Complexe = l’ensemble des couples de réels d’une structure de corps ?

[invite6754323456711]

Cette façon de dire les choses peut cacher une incompréhenion, alors, au cas où, je ré-écris : Un corps peut être muni de différentes valeur absolues.

Oui, j'en ai déduit la différence ne porte pas sur le corps mais sur les ajouts qui sont fait.

Patrick
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[invite6754323456711]

elles n'ont pas la même dérivée.

Si on prenait un exemple concret, à tout hasard celui-ci http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2651303

On ne s'intéresse qu'au sens mathématique de l'expression z(t). Quelle serait la différence si nous dérivions son expression duale dans IR² ?

Patrick

[invite8915d466]

dans R^2 "simple ev", il n'y a pas une dérivée mais 4, les dérivées partielles. Il n'y a pas de multiplication interne permettant de définir une dérivée. Au lieu de dire que " la fonction n'est pas la même", je dirai plutot que la multiplication permettant de définir IC permet aussi de définir une dérivée par rapport à la variable complexe sur les fonction de IR^2 dans IR^2. C'est évidemment la multiplication complexe qui lui donne toutes ses propriétés intéressantes.

[invite6754323456711]

dans R^2 "simple ev", il n'y a pas une dérivée mais 4, les dérivées partielles. Il n'y a pas de multiplication interne permettant de définir une dérivée. Au lieu de dire que " la fonction n'est pas la même", je dirai plutot que la multiplication permettant de définir IC permet aussi de définir une dérivée par rapport à la variable complexe sur les fonction de IR^2 dans IR^2. C'est évidemment la multiplication complexe qui lui donne toutes ses propriétés intéressantes.

Peut on aussi l'exprimer ainsi :

Soit f une fonction de IC ---> IC dérivable. La dérivée et la dérivée partielle sont identiques dans IC puisqu'elle ne dépend que d'une variable (z complexe) ?



Soit f la même fonction mais sur IR² : IR² --> IR² avec z= (x₁,x₂)


Dans R^2 la dérivée totale s'exprime :



La multiplication interne que tu cites est elle celle-ci : ?


Patrick

[stefjm]

Dans R^2 la dérivée totale s'exprime :



La multiplication interne que tu cites est elle celle-ci : ?

Je ne suis pas dans la tête de Gillesh38, mais je ne crois pas que c'est de cette multiplication dont il parlait.

Plutôt de celle de R^2 qui rend R^2 isomorphe à C
(a,b)*(a',b')=(aa'-bb',a'b+ab')

Non?

[invite6754323456711]

Je ne suis pas dans la tête de Gillesh38, mais je ne crois pas que c'est de cette multiplication dont il parlait.

Plutôt de celle de R^2 qui rend R^2 isomorphe à C
(a,b)*(a',b')=(aa'-bb',a'b+ab')

Non?

Oui dû au qualificatif interne.

C'est la phrase : Il n'y a pas de multiplication interne permettant de définir une dérivée .

Je suppose que le sens signifie : dans IR² on ne peut pas définir la dérive qu'avec la multiplication interne alors que dans IC oui ?

Patrick

[stefjm]

Je suppose que le sens signifie : dans IR² on ne peut pas définir la dérive qu'avec la multiplication interne alors que dans IC oui ?

J'imagine, mais je suis au tacquet!
Il doit bien y avoir des spécialistes de ces problématiques ici?
Au secours...

[invite14e03d2a]

Si on prenait un exemple concret, à tout hasard celui-ci http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post2651303

On ne s'intéresse qu'au sens mathématique de l'expression z(t). Quelle serait la différence si nous dérivions son expression duale dans IR² ?

Patrick

L'exemple n'est pas bon car le lien parle d'une fonction de R dans C (et non de C dans C ou de R² dans R²)

[invite6754323456711]

L'exemple n'est pas bon car le lien parle d'une fonction de R dans C (et non de C dans C ou de R² dans R²)

Oui, j'ai proposé un autre exemple entrant, il me semble, dans la remarque de ambrosio : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2678790

Patrick

[invite6754323456711]

J'imagine, mais je suis au tacquet!
Il doit bien y avoir des spécialistes de ces problématiques ici?
Au secours...

ambrosio a déjà énoncé une propriété qui me semble importante. Il existe des fonctions f qui sont dérivables dans IR² mais pas dans IC.

Existe t'il aussi des fonctions dérivables dans IC , mais pas dans IR² ? (si un Mathématicien passe par la pour donner des réponses aux différentes interrogations)

Patrick

[invite14e03d2a]

Pour répondre aux deux derniers messages de u100fil:
je ne vois pas ton exemple dans le lien que tu donnes, juste une définition.

