Divisibilité dans Z
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Divisibilité dans Z



  1. #1
    Jhonny2

    Divisibilité dans Z


    ------

    Bonsoir...
    Bon voila il s'agit de trouver les entier relatif n tels que: n(5n+8)/2n-1 soit un nombre entier relatif.
    J'ai fait la division euclidienne et j'ai obtenu un reste de n²+10n et je suis bloqué .
    Comment faire ?

    -----

  2. #2
    ThM55

    Re : Divisibilité dans Z

    Bonjour, faut-il lire cela comme ?

  3. #3
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Divisibilité dans Z

    Bonjour.

    La division n'est pas terminée ...

    Cordialement.

  4. #4
    danyvio

    Re : Divisibilité dans Z

    Citation Envoyé par Jhonny2 Voir le message
    Bonsoir...
    Bon voila il s'agit de trouver les entier relatif n tels que: n(5n+8)/2n-1 soit un nombre entier relatif.
    J'ai fait la division euclidienne et j'ai obtenu un reste de n²+10n et je suis bloqué .
    Comment faire ?
    Je suis intéressé par la solution... Merci !
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    epiKx

    Re : Divisibilité dans Z

    Bonjour,
    Attention: si la formulation du problème de ThM55 est la bonne, on ne peut en toute rigueur pas parler de reste puisque la quantité doit être positive et inférieure à la valeur absolue du diviseur pour avoir l'unicité.
    P.S: J'ai résolu le problème (version ThM55) de 2 façons différentes mais je ne vais pas poster la solution de suite pour laisser chercher l'auteur du post. Je ne suis pas sûr que ce que j'ai fait soit juste non plus... Ça m'a l'air dur pour du niveau lycée...
    Un reste est positif aussi!
    Dernière modification par epiKx ; 10/10/2024 à 20h38.

  7. #6
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Divisibilité dans Z

    Bonjour EpiKx.

    Je ne vois pas de solution avec le niveau lycée. Je n'ai pas compris pourquoi tu veux imposer à n²+10n d'être positif, n est un entier relatif, et par exemple n=-1 est une solution mais (-1)²+5*(-1)<0.

    Cordialement.

    NB : "pour laisser chercher l'auteur du post" Il a renoncé depuis longtemps, il n'est même pas venu répondre au premier message. Je soupçonne qu'il poste sur plusieurs forums.

  8. #7
    epiKx

    Re : Divisibilité dans Z

    Ok gg0 merci, dans ce cas je vais exposer ma démarche et vous me direz si vous voyez une erreur...
    Je vais également vous répondre sur la division euclidienne.

  9. #8
    epiKx

    Re : Divisibilité dans Z

    Je vais d'abord vous répondre sur le "reste"
    Vous me dites que pour , on a une solution du problème de départ. Oui, effectivement pour , on a:
    divise
    Ensuite vous me dites qu'un reste peut très bien être strictement négatif. Ecrivons donc cette division:

    Si je prends alors:

    Ce qu'on dit c'est donc: est le reste dans la division euclidienne de par
    Mais la division en question est naturelle: on devrait écrire plutôt et voilà!
    Donc n'est pas le "reste" dans la division euclidienne de par .
    Dernière modification par epiKx ; 11/10/2024 à 11h47.

  10. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Divisibilité dans Z

    Oui, c'est ce que je disais au message #3. la division n'est pas terminée car 10 n se divise encore par 2n-1.
    Cependant, comme en fait, on parle de polynômes à coefficients entiers relatifs, le fait que le reste soit positif pourrait ne pas avoir de sens. Un "reste" comme n+1 n'est ni positif, ni négatif.

    Cordialement.

  11. #10
    epiKx

    Re : Divisibilité dans Z

    Rebonjour,
    Pour moi, c'est la notion même de division qui pose problème: on pourrait parler du reste si on écrivait bien l'égalité de la division euclidienne quelle que soit la valeur de n, ce qui n'est pas le cas...
    Cordialement

  12. #11
    epiKx

    Re : Divisibilité dans Z

    Alors venons-en au fait:
    Résultat préliminaire:


    Démonstration

     Cliquez pour afficher


    Alors: pour ,



    Démonstration

     Cliquez pour afficher


    La réciproque est évidente.

    Conclusion: on veut trouver les tels que:

    Méthode 1:
    Soit
    On remarque que:


    On divise par :


    Donc:


    La dernière équivalence est justifiée par le fait que 21 n'a que des diviseurs impairs:

    On obtient donc pour 8 solutions:

  13. #12
    epiKx

    Re : Divisibilité dans Z

    Méthode 2:

    On écrit:



    On montre ensuite que pour grand:



    donc:



    (Ne pas oublier le cas )

    On montre ainsi que

    On trouve ainsi toutes les solutions:


  14. #13
    epiKx

    Re : Divisibilité dans Z

    Variante



    Or:



    Donc:

    divise
    Et on conclut de la même manière.
    Dernière modification par epiKx ; 11/10/2024 à 16h01.

  15. #14
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : Divisibilité dans Z

    Bravo !..........................

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