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Les barycentres



  1. #1
    Tite So'

    Les barycentres


    ------

    Bonjour !

    J'ai un devoir de math pour dans 1 petite semaine, je galère vraiment et dés le début de l'année ça le fait pas alors je suis là pour vous demandez votre aide.

    Exercice 2:
    Soit ABCD un tétrèdre: on nomme I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD]. Faire la figure.

    Soit G le barycentre des 4 points pndérés (A;1), (B;2), (C;1), (D;2).

    1. Soit K = bar {(A;1), (B;2)} et L = bar {(C;1), (D;2)}. Construire K et L et les placer sur la figure. Démontrer que G est le milieu de [KL]. Construire G.

    2. Démontrer que les points I, J, G sont alignés et préciser la position du point G à l'aide d'une relation vectorielle.



    J'ai déjà commencé la question 1 mais je ne sais pas si c'est juste.
    1. Pour construire les points K et L, j'ai utilisé la relation de Chasles:
    KA + 2KB = 0
    KA + 2KA + 2AB = 0
    3KA + 2AB = 0
    AK = 2/3 AB

    LC + 2LC = 0
    LC + 2 LC + 2CD = 0
    3LC + 2 CD = 0
    CL = 2/3 CD
    Quelqu'un peut me dire si c'est juste ?

    Ensuite pour le 2. je ne sais pas comment faire pour démontrer que G est le milieu de [KL] et que 3 points sont alignés ? J'ai essayé de regarder dans mon livre vu que l'on a pas encore fait de cours la dessus, mais en vain !

    -----

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  3. #2
    Jeanpaul

    Re : Les barycentres

    Ce que tu as fait est juste.
    Dans ton cours, tu as dû apprendre qu'on peut construire un barycentre de 4 points en groupant les points 2 par 2. C'est d'ailleurs ce que te propose l'exo en groupant A et B d'une part et C et D d'autre part.
    G est donc le barycentre de K et L affectés des poids ...

    Tu peux ensuite regrouper autrement : A et C d'une part et B et D d'autre part. G est alors le barycentre de I et J affectés des poids ...

    Pour démontrer que 3 points sont alignés, il suffit de prouver qu'un des points est le barycentre des 2 autres affecté des poids qui vont bien.

  4. #3
    Tite So'

    Re : Les barycentres

    Soit S = {(A;1) , (B;2) , (C;1) , (D;2)}
    1 + 2 + 1 + 2 n'est pas égale à 0, donc S admet un barycentre G.
    On peut poser:
    K = bar {(A;1) , (B;2)} et L = bar {(C;1) , (D;2)}
    G = bar {(A;1) , (B;2) , (C;1) , (D;2)}
    G = bar {(K;3) , (L;3)}
    G = bar {(K;1) , (L;1)}
    Donc G est l'isobarycentre de K et L, or l'isobarycentre de 2 points est le milieu du segment.
    C'est juste ?

    Ensuite pour la question 2. je vois pas comment faire ! Je sais qu'il faut utilisé le théorème d'associativité mais je vois pas comment...

  5. #4
    Jeanpaul

    Re : Les barycentres

    OK
    Ne te reste plus qu'à faire exactement le même calcul en utilisant I et J au lieu de K et L.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Tite So'

    Re : Les barycentres

    Je ne comprends pas comment je dois m'y prendre car pour le 1. j'avais les coordonnées de K et L, je pouvais donc faire le calcul mais pour les points I et J, je n'ai rien.

  8. #6
    Jeanpaul

    Re : Les barycentres

    Citation Envoyé par Tite So' Voir le message
    Je ne comprends pas comment je dois m'y prendre car pour le 1. j'avais les coordonnées de K et L, je pouvais donc faire le calcul mais pour les points I et J, je n'ai rien.
    Si tu sais que I est le milieu de AC, c'est que I est le barycentre de A et C affectés des poids 1 et 1. C'est exactement comme pour le début mais les lettres et les poids changent, c'est tout.

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  10. #7
    Tite So'

    Re : Les barycentres

    On regroupe les points (A;1) et (C;1) dont le barycentre de ces points est le milieu I de [AC]. De même pour les points (B;2) et (D;2) dont le barycentres est le milieu J de [BD]

    D'après le théorème d'associativité G = bar {(I;2) , (J;4)}. Alors I, J, G sont alignés et vérifie cela:
    GI + 2GJ = 0
    GI + 2GI + 2IJ = 0
    3GI + 2IJ = 0
    3GI = -2IJ
    IG = 2/3 IJ

    C'est ça ? Si oui, est ce que la redaction est bonne ?!

  11. #8
    Jeanpaul

    Re : Les barycentres

    Ca a l'air bon, peut être préciser que c'est le même point G que dans la première partie, faut voir...

  12. #9
    Tite So'

    Re : Les barycentres

    Okay, je le préciserai ! Merci beaucoup de m'avoir aider mister !

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