Sinon, il y a des mathématiciens qui passent sur ce forum (et beaucoup)

Pour tenter de clore le débat dérivabilité dans C/différentiabilité dans R², voici quelques définitions:
on identifie C à R² via l'application définie par . Cette application est un homéomorphisme pour les normes usuelles de C et de R².

Soit f:C -> C une application. On peut identifier f à l'application F:R²->R² définie par .
f peut être vue comme application de C dans C ou (via l'identification) comme une application de R² dans R². (Inversement, une application de R² dans R² peut être vue comme application de C dans C)

Deux définitions pour étudier la "dérivabilité" de f en z0=x0+iy0:
1) On voit f comme application de R² dans R² et on dit que f est R-dérivable en z0 si F est différentiable en (x0,y0) et la différentielle de f en ce point est . C'est une application R-linéaire de R² dans R² (ou de C dans C) mais en général elle n'est pas C-linéaire.
2) Le quotient a un sens et on dit que f est C-dérivable (ou holomorphe) en z0 admet une limite dans C quand z tend vers z0. La limite est alors notée f'(z0).

On montre facilement que f est holomorphe en z0 si et seulement si F est différentiable en (x0,y0) et que les dérivées partielles de F vérifie les conditions dites de Cauchy-Riemann.
Dans ce cas, est une similitude directe de centre l'origine, de rapport |f'(z0)| et d'angle arg(f(z0)).

La conséquence de tout ceci est que toute application holomorphe est différentiable mais que l'inverse est faux.
Par exemple est différentiable en tout point (c'est une application R-linéaire) mais n'est holomorphe en aucun.

Cordialement

[invite14e03d2a]

Faute de frappe: lire "le quotient a un sens dans C"

[invite6754323456711]

Pour répondre aux deux derniers messages de u100fil:
je ne vois pas ton exemple dans le lien que tu donnes, juste une définition.

Sinon, il y a des mathématiciens qui passent sur ce forum (et beaucoup)

Pour tenter de clore le débat dérivabilité dans C/différentiabilité dans R², voici quelques définitions:
on identifie C à R² via l'application définie par . Cette application est un homéomorphisme pour les normes usuelles de C et de R².

Soit f:C -> C une application. On peut identifier f à l'application F:R²->R² définie par .
f peut être vue comme application de C dans C ou (via l'identification) comme une application de R² dans R². (Inversement, une application de R² dans R² peut être vue comme application de C dans C)

Deux définitions pour étudier la "dérivabilité" de f en z0=x0+iy0:
1) On voit f comme application de R² dans R² et on dit que f est R-dérivable en z0 si F est différentiable en (x0,y0) et la différentielle de f en ce point est . C'est une application R-linéaire de R² dans R² (ou de C dans C) mais en général elle n'est pas C-linéaire.
2) Le quotient a un sens dans C et on dit que f est C-dérivable (ou holomorphe) en z0 admet une limite dans C quand z tend vers z0. La limite est alors notée f'(z0).

On montre facilement que f est holomorphe en z0 si et seulement si F est différentiable en (x0,y0) et que les dérivées partielles de F vérifie les conditions dites de Cauchy-Riemann.
Dans ce cas, est une similitude directe de centre l'origine, de rapport |f'(z0)| et d'angle arg(f(z0)).

La conséquence de tout ceci est que toute application holomorphe est différentiable mais que l'inverse est faux.
Par exemple est différentiable en tout point (c'est une application R-linéaire) mais n'est holomorphe en aucun.

Cordialement

Autre correctif latex

Patrick

[invite14e03d2a]

Merci pour la correction

[invité576543]

Dans ce cas, est une similitude directe de centre l'origine

Remarquons que cette définition suffit pour étudier une notion de "fonction holomorphe" sur R² sans faire allusion au corps C. Me trompe-je?

Et cela montre qu'il n'y a pas besoin de la structure du corps C pour introduire et employer la notion. (Ce qui n'est pas contradictoire avec l'idée qu'invoquer C simplifie.)

L'argument de la dérivation pour "distinguer" C et R² me semble assez faible.

La multiplication a un effet différent. Si on part de R² et qu'on définit une multiplication, et qu'on montre que le résultat a les propriétés du corps C, et qu'on manipule le résultat seulement en tant que corps, alors on a "construit" C. Quel est alors l'intérêt de parler d'autre chose que C?

Alors que prendre R² et y ajouter une notion de fonction holomorphe à partir de la notion de similitude directe ne construit pas C, n'amène pas à parler d'une même structure sous deux noms différents.

-----

Au passage, un point qui ne me semble pas avoir été soulevé est la pratique langagière consistant à parler du corps C, article défini singulier.

