Le produit scalaire

[Martin2301]

Tout d’abord bonjour, ma question peut sembler stupide, mais pourquoi le cosinus dans le produit scalaire?
J’ai compris que ça permettait de calculer la composante du vecteur (1 ou 2) colinéaires au vecteur (1 ou 2), mais pourquoi?
Pourquoi faut-il des “vecteurs” colinéaires?
Pourquoi on n’utilise pas le sinus, la tangente,…?
Pourquoi retrouve t-on le produit scalaire dans les formules les plus importantes de la physique même si celles-ci n’ont aucun lien avec le travail d’une force?
Et j’ai les mêmes questions pour le produit vectoriel.
Ces questions m’auront fait (et me font toujours) travailler les méninges.
Merci pour vos réponses
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[Archi3]

Tout d’abord bonjour, ma question peut sembler stupide, mais pourquoi le cosinus dans le produit scalaire?
J’ai compris que ça permettait de calculer la composante du vecteur (1 ou 2) colinéaires au vecteur (1 ou 2), mais pourquoi?
Pourquoi faut-il des “vecteurs” colinéaires?
Pourquoi on n’utilise pas le sinus, la tangente,…?

si tu traces le cercle trigonométrique qui décrit ce qu'on appelle "sinus" et "cosinus", tu constates que le cosinus est bien la projection d'un vecteur unitaire sur l'axe des abscisses. C'est sa définition en quelque sorte. Il est donc normal qu'il intervienne dans le produit scalaire, puisque le produit scalaire décrit la même chose : la projection d'un vecteur sur un autre (on multiplie aussi par la norme des vecteurs quand ce ne sont pas des vecteurs unitaires).

Le produit vectoriel lui sert entre autres à calculer l'aire d'un parallélogramme qui est aussi le produit de la base par la hauteur, laquelle est la la projection du 2e vecteur sur la normale au premier vecteur : c'est la définition du sinus (projection d'un vecteur unitaire sur le vecteur unitaire normal) . donc la aussi c'est normal qu'on trouve le sinus dans son expression.

Pourquoi retrouve t-on le produit scalaire dans les formules les plus importantes de la physique même si celles-ci n’ont aucun lien avec le travail d’une force?

si tu prends les composantes de deux vecteurs (Ax, Ay, Az), et (Bx, By, Bz), elles vont dépendre du repère utilisé. Mais la seule façon de construire un nombre qui ne dépend pas du repère et qui dépend "linéairement" de A et de B (donc par exemple qui double si tu doubles les composantes de A), c'est le produit scalaire. D'où le fait qu'il intervient aussi souvent en physique : chaque fois qu'il faut construire un "nombre" à partir de deux vecteurs, on aura un produit scalaire. C'est en particulier le cas du travail à partir de la force et du déplacement, mais pas seulement.

[Martin2301]

Bonjour, d’accord merci, mais pourquoi avec le produit vectoriel on obtient un vecteur alors qu’avec le produit scalaire on obtient un nombre?
Et en faisant la projection d’un vecteur sur un autre on perd des informations du vecteur projeté non?

[Martin2301]

Bonjour, d’accord merci, mais pourquoi avec le produit vectoriel on obtient un vecteur alors qu’avec le produit scalaire on obtient un nombre?
Et en faisant la projection d’un vecteur sur un autre on perd des informations du vecteur projeté non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Archi3]

Bonjour, d’accord merci, mais pourquoi avec le produit vectoriel on obtient un vecteur alors qu’avec le produit scalaire on obtient un nombre?
Et en faisant la projection d’un vecteur sur un autre on perd des informations du vecteur projeté non?

il faut aller un peu plus loin dans la théorie pour comprendre .... en fait un produit vectoriel n'est pas un vecteur mais un "pseudo vecteur" (il se change en l'opposé de son symétrique par une symétrie par un plan), mais en fait c'est plutot un tenseur antisymétrique (une matrice dont les éléments non diagonaux sont antisymétriques et les éléments diagonaux sont nuls). En dimension 3 les matrices antisymétriques sont de dimension aussi 3 (3 éléments non diagonaux libres et le reste complété par antisymétrie), et donc peuvent être associées des vecteurs. En fait le produit vectoriel est un vecteur surface construit sur les deux vecteurs de bases A et B, et son sens dépend de l'orientation relative de A et de B, contrairement au produit scalaire.

