Exercice nombres complexes

[Marmus1021]

Bonjour, voici un petit problème que je n’arrive pas à résoudre.

Pour tout nombre complexe z= x+iy, on associe le complexe Z=z² -2iz +2.
1) Si z est réel, prouver que Z est réel.
2) La réciproque est-elle vraie ?

En fait je trouve que la première question est fausse, et que c’est la réciproque qui est vraie...
Parce que pour la 1, z est réel si y=0. Mais si y=0, ça ne suffit pas a dire que Z est réel (puisque sa partie imaginaire est égale à 2xy-2x).
Voilà merci de me dire où est mon erreur
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[ThM55]

Bonjour.
Je pense que vous avez raison pour la première question.
Supposons réel. Il est égal à son conjugué: . Donc et n'est pas réel si z est non nul.

Pour la réciproque, si alors ce qui se simplifie: .

L'un des facteurs est nul. Si c'est le premier, et z n'est pas réel (il est purement imaginaire). Si c'est le second, et il n'est pas réel non plus (dans ce cas on a y=1 dans z=x+iy). Donc la réciproque n'est pas vraie non plus.

[jacknicklaus]

Bonjour.
Je pense que vous avez raison pour la première question.
Supposons réel. Il est égal à son conjugué: . Donc et n'est pas réel si z est non nul.

Pour la réciproque, si alors ce qui se simplifie: .

L'un des facteurs est nul. Si c'est le premier, et z n'est pas réel (il est purement imaginaire). Si c'est le second, et il n'est pas réel non plus (dans ce cas on a y=1 dans z=x+iy). Donc la réciproque n'est pas vraie non plus.

bonsoir

autre méthode : si Z réel, alors (z-i)² aussi, ce qui donne :
soit z-i imaginaire pur et donc z aussi
soit z-i réel et z non réel pur.