racine de 2

[invitedb60b95d]

C'est sans doute se prendre un peu le chou, mais ce problème montre la difficulté qu'on peut avoir à appréhender les maths.
Si j'ai bien compris, effectivement, on ne peut pas écrire rac(2) en base 10, mais cependant, si l'on considère que R est une droite, le point rac(2) en fait partie. Ce n'est pas qu'une vue de l'esprit: à 1,414 vous êtes avant rac(2), à 1,415 vous êtes après, vous l'avez dépassé. Et on peut affiner indéfiniment la précision.
Mais c'est vrai pour n'importe quel point: on peut être infiniment près de 1, de 18 ou de 14,58.
Donc le point rac(2) existe, donc la longueur de 0 à ce point peut être utilisée comme unité de mesure, par exemple, et effectivement, ce sont nos nombres entiers habituels qui deviennent impossibles à écrire.
C'est bien ça, Lambda0?
Encore merci pour ta clarté!
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[invite47e51e9d]

je vois que ce n'est pas une si grande évidence cette histoire!
est-il possible de faire de la géométrie avec des "mesures" issue d'une arithmétique d'une autre base que 1 (oula je suis pas convaincu d'avoir employé les bons termes!).
il faudrait fabriquer des instruments de mesure autres que nos bons vieux mètres?
et comment les fabriquer?

[Quinto]

Un peu comme lorsque l'on divise par 0, alors on ne peut pas, mais la limite est à l'infini, comme si cela nous montrai que notre univers est infini, et que en dehors de l'infini on peut diviser par zero.
Et si on peut diviser par zero en dehors de l'univers je me demande bien quel serait le résultat

Ca ca ne veut rien dire du tout.
Mais absolument rien....

la division par 0 n'existe pas.

Comme je l'ai déjà dit dans un autre fil d'ailleurs, la division n'est pas une vraie opération au sens mathématique du terme et a/b lorsque a et b sont des réels est un abus d'écriture fréquemment utilisé dans ce que l'on appelle des "anneaux commutatifs".

Il se trouve que "diviser" tel qu'on le fait habituellement, est en fait la multiplication par l'inverse. a/b est en fait l'expression de a*(b^(-1)) avec b^(-1) l'unique nombre tel que bb^(-1)=b^(-1)b=1
Si on pouvait diviser par 0, alors celà voudrait dire que l'on pourrait multiplier par l'inverse de 0.
Si 0 avait un inverse, alors il existerait un nombre x tel que 0x=x0=1
or 0 est un nombre que l'on dit absorbant, celà veut dire que pour tout x, 0x=x0=0
Donc la seule possibilité de diviser par 0 serait d'étre dans un ensemble tel que 0=1.

Il faut faire attention au passage à la limite, car ce qui est intuitif y est très souvent faux, et fait appelle à ce que l'on appelle la topologie et en plus l'intuition à laquelle vous faite appelle est celle de l'analyse dans R, qui est un ensemble très particulier, tandis ce que la division par 0 n'existe absolument nul part, sauf dans les endroits où 0=1, et y'en a pas des masses des endroits pareil...

[Quinto]

Casse cailloux:

Si tu peux écrire racine de 2 en base 10.
L'idée est seulement qu'il faudrait une infinité de termes pour l'écrire.

Il y'a un truc tout aussi fascinant:

On trace un trait [A,B]
Ce trait à une longueur finie, pourtant il passe par une quantité infinie de points .... tous ceux que l'on veut et qui sont entre A et B...

[invite47e51e9d]

ca voudrait dire qu'il existe un infiniment petit?
là les maths s'avancent un peu non?

[Antikhippe]

Il y'a un truc tout aussi fascinant

Si on veut aller encore plus loin à ce sujet, il y a un paradoxe qui dit que sqrt(2)=1.

[invitebb921944]

Il n'y a pas de paradoxe tel que racine(2)=1, c'est simplement une erreur de calcul.