Manifestement, cette pratique montre qu'on parle d'une et seule "chose", donc pas d'une instance d'une classe. Et ce n'est pas une classe d'équivalence (on ne dit pas "une instance de C"). Que reste-t-il si ce n'est les propriétés structurelles communes? C n'est pas une instance (usage du singulier); ce n'est pas une classe d'équivalence; c'est ce qui est "derrière" la notion d'équivalence, ce qui permet de définir une relation d'équivalence (de structure). Et R² muni d'une multiplication idoine n'est pas "isomorphe à C", mais "C-isomorphe" à des tas d'autres "modèles" (de C). (C'est ma manière, n'utilisant pas le vocabulaire orthodoxe, de voir les choses...)

Cordialement,

[invite14e03d2a]

Remarquons que cette définition suffit pour étudier une notion de "fonction holomorphe" sur R² sans faire allusion au corps C. Me trompe-je?

Oui, j'aurais du préciser que si F est une application de R² dans R² dans lui-même différentiable en (x0,y0) et dont la différentielle en ce point est une similitude directe de centre l'origine, de rapport k et d'angle a, alors la fonction f de C dans C (définie comme dans un de mes messages précédents) est holomorphe en z0=x0+iy0 et sa dérivée est f'(z0)=kexp(ia).
Donc les deux notions (holomorphie et différentaibilité avec similitude directe pour différentielle) coïncident.

Par contre, dès qu'on veut obtenir des résultats intéressants, je pense qu'il faut faire intervenir la multiplication de C.

De plus, la multiplication complexe me semble "cachée" dans la notion de similitude directe. En effet, le groupe des similitudes directes inversibles de centre l'origine est isomorphe au groupe des nombres complexes non nuls.

Précision: dans les résultats précédents comparant holomorphie et différentiabilité, j'ai implicitement considéré que l'application qui a un élément de R² associe le vecteur nul est une similitude directe de centre l'origine et de rapport 0 (angle mal défini)

[invité576543]

Oui

Pas bien sûr que ce soit la réponse à "me trompe-je". Me trompe-je?

Par contre, dès qu'on veut obtenir des résultats intéressants, je pense qu'il faut faire intervenir la multiplication de C.

Pourquoi? On doit pouvoir obtenir les mêmes résultats, non? Par contre leur expression est certainement plus simple, plus parlante, plus facilement applicable, etc.

De plus, la multiplication complexe me semble "cachée" dans la notion de similitude directe. En effet, le groupe des similitudes directes inversibles de centre l'origine est isomorphe au groupe des nombres complexes non nuls.

Certes, mais ce n'est pas C. Pour avoir un corps il faut combiner une addition (qui n'apparaît pas dans le groupe en question) et une multiplication. Il manque donc une étape, comme (par exemple, pour récupérer l'addition de R²) une bijection entre R²* et ledit groupe, et faire l'extension qui va bien pour définir la multiplicaition par 0... Ce qui est équivalent (en plus compliqué!) à définir la multiplication, no?

Précision: dans les résultats précédents comparant holomorphie et différentiabilité, j'ai implicitement considéré que l'application qui a un élément de R² associe le vecteur nul est une similitude directe de centre l'origine et de rapport 0 (angle mal défini)

On perd alors la structure de groupe mais la structure devient directement celle de (C , 0, 1, x). Ce qui ne change pas vraiment le fond de mon objection.

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Par ailleurs, la confusion entre une structure et un groupe opérant sur la structure n'est pas une très bonne chose, en particulier en physique. (Par exemple l'espace affine euclidien à 3D de la mécanique classique n'est pas R3, mais un espace sur lequel le groupe additif R3 agit, parce qu'il n'y a pas d'origine canonique dans l'espace affine euclidien 3D de la mécanique classique [alors qu'il y en a une dans le groupe additif R3].) Exhiber un groupe opérant sur R² et le mettre en relation avec C ne permet pas "automatiquement" de mettre en relation R² et C.

Cordialement,

[invite6754323456711]

-----

Au passage, un point qui ne me semble pas avoir été soulevé est la pratique langagière consistant à parler du corps C, article défini singulier.

Manifestement, cette pratique montre qu'on parle d'une et seule "chose", donc pas d'une instance d'une classe. Et ce n'est pas une classe d'équivalence (on ne dit pas "une instance de C"). Que reste-t-il si ce n'est les propriétés structurelles communes? C n'est pas une instance (usage du singulier); ce n'est pas une classe d'équivalence; c'est ce qui est "derrière" la notion d'équivalence, ce qui permet de définir une relation d'équivalence (de structure). Et R² muni d'une multiplication idoine n'est pas "isomorphe à C", mais "C-isomorphe" à des tas d'autres "modèles" (de C). (C'est ma manière, n'utilisant pas le vocabulaire orthodoxe, de voir les choses...)