[Martin2301]

Ok merci (un peu compliqué pour moi je vais me renseigner), et je comprends pas, dans le produit scalaire si le but c’est d’obtenir un scalaire, pourquoi on multiplie pas tout simplement la norme des vecteurs pourquoi on rajoute un cosinus (j’ai bien compris le cercle trigo mais c’est le lien avec le produit scalaire qui me pose problème)?

[gg0]

Bonjour.

Le produit des normes sert parfois, mais on n'a pas besoin de donner un nom. Par contre, le produit scalaire est apparu spontanément comme outil, son lien avec la perpendicularité est fondamental, son expression avec les coordonnées est simple ;ça fait beaucoup de raisons d'en parler.
On n'a pas défini ces deux opérations par hasard, mais il faut beaucoup de maths pour voir toute leur utilité.

Cordialement.

[Archi3]

Ok merci (un peu compliqué pour moi je vais me renseigner), et je comprends pas, dans le produit scalaire si le but c’est d’obtenir un scalaire, pourquoi on multiplie pas tout simplement la norme des vecteurs pourquoi on rajoute un cosinus (j’ai bien compris le cercle trigo mais c’est le lien avec le produit scalaire qui me pose problème)?

on pourrait définir ça, mais ce n'est pas bilinéaire (f(A+A',B) = f(A,B)+f(A',B)), donc ça ne correspond pas à une action "additive" : par exemple si le travail était simplement ||f||.||OM|| , alors le travail de la somme de deux forces ne serait pas la somme des travaux, car ||f+f'||≠ ||f||+||f'||. De même le travail total après deux déplacements successifs ne serait pas la somme des travaux de chaque déplacement ...Il n'y a que le produit scalaire qui a cette bonne propriété "d'additivité".

[Martin2301]

Bonsoir, d’accord merci, mais du coup comment leur ai venu l’idée de multiplier les normes avec le cosinus de l’angle?

[Martin2301]

En physique je comprends mieux, la composante perpendiculaire au vecteur 1 ou 2 ne travaille pas et n’est donc pas utile dans le calcul du travail alors que la composante colinéaire (calculé avec le cosinus) travaille (et c’est la seule).

[albanxiii]

Message #9 :

Bonsoir, d’accord merci, mais du coup comment leur ai venu l’idée de multiplier les normes avec le cosinus de l’angle?

Message #7 :

Bonjour.

Le produit des normes sert parfois, mais on n'a pas besoin de donner un nom. Par contre, le produit scalaire est apparu spontanément comme outil, son lien avec la perpendicularité est fondamental, son expression avec les coordonnées est simple ;ça fait beaucoup de raisons d'en parler.
On n'a pas défini ces deux opérations par hasard, mais il faut beaucoup de maths pour voir toute leur utilité.

Cordialement.

D'où l'utilité de lire les réponses qui sont faites.

A moins que vous ne vouliez plus de détails sur la seconde partie de la réponse.

[Martin2301]

Bonjour, j’aimerais avoir des détails sur la seconde partie, car justement je ne vois pas comment un outil peut apparaître spontanément sans démonstration.

[gg0]

Le produit scalaire est apparu dans le calcul du travail d'une force, alors même que la notion de vecteur n'était pas encore clarifiée. C'est le développement de la notion de vecteur qui a simplifié le travail et unifié différentes pratiques.
La suite est de l'histoire des sciences, et dépasse le champ d'un forum de maths.

Cordialement

[Martin2301]

D’accord merci à tous, je vais plus me renseigner.
Mais il se peut que je revienne vers vous