[invite48d4167a]

Si on veut aller encore plus loin à ce sujet, il y a un paradoxe qui dit que sqrt(2)=1.

tu peut me dire ou tu a vu ca

[invite47e51e9d]

jviens de lire un pti texte sympa dites moi ce qu'il vous inspire:
V(2) cé racine de 2 évidemment..

si V(2) existe alors V(2) = p/q
p et q ne sont pas pairs (car p/q est supposée irréductible)
V(2) x V(2) ca équivaut à (p/q) x (p/q)
V(2) x V(2) = 2 et (p/q) x (p/q) = p²/q²
donc 2 = p²/q² puis 2q² = p²
donc p est pair non?
(p/2) x (p/2) = p²/4
or p² = 2q² donc q est aussi pair

p et q sont pairs...

bon pour résoudre ca faut surement s'y connaitre un minimum alors je vais laisser faire les experts..

[zoup1]

La conclusion de ce calcul est que racine de 2 est irrationnel ; c'est à dire qu'on ne peut pas l'écrire comme le rapport entre 2 entiers...

2 appartient à R, c'est un nombre (un vrai) mais n'appartient pas à Q, on ne peut pas l'ecrire comme le rapport de 2 entiers.
La conséquence est qu'il n'y pas de périodicité dans la séquence de chiffres qui permettent de l'écrire et cela quelquesoit la base employé... Je parle de bases basées sur des entiers, le reste je ne sais pas ce que cela veut dire !!!

[invite48d4167a]

jviens de lire un pti texte sympa dites moi ce qu'il vous inspire:
V(2) cé racine de 2 évidemment..

si V(2) existe alors V(2) = p/q
p et q ne sont pas pairs (car p/q est supposée irréductible)
V(2) x V(2) ca équivaut à (p/q) x (p/q)
V(2) x V(2) = 2 et (p/q) x (p/q) = p²/q²
donc 2 = p²/q² puis 2q² = p²
donc p est pair non?
(p/2) x (p/2) = p²/4
or p² = 2q² donc q est aussi pair

p et q sont pairs...

bon pour résoudre ca faut surement s'y connaitre un minimum alors je vais laisser faire les experts..

oui c est le debute de la demostration que racine (2) n appartient pas a Q, comme beaucoup de nombre intersant(pi et nombre d or par exemple)

[invite48d4167a]

si le nombre racine(2) vous cause des probleme comme ca car il n est pas dans Q et on peut pas le calculer exactement alors que pensez vous du nombre complexe imaginaire pure et on doit admettre que i²=-1
de plus il n a pas de signe ni positif ni negatif
et e^i2Pi=1

[invite0a3b5a7a]

ah oué ok, donc en fait les endroits où 0=1 c'est en dehors de l'univers !!!

super intuition ganash,reste plus qu'à ce que tu le démontre.


c'est vraiment trop cool ce forum c marrant ici

[Antikhippe]

J'ai écrit une étourderie : je voulais écrire que le paradoxe disait que sqrt(2)=2, mais c'est difficile à expliquer comme ça.

[invitea0046ad4]

Hem! que de confusion. Dans le message #4, je ne parlais pas seulement de changement de base. C'est un peu plus subtil.
Je développe un peu.

Tout le problème vient du fait qu'on cherche absolument à représenter Racine(2) en utilisant un système de numération de position, c'est à dire en écrivant des symboles ordonnés, que ce soit en base 10 ou dans une autre.
C'est cette représentation qui est arbitraire, pas seulement la base de numération utilisée. Noter qu'il existe quand même des systèmes de numération à base irrationnelle (c'est même un sujet de recherche).

