demonstration derive

[invite95707521]

Bonjour (ou bonsoir) J'ai un probleme avec non un exos mais une demonstration . La demonstration est celle de la derivee d'une fonction derivée
On dit u est derivable sur I ( j'ai suppose u(x)=x² donc I=R ) et j est dervable sur J ( v(x)= rac(x) donc J=R*+)On suppose que u(x)appartient a J donc R+* )
Donc g°u est derivable sur I or (g°u)'= 2x*(1/2rac(x²)) or g°u n'est pas derivable derivable en 0

Je sais pas si je suis clair merci de votre aide si vous y arriver
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[invitedbff73f8]

bonjour
As-tu essayé de faire un calcul de limite de (gou)' ?

[invite95707521]

oui

(g0u)'=u'(x)*g'[u(x)]

[nissart7831]

Un théorème te dit :

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et g une fonction dérivable sur un intervalle ouvert contenant u(I), la fonction composée gou est dérivable sur I et l'on a : (gou)'=(g'ou)u'

Ton I c'est , u(I) c'est .
Mais g est dérivable sur qui ne contient pas u(I), donc on ne peut pas appliquer le théorème.

Alors restreignons I. Prenons I = qui est bien un ouvert comme union de deux ouverts, alors u(I) = et ainsi le théorème peut s'appliquer. On en conclut donc que gou est dérivable sur I qui est et non .
Donc gou ne risque pas d'être dérivable en 0, puisque même pas u y est dérivable (il a fallu l'exclure pour pouvoir appliquer le théorème).

J'espère que c'est clair.

[A voir en vidéo sur Futura]