Si on ne peut instancier qu'un seul objet de la classe :

Les complexes sont (isomorphe à) l'ensemble des couples de réels munis de deux opérations spécifiques (cà c'est une façon de les définir en donnant un modèle) qui lui confèrent une structure de corps algébriquement clos ; c'est d'ailleurs la clôture algébrique de IR, c'est aussi le seul (à isomorphisme près) corps algébriquement clos de caractéristique 0 et de cardinal (ça c'est une façon de les définir à l'aide d'une axiomatique du premier ordre).

de plus, on peut prendre une loi complètement différente : par exemple je pourrais poser (a,b)*(a',b') = (aa'-bb',ab'+ba'-bb' ) exercice : montre que c'est encore une loi de corps sur R², et le corps obtenue est isomorphe à C

bref, oui on peut dire que "C c'est juste une loi de corps sur les couple de réel" mais c'est beaucoup plus profond que cela : c'est la seul extension algébrique de R, et de ce fait, c'est la clôture algébrique de R (d'Alembert Gauss).

Si Il n'existe qu'un seul modèle satisfaisant l'axiomatique n'est-il pas justifié de parler du corps C ? Ou existe-t'il aussi des notions de modèle non standard comme pour l'arithmétique de Peano?

Patrick

[Médiat]

Au passage, un point qui ne me semble pas avoir été soulevé est la pratique langagière consistant à parler du corps C, article défini singulier.

Pratique légitimée par le fait que (C, 0, 1, +, .) est le corps algébriquement clos de caractéristique 0 et de cardinal , le "le" signifiant que cette théorie est catégorique en ce cardinal (en tout cardinal non dénombrable). Distinguer des structures isomorphes n'a pas beaucoup de sens, si à partir de demain on décidait de noter "John" le nombre habituellement "e", est-ce que nous dirions que nous travaillons sur un autre ensemble ?

Manifestement, cette pratique montre qu'on parle d'une et seule "chose", donc pas d'une instance d'une classe. Et ce n'est pas une classe d'équivalence (on ne dit pas "une instance de C"). Que reste-t-il si ce n'est les propriétés structurelles communes? C n'est pas une instance (usage du singulier); ce n'est pas une classe d'équivalence; c'est ce qui est "derrière" la notion d'équivalence, ce qui permet de définir une relation d'équivalence (de structure). Et R² muni d'une multiplication idoine n'est pas "isomorphe à C", mais "C-isomorphe" à des tas d'autres "modèles" (de C). (C'est ma manière, n'utilisant pas le vocabulaire orthodoxe, de voir les choses...)

Désolé, mais je ne comprends pas où vous voulez en venir (si nous devions faire en permanence la distinction entre instance et classe, il deviendrait vite difficile de suivre un texte mathématique, ne serait-ce que pour noter un rationnel ...) en particulier quand vous faites la différence que vous faites entre "isomorphe à C" et "C-isomorphe" ; si vous pouviez expliciter ...

Je vous en remercie d'avance

[Médiat]

Si Il n'existe qu'un seul modèle satisfaisant l'axiomatique n'est-il pas justifié de parler du corps C ? Ou existe-t'il aussi des notions de modèle non standard comme pour l'arithmétique de Peano?

S'il y avait des modèles non standard, il n'y aurait pas qu'un seul modèle (par cardinal).

[invite6754323456711]

(si nous devions faire en permanence la distinction entre instance et classe, il deviendrait vite difficile de suivre un texte mathématique, ne serait-ce que pour noter un rationnel ...)

Les notions de catégorie (http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...at%C3%A9gories) ne se rapprochent t'elles pas de ces notions de classe, héritage, constructeur. Spécialiser une de ces classes prédéfinies afin de l’adapter à un problème particulier ?

Patrick

[Médiat]

Les notions de catégorie (http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...at%C3%A9gories) ne se rapprochent t'elles pas de ces notions de classe, héritage, constructeur. Spécialiser une de ces classes prédéfinies afin de l’adapter à un problème particulier ?

La notion de classe utilisée dans la théorie des catégorie est à prendre au sens "d'ensemble", mais sans le dire (ou de collection).

Quant à la notion de classe et d'instance en informatique dans les langages objet est très différente (même si il y a quelques idées communes), et ce serait une grande source de confusion que de partir sur cette voie.

[invité576543]

Je vous en remercie d'avance

Je trouve peu logique (même si le sens reste clair) de parler d'isomorphisme entre deux "machins" qui semblent (du moins de par l'usage dans le langage courant) de nature différente.

Dans "R² muni de telle ou telle multiplication est isomorphe à C", on a d'un côté quelque chose de "variable", dont on peut parler au pluriel ou avec un article indéfini, de l'autre quelque chose d'unique, méritant l'article défini. Cela suffit pour moi pour y voir ou du moins soupçonner fortement une différence de nature.

Quand on dit que "C est le seul... à isomorphisme près", on peut se poser la question entre quoi l'isomorphisme s'applique. