Congruence - divisibilité par 3

[CompositeStructure]

Bonjour,

Je suis en train de réaliser un exercice sur les congruences:

"On considère un entier naturel a défini par son écriture décimale a = a_na_n-1...a_o avec a_n différent de 0.
On a donc: a = a_n * 10ⁿ + a_n-1*10^n-1 + ... + a₁ * 10 + a₀

Montrer que l'entier a est divisible par 3 si set seulement si la somme de ses chiffres est divisibles par 3."

En première approche je pensais dire que la somme de 0 à n des coefficients a_i de chaque puissance de 10 sont congrus à 10, puis dire que a est divisible par 3 si et seulement si cette somme des a_i est congrue à 3.
Je ne vois pas très bien comment le rédiger, est-ce que l'on peut écrire une expression modulo 10 puis calculer depuis ce modulo 10 et l'écrire modulo 3 ?

Est-ce que je peux utiliser le fait que si a = b modulo (10) et b = c modulo (3) alors a = c modulo (3) ?
Dans la propriété sur la transitivité on utilise n mais j'ai l'impression que c'est le même modulo pour a, b et c.

a = a_n + a_n-1 + ... + a₀ modulo (10)

Désolé pour les profs de Maths qui doivent s'arracher les cheveux en lisant mon post

Merci par avance pour votre aide.

Cordialement

Mathieu
-----

[CompositeStructure]

10 = 1 modulo (3), donc l'expression se résume à la somme de ses coefficients ai.
Si ai est un multiple de 3, c'est-à-dire si la somme est égale à 0 modulo 3, alors a est divisible par 3.

[invite51d17075]

a = a_n + a_n-1 + ... + a₀ modulo (10)

heuu, non si je lis bien, exemple 12
1 congru à 1[10]
2 congru à 2[10]
et 12 congru =2 [10] ( et 2 diff de 3 )

pour montrer le "si et seulement si", il te faut montrer les deux implications.
1) si la somme est divisible par 3 alors le chiffre l'est aussi
2) l'inverse.
une piste :écrire


et regarder ce que sont les

[CompositeStructure]

Merci pour votre retour.

Ce que j'ai voulu dire dans mon second post c'est que je n'avais pas besoin de passer par un modulo 10.

10 = 3*3 + 1 = 1 [3]

a^p = b^p [n]

donc 10³ = 1³[3] = 1[3]
et cela pour toutes les puissances de n pour 10ⁿ
On se ramène bien à la somme des coefficients.
Dire que a est divisible par 3 est équivalent à a = 0 [3]
comme a = a_n + a_n-1 + ... + a₁ + a₀, alors:
a_n + a_n-1 + ... + a₁ + a₀ = 0 [3]

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Oui, tu "n'avais pas besoin de passer par un modulo 10". Seulement de noter que modulo 3, 10 et toutes ses puissances sont congrus à 1.
Attention : "comme a = a_n + a_n-1 + ... + a₁ + a₀, alors:" est faux, il fallait écrire "comme a = a_n + a_n-1 + ... + a₁ + a₀, [3] alors:".

Je reviens sur ton premier message : "Est-ce que je peux utiliser le fait que si a = b modulo (10) et b = c modulo (3) alors a = c modulo (3) ?" Non, 17 = 7 [10] et 7 = 1 [3], mais 17 ne vaut pas 1 modulo 3.

Cordialement.

[CompositeStructure]

Merci gg !!!!