Divisibilité dans Z

**Jhonny2** · 30/09/2024, 10h56

Bonsoir...
Bon voila il s'agit de trouver les entier relatif n tels que: n(5n+8)/2n-1 soit un nombre entier relatif.
J'ai fait la division euclidienne et j'ai obtenu un reste de n²+10n et je suis bloqué .
Comment faire ?

**ThM55** · 30/09/2024, 12h13

Bonjour, faut-il lire cela comme $\text{[math]}$ ?

**gg0** · 30/09/2024, 13h15

Bonjour.

La division n'est pas terminée ...

Cordialement.

**danyvio** · 09/10/2024, 19h04

Envoyé par Jhonny2

Bonsoir...
Bon voila il s'agit de trouver les entier relatif n tels que: n(5n+8)/2n-1 soit un nombre entier relatif.
J'ai fait la division euclidienne et j'ai obtenu un reste de n²+10n et je suis bloqué .
Comment faire ?

Je suis intéressé par la solution... Merci !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**epiKx** · 10/10/2024, 20h35

Bonjour,
Attention: si la formulation du problème de ThM55 est la bonne, on ne peut en toute rigueur pas parler de reste puisque la quantité $\text{[math]}$ doit être positive et inférieure à la valeur absolue du diviseur pour avoir l'unicité.
P.S: J'ai résolu le problème (version ThM55) de 2 façons différentes mais je ne vais pas poster la solution de suite pour laisser chercher l'auteur du post. Je ne suis pas sûr que ce que j'ai fait soit juste non plus... Ça m'a l'air dur pour du niveau lycée...
Un reste est positif aussi!

**gg0** · 11/10/2024, 10h56

Bonjour EpiKx.

Je ne vois pas de solution avec le niveau lycée. Je n'ai pas compris pourquoi tu veux imposer à n²+10n d'être positif, n est un entier relatif, et par exemple n=-1 est une solution mais (-1)²+5*(-1)<0.

Cordialement.

NB : "pour laisser chercher l'auteur du post" Il a renoncé depuis longtemps, il n'est même pas venu répondre au premier message. Je soupçonne qu'il poste sur plusieurs forums.

**epiKx** · 11/10/2024, 11h06

Ok gg0 merci, dans ce cas je vais exposer ma démarche et vous me direz si vous voyez une erreur...
Je vais également vous répondre sur la division euclidienne.

**epiKx** · 11/10/2024, 11h44

Je vais d'abord vous répondre sur le "reste" $\text{[math]}$
Vous me dites que pour $\text{[math]}$ , on a une solution du problème de départ. Oui, effectivement pour $\text{[math]}$ , on a:
$\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$
Ensuite vous me dites qu'un reste peut très bien être strictement négatif. Ecrivons donc cette division:
$\text{[math]}$
Si je prends $\text{[math]}$ alors:
$\text{[math]}$
Ce qu'on dit c'est donc: $\text{[math]}$ est le reste dans la division euclidienne de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$
Mais la division en question est naturelle: on devrait écrire plutôt $\text{[math]}$ et voilà!
Donc $\text{[math]}$ n'est pas le "reste" dans la division euclidienne de $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ .

**gg0** · 11/10/2024, 12h16

Oui, c'est ce que je disais au message #3. la division n'est pas terminée car 10 n se divise encore par 2n-1.
Cependant, comme en fait, on parle de polynômes à coefficients entiers relatifs, le fait que le reste soit positif pourrait ne pas avoir de sens. Un "reste" comme n+1 n'est ni positif, ni négatif.

Cordialement.

**epiKx** · 11/10/2024, 12h34

Rebonjour,
Pour moi, c'est la notion même de division qui pose problème: on pourrait parler du reste si on écrivait bien l'égalité de la division euclidienne quelle que soit la valeur de n, ce qui n'est pas le cas...
Cordialement

**epiKx** · 11/10/2024, 15h35

Alors venons-en au fait:
Résultat préliminaire:
$\text{[math]}$

Démonstration

Cliquez pour afficher

Alors: pour $\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$

Démonstration

Cliquez pour afficher

La réciproque est évidente.

Conclusion: on veut trouver les $\text{[math]}$ tels que: $\text{[math]}$

Méthode 1:
Soit $\text{[math]}$
On remarque que:

$\text{[math]}$
On divise par $\text{[math]}$ :

$\text{[math]}$
Donc:

$\text{[math]}$
La dernière équivalence est justifiée par le fait que 21 n'a que des diviseurs impairs: $\text{[math]}$

On obtient donc pour $\text{[math]}$ 8 solutions:
$\text{[math]}$

**epiKx** · 11/10/2024, 15h50

Méthode 2:

On écrit:

$\text{[math]}$

On montre ensuite que pour $\text{[math]}$ grand:

$\text{[math]}$

donc:

$\text{[math]}$

(Ne pas oublier le cas $\text{[math]}$ )

On montre ainsi que $\text{[math]}$

On trouve ainsi toutes les solutions:

$\text{[math]}$

**epiKx** · 11/10/2024, 15h59

Variante

$\text{[math]}$

Or:

$\text{[math]}$

Donc:

$\text{[math]}$ divise $\text{[math]}$
Et on conclut de la même manière.

**gg0** · 11/10/2024, 17h18

Bravo !..........................

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