Questions sur la convergence de suites et sur le TVI

[Marmus1021]

Bonjour ! J’aurai deux questions ici, qui n’ont pas de rapport.
La première c’est à propos du TVI.
J’ai marqué dans mon cours : Soit f une fonction continue sur I, et a,b appartenant à I. Alors pour tout y compris entre f(a) et f(b), il existe c compris entre a et b tel que f(c)=y.
Ma question c’était : est-ce que si je prends a = -infini et b = +infini, cela fonctionne aussi ? J’ai l’impression que oui, mais je voudrais m’assurer que le théorème fonctionne en prenant des bornes infinies.

Deuxième question : Il s’agit d’un exercice sur les suites cette fois.
Soit (a_n) telle que a₀ > 0, et a_n+1 = a_n + 1/a_n

Il faut trouver la limite de a_n

Voila ce que je pensais faire, mais j’aimerais que vous me disiez si cela fonctionne. Je pose f(x)= x + 1/x, et je montre qu’elle est croissante.
Ensuite je vois que a₁ < a₂, donc (a_n) est croissante.
Ensuite je cherche à montrer qu’elle n’est pas convergente. Pour cela je suppose par l’absurde qu’elle converge. Donc (a_n+1) converge aussi. En appelant l la limite, on a donc l’egalite l = l + 1/l, soit 1/l = 0. Donc l correspond à +infini. Cela contredit l’hypothese de départ selon laquelle l est finie.
Donc la limite recherchée est +infini.

Bon ça me parait bizarre, il doit y avoir des erreurs
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[jacknicklaus]

Pour le 1), prends f(x) = x²

Quelle signification donner à f(-oo) ? à f(+oo) ? Et même si tu utilises la notion de limite (hors de ton programme, je pense) ce qui pourrait donner un sens à
f(-oo) = +oo et f(+oo) = +oo, quelle signification donner à "pour tout y compris entre +oo et + oo" ???


pour le 2) prends f(x) = x/2. f est croissante. Mais la suite a₀ = 1 et a_n+1 = f(a_n) est décroissante (1, 1/2, 1/4, ...)

[gg0]

Bonjour marmus1021.

Pour le 1), a et b sont des nombres (pour que f(a) et f(b) aient un sens); par contre, le théorème est vrai pour I intervalle infini (I=[0,+oo[, par exemple, ou I=]-oo,+oo[) et on peut en déduire des conséquences pratiques qui correspondent à ton besoin.

Pour le 2), "Je pose f(x)= x + 1/x, et je montre qu’elle est croissante" sera très difficile à faire !! f n'est pas croissante, même sur ]0,+oo[.

Cordialement.

[Marmus1021]

D'accord merci ! Mais comment fait-on le deuxième exercice alors ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

As-tu regardé ce qui se passe pour une valeur de a₀ ?

D'autre part, la croissance de cette suite est quasi évidente, par comparaison de deux termes successifs.

Enfin, en supposant qu'elle ait une limite L, que devient a_n+1 = a_n + 1/a_n quand tu passes à la limite ?

Tout ça, tu aurais pu le voir toi-même, non ?

[Marmus1021]

Alors ce que j'avais marqué au-dessus était bon non ? Enfin pas la première partie où j'étudiais une fonction, mais celle où je suppose que la suite a une limite L et qu'alors on a l'égalité L = L + 1/L ?

[gg0]

Non, ce n'était pas vraiment bon :
* La preuve que la suite est croissante n'était pas correcte, on en a parlé
* Elle est quasi évidente avec la définition de "croissante".
* si on suppose qu'il y a une limite finie L on arrive à 1/L = 0 qui ne dit pas que L est infini ("l correspond à +infini"), mais qui est simplement une égalité fausse. On en conclut seulement que la suite n'a pas une limite finie
* Il ne reste plus alors qu'à conclure sur la limite de la suite en utilisant un théorème (ou en prouvant son affirmation)

Cordialement.