Incomplétude et logique du premier ordre

[invité576543]

Bonjour,

Les théorèmes d'incomplétude de Gödel s'appliquent aux démonstrations utilisant uniquement la logique du premier ordre.

Ma question risquant de ne pas être clairement exprimée, je vais la poser de différentes manières, en espérant que le sens que je cherche à exprimer en sortira:

Y-a-t-il une relation entre cela et la dénombrabilité du langage mathématique?

Il y-a-t-il, ou peut-on imaginer, une extension des théorèmes d'incomplétude à la logique du second ordre (limitée à la quantification sur des parties d'ensembles dénombrables) avec un langage dont le cardinal est la puissance du continu?

(L'idée est que la logique du second ordre permet des schémas non développables de manière dénombrable, et qu'il y aurait une relation entre les limites du langage et l'incomplétude.)

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Pour encore (essayer de) préciser, mon interrogation vient de réflexions sur le message suivant:

C'est exact ; on peut noter que ce que tu appelles le principe de récurrence est en fait un schéma d'axiomes, ce qui sous-entend que l'on peut écrire tous les axiomes (au moins ceux dont on a besoin), alors qu'on ne peut faire de même pour les sous-ensembles.

Oui encore, mais on peut creuser un peu plus : même en ajoutant au langage une infinité de symboles de constantes (1 pour chaque entier), il n'est pas possible d'écrire un schéma d'axiomes qui soit équivalent à l'axiome du 2^nd ordre.

Une piste pour mieux comprendre :

Cordialement,
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[Médiat]

Bonjour,

Il y-a-t-il, ou peut-on imaginer, une extension des théorèmes d'incomplétude à la logique du second ordre (limitée à la quantification sur des parties d'ensembles dénombrables) avec un langage dont le cardinal est la puissance du continu?

Je ne suis pas, loin s'en faut, un spécialiste de la logique du 2^nd ordre, néanmoins, la limitation à des parties d'ensembles dénombrables permet d'écrire, me semble-t-il, l'arithmétique du 2^nd ordre qui ne possède qu'un seul modèle (ou : tous les modèles sont isomorphes).

Pour arriver à une vraie limitation, il faudrait envisager un nombre dénombrable de parties.
Cordialement,

[inviteafa56da9]

Bonjour,

Je ne connais rien à la logique du 2nd ordre (pour ainsi dire), mais je voudrais apporter une précision par rapport à ce que Michel a écrit. Un point important du langage mathématique, dans la preuve du théorème, est qu'il est récursivement énumérable. Donc le caractère dénombrable ne suffit pas en tout état de cause.

Amicalement.