pour rien

[Le Bescond Mickael]

Il ne faut pas opposer l'abstraction à l'applicabilité. Au contraire, l'abstraction est synonyme d'une grande applicabilité. Pour prendre un exemple basique, dans la résolution d'une équation d'inconnue , à aucun moment la nature de cette quantité est décrite, c'est une pure abstraction. Mais justement ! Ce pourra être un poids de patates, la durée d'une réunion, la hauteur d'une girafe ou la circonférence de séquoias.

D'où le mot "inconnue" devant le , ça n'a rien d'abstrait.

Salut,

T'est quand même comique toi Les mathématiques pures sont par nature abstraites et détachées de tout autre chose.

Les hypercubes sont un bon exemple du non sens et de l'abstrait. Totalement impossible a s'imaginer, c'est mathématiquement faisable mais n'a aucun sens physique, ça c'est ma définition de l'abstrait.

[Médiat]

D'ailleurs 1 est abstrait, il est certes moins compliqué que 2 (out aussi abstrait) mais tellement plus simple que 0.

[albanxiii]

Pour situer le contexte :
https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6520787
https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6550758

[Le Bescond Mickael]

Et c'est sensé justifier quelque chose? C'est encore une énième extrapolation, vous ne savez strictement rien de ce que je fais, mais vous vous permettez de juger.
Et je dois encore l'énoncer :"je ne me souviens pas avoir prétendu être un génie en math ou autre chose dans le genre, c'est un avis qui ne concerne que moi".
Pourtant je trouve que c'est clair comme phrase, y'a aucune ambiguïté.

[Médiat]

Ah oui, quand même (merci albanxiii de cet éclairage), en écrivant

Bravo, bel égo !

Je ne savais à quel point c'était un euphémisme

Je crois que je vais avoir du mal à m'arrêter de rire avant demain.

Pour ceux qui croirait que l'abstraction est une sale maladie je voudrais juste rappeler ces mots d'un grand mathématicien :

L'abstrait c'est ce qui devient concret au bout de 2 ans

[gg0]

Quel intérêt de venir ici pour nous dire que ce qu'on fait est idiot. Tu es finalement un troll. Caractéristique : sous prétexte d'une question simple, tu contestes toutes les réponses et toutes les mathématiques.

Peut-être fermer ce fil, la question initiale a eu une réponse.

[Le Bescond Mickael]

Quel intérêt de venir ici pour nous dire que ce qu'on fait est idiot.

C'est toi qui le dit, je n'est rien écrit de tel. Tu peux remonté le fil de la discussion pour vérifier.

tu contestes toutes les réponses et toutes les mathématiques

Très beau sophisme.
Je suis désolé de m'interroger sur le bien fondé d'une géométrie à 4 Dimensions de longueurs et plus.

[gg0]

Et on est fondés alors de considérer que c'est du troll