Calcul de probabilités 5 couleurs aléatoires dans 5 cases

[ojal2]

Bonjour,

Supposons 5 cases pouvant aléatoirement être remplies par 5 couleurs différentes.
Il y a donc 5x5x5x5x5=3.125 combinaisons possibles.

Je souhaite calculer la probabilité d'obtenir les 5 mêmes couleurs dans les 5 cases :
(1)x(1/5)x(1/5)x(1/5)x(1/5) = 1/625 Est-ce bien exact?

Je souhaite calculer la probabilité d'obtenir 5 couleurs différentes dans les 5 cases :
(1)x(4/5)x(3/5)x(2/5)x(1/5) = 24/625 Est-ce bien exact?

Je souhaite calculer la probabilité d'obtenir 2 cases d'une couleur et les 3 autres cases d'une autre couleur?
(1)x(1/5)x(4/5)x(1/5)x(1/5) = 4/625 Est-ce bien exact?

Je doute fort de mes calculs...?

Merci par avance pour votre aide
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[gg0]

Bonjour.

Pour que ce soit clair, je numérote les cases de 1 à 5.
A chaque remplissage, j'associe la liste des 5 couleurs dans l'ordre des cases. Il y a 5^5=3125 5-listes possibles, équiprobables ("aléatoirement').
Un remplissage avec une seule couleur est défini par sa couleur. Il y a 5 couleurs, donc la probabilité d'avoir aléatoirement un remplissage unicolore est 5/3125 = 1/625.
Un remplissage est une liste, un remplissage par des couleurs différentes est donc un arrangement (liste sans répétition). Il y a 5*4*3*2*1 = 120 arrangements possibles, donc un remplissage par 5 couleurs différente a pour probabilité 120/3125=24/625.
Pour avoir 2 cases d'une couleur et 3 de l'autre, il faut choisir une première couleur (5 choix), puis à chaque fois, les deux cases où on met cette couleur 5*4/2 (divisé par 2 car il n'y a pas d'ordre : case 5 et case 2 c'est la même chose que case 2 et case 5), et enfin choisir la deuxième couleur (pas de choix pour les cases, on remplit les 3 qui restent). Donc 5*(5*4/2)*4 = 200. Probabilité que ça arrive : 200/3125 = 8/125.

Ta façon de faire a fonctionné au début car on remplit les cases successivement. Pas la dernière fois, ce qui fait que tu dois te méfier de tes calculs. Si tu peux les justifier par des règles adaptées (pour moi, vu qu'il y a équiprobabilité, nb de cas favorables / nb de cas possibles), pas de problème.
Saurais tu justifier ton calcul du deuxième cas (24/625) par des théorèmes de probas ?
En tout cas, les probas demandent une bonne réflexion. Des tas de questions simples sont en fait très difficiles.

Cordialement.

[jacknicklaus]

1 et 2 sont corrects. Ton 3ème calcul est faux, et tu as une façon bizarre de calculer.
Il faut commencer (ce que tu as fait) par calculer le nombre total de cas possibles. Soit 5^5 = 3125

puis pour chaque exercice, calculer le nombre de cas favorables. Pour le 1 c'est 5. La probabilité est le rapport des 2 nombre soit 1/625


Pour le trois, il faut commencer par dénombrer le nbre de façons de choisir 2 cases parmi 5
puis le nombre de facons de choisir 3 cases parmi les 5-2 = 3 cases restantes. (Bon ca fait 1)
puis le nombre de facons de colorier d'une seule couleur 2 cases
puis le nombre de facons de colorier d'une seule couleur différente les 3 cases restantes.

[edit]

grillé par gg0...

[ojal2]

Merci pour vos réponses

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