On peut représenter, par définition, tous les nombres algébriques sous la forme d'un "vecteur" de nombres entiers (les coefficients d'une équation polynomiale) et d'un intervalle à bornes rationnelles pour discriminer les racines multiples.
Il existe des algorithmes permettant de manipuler cette représentation,de faire des additions, soustractions, etc... sans jamais repasser par des expressions en numération de position.
Cette représentation est plus complexe à manipuler (pour nous, pas nécessairement pour des systèmes de calcul automatique) mais n'est ni plus ni moins "naturelle" que la numération de position.
Racine(2) est la racine de l'équation x^2-2=0, comprise entre 1 et 2.
Donc (1,2,-2,0,1), par exemple, est une représentation licite, complète, non ambigue de Racine(2).
Ecrire 1.414213... revient simplement à passer d'une représentation arbitraire à une autre représentation arbitraire.
Etant donné que la représentation décimale de position n'a pas d'interprétation géométrique particulière, il n'y a pas de raison que la constructibilité d'une mesure géométrique dépende de la forme particulière d'une représentation décimale et du fait qu'elle soit finie ou infinie.
D'ailleurs accessoirement, en représentation décimale de position, un nombre n'a pas nécessairement une représentation unique :
on peut démontrer que 0.99999... = 1, rigoureusement.
Donc le nombre "1" a 2 représentations en décimal, dont une infinie !

Le simple fait d'exprimer un nombre en écrivant des symboles ordonnés ("chiffres") dont la "puissance" dépend de la position est une convention arbitraire dont nous n'avons pas conscience parce qu'elle est "gravée" dans notre esprit dès le plus jeune âge.
Celà n'a d'ailleurs pas toujours été la seule : on utilise bien toujours les chiffres romains, dont l'arrangement obéit à des règles différentes, et il a existé des systèmes de numérations très différents.

L'arithmétique de la représentation des nombres est un sujet de recherche très actif car celà à une incidence importante en modélisation et en calcul numérique. Suffisamment importante pour faire exploser une fusée, s'effondrer un pont, ... ou fausser une théorie physique utilisant massivement des calculs sur des nombres réels : on remplirait des wagons avec les articles sur le chaos, les attracteurs étranges, les fractales, etc. basés sur des expérimentations sommaires sur un simple PC, dont les résultats dépendent de façon cachée d'une représentation particulière des nombres réels, indépendamment de la précision.

[Quinto]

L'endroit où 0=1 c'est par exemple ce que l'on appelle l'anneau trivial.

Ici il n'est question que de R (donc de C) et évidemment cette égalité n'a absolument aucun sens.

l'égalité donnée par king_ae permet de montrer que Pi est ce que l'on appelle transcendant.
C'est assez fascinant, on prend un nombre transcendant à la puissance 2iPi donc un nombre aussi transcendant et un nombre tel que son carré soit négatif et on retombe sur 1, donc un nombre tout ce qu'il y'a de plus "banal"...

[Quinto]

Lambda0:

Comment ferais tu pour écrire avec ce procédé, le nombre i?
Tu ne peux représenter que des réels en fait puisque C n'a pas d'ordre "intéressant"

Ou alors de la même manière tu écris 2n-uplets , dont un pour la partie réelle et l'autre pour la partie imaginaire? C'est pas super pratique.

C'est utilisé comme notation, ce truc avec le polynôme et son encadrement?

[invitea0046ad4]

Quinto:

...de la même façon qu'on représente les complexes à partir des réels : (partie réelle,partie imaginaire).
Les autres représentations évoquées ne sont pas nécessairement pratiques à manipuler : ce sont souvent des outils théoriques pour l'instant.
C'est pratique pour certaines applications : certaines opérations compliquées avec le système courant décimal sont plus simples dans d'autres systèmes, et réciproquement.
L'arithmétique rationnelle, par exemple, commence à être utilisée concretement dans certains codes de calcul.

[Quinto]

Salut,
est ce que ca signifie alors que les ordinateurs reflechiront un jour à la puissance du réel, et non de N?
Aujourd'hui les codes sont surtout basés sur des groupes finis, aussi grand soient ils.

[invitea0046ad4]

Quinto:

pas tout à fait. Les limites théoriques des ordinateurs tels que nous les connaissons sont connues depuis plus de 50 ans : ce sont celles de la machine de Turing. Même avec d'autres systèmes de numération, on manipule bien un nombre fini de symboles.
Le fait d'utiliser d'autres façon de compter permet surtout de résoudre certains problèmes de stabilité numérique. Exemple bateau : l'inversion d'une matrice mal conditionnée.
On utilise par exemple l'arithmétique rationnelle en géométrie car celà permet d'effectuer certaines opérations sans aucune perte de précision : l'intersection de 2 droites en utilisant la représentation virgule flottante habituelle détruit de l'information, pas en arithmétique rationnelle.

[invitebb921944]

Salut Lambda0,

Racine(2) est la racine de l'équation x^2-2=0, comprise entre 1 et 2.
Donc (1,2,-2,0,1), par exemple, est une représentation licite, complète, non ambigue de Racine(2).

Pourrais-tu m'expliquer d'ou tu sors les nombres entre parenthèses s'il te plait ?

[invite47e51e9d]

bon je sors un peu du sujet mais je me suis fait un pti trip sympa!
ya une distance à parcourir entre A et B
je décide de la traverser en gardant une vitesse constante
je décide aussi de fragmenter mon parcours (le segment) en une infinité de points: d'abord je vais jusk à la moitié puis juskà la moitié de la distance qu'il reste et ainsi de suite... sans m'arrété, en gardant ma vitesse.
puisqu'on considère qu'il y a une infinité de points entre 2 points, je serai condamné à courir éternellement et je n'arriverai jamais à B ?
ca me perturbe mais mathématiquement c'est juste non??
pourtant dans la réalité c'est faux
malgrès ca peut on faire confiance aux maths?

[Quinto]

les 2 premiers sont les bornes de l'intervalle, et ensuite on a les coefficients du polynôme.

Il n'est pas rare d'écrire un polynôme de degré n comme un (n+1)uplet, tout simplement parce que c'est en fait sa définition formelle...

[Quinto]

Nanor: C'est quoi une vitesse?

[Quinto]

Lambda0: on ne peut pas faire mieux que la machine de Turing?
Comment on le sait? La machine de Turing existe vraiment ou ce n'est qu'un ordinateur imaginaire pour l'instant?

Sinon qu'en est il des ordinateurs quantiques? Est ce un projet sérieux, et si oui, est il lui aussi bridé dans ses performances?

[invite47e51e9d]

mmm toi tu vas m'entuber!
et bien une vitesse ca exprime une distance par rapport à un certain temps..
vazy enchaine c'est ridicule ce que je viens de dire!

[invitebb921944]

les 2 premiers sont les bornes de l'intervalle, et ensuite on a les coefficients du polynôme

Et rien ne nous afforme du degré de ce polynome ?
(1,2,-2,0,1) pourrait être : -2x³ +x=0

[Quinto]

Nanor: oui c'est le but, en fait une vitesse est déjà une limite, c'est la limite du rapport x(t+h)-x(t) par h avec h une quantité de temps, lorsque h tend vers 0.
En fait c'est un nombre dérivée, et par là, c'est donc déjà une limite.

Ganash:
le degré du polynôme est forcément 2, en plus tu a lu le polynôme à l'envers...
-2 est le coefficient constant (degré 0)
0 est le coefficient du 1er degré
1 est le coefficient du 2e degré
Il n'y a pas d'autre coefficient, le polynôme est donc de degré2

[invite47e51e9d]

Nanor: oui c'est le but, en fait une vitesse est déjà une limite, c'est la limite du rapport x(t+h)-x(t) par h avec h une quantité de temps, lorsque h tend vers 0.
En fait c'est un nombre dérivée, et par là, c'est donc déjà une limite.

mais attends je vois pas où est le probleme?
si à chaque point je me remet à calculer ma prochaine distance à parcourir, un calcul instantané si tu veux (chuis super fort! ) il n'y a pas de probleme?

ca me semble tellement trivial..

[Quinto]

Et comment passes tu d'un point à une autre?(ouvrons une conversation ailleurs si tu veux continuer cette discution pour ne pas changer le sujet de départ, si tu veux)