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Questions sur la convergence de suites et sur le TVI



  1. #1
    Marmus1021

    Questions sur la convergence de suites et sur le TVI


    ------

    Bonjour ! J’aurai deux questions ici, qui n’ont pas de rapport.
    La première c’est à propos du TVI.
    J’ai marqué dans mon cours : Soit f une fonction continue sur I, et a,b appartenant à I. Alors pour tout y compris entre f(a) et f(b), il existe c compris entre a et b tel que f(c)=y.
    Ma question c’était : est-ce que si je prends a = -infini et b = +infini, cela fonctionne aussi ? J’ai l’impression que oui, mais je voudrais m’assurer que le théorème fonctionne en prenant des bornes infinies.

    Deuxième question : Il s’agit d’un exercice sur les suites cette fois.
    Soit (an) telle que a0 > 0, et an+1 = an + 1/an

    Il faut trouver la limite de an

    Voila ce que je pensais faire, mais j’aimerais que vous me disiez si cela fonctionne. Je pose f(x)= x + 1/x, et je montre qu’elle est croissante.
    Ensuite je vois que a1 < a2, donc (an) est croissante.
    Ensuite je cherche à montrer qu’elle n’est pas convergente. Pour cela je suppose par l’absurde qu’elle converge. Donc (an+1) converge aussi. En appelant l la limite, on a donc l’egalite l = l + 1/l, soit 1/l = 0. Donc l correspond à +infini. Cela contredit l’hypothese de départ selon laquelle l est finie.
    Donc la limite recherchée est +infini.

    Bon ça me parait bizarre, il doit y avoir des erreurs

    -----

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  3. #2
    jacknicklaus

    Re : Questions sur la convergence de suites et sur le TVI

    Pour le 1), prends f(x) = x²

    Quelle signification donner à f(-oo) ? à f(+oo) ? Et même si tu utilises la notion de limite (hors de ton programme, je pense) ce qui pourrait donner un sens à
    f(-oo) = +oo et f(+oo) = +oo, quelle signification donner à "pour tout y compris entre +oo et + oo" ???


    pour le 2) prends f(x) = x/2. f est croissante. Mais la suite a0 = 1 et an+1 = f(an) est décroissante (1, 1/2, 1/4, ...)
    Dernière modification par jacknicklaus ; 30/11/2020 à 22h46.
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  4. #3
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Questions sur la convergence de suites et sur le TVI

    Bonjour marmus1021.

    Pour le 1), a et b sont des nombres (pour que f(a) et f(b) aient un sens); par contre, le théorème est vrai pour I intervalle infini (I=[0,+oo[, par exemple, ou I=]-oo,+oo[) et on peut en déduire des conséquences pratiques qui correspondent à ton besoin.

    Pour le 2), "Je pose f(x)= x + 1/x, et je montre qu’elle est croissante" sera très difficile à faire !! f n'est pas croissante, même sur ]0,+oo[.

    Cordialement.

  5. #4
    Marmus1021

    Re : Questions sur la convergence de suites et sur le TVI

    D'accord merci ! Mais comment fait-on le deuxième exercice alors ?

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Questions sur la convergence de suites et sur le TVI

    As-tu regardé ce qui se passe pour une valeur de a0 ?

    D'autre part, la croissance de cette suite est quasi évidente, par comparaison de deux termes successifs.

    Enfin, en supposant qu'elle ait une limite L, que devient an+1 = an + 1/an quand tu passes à la limite ?

    Tout ça, tu aurais pu le voir toi-même, non ?

  8. #6
    Marmus1021

    Re : Questions sur la convergence de suites et sur le TVI

    Alors ce que j'avais marqué au-dessus était bon non ? Enfin pas la première partie où j'étudiais une fonction, mais celle où je suppose que la suite a une limite L et qu'alors on a l'égalité L = L + 1/L ?

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  10. #7
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Questions sur la convergence de suites et sur le TVI

    Non, ce n'était pas vraiment bon :
    * La preuve que la suite est croissante n'était pas correcte, on en a parlé
    * Elle est quasi évidente avec la définition de "croissante".
    * si on suppose qu'il y a une limite finie L on arrive à 1/L = 0 qui ne dit pas que L est infini ("l correspond à +infini"), mais qui est simplement une égalité fausse. On en conclut seulement que la suite n'a pas une limite finie
    * Il ne reste plus alors qu'à conclure sur la limite de la suite en utilisant un théorème (ou en prouvant son affirmation)

    Cordialement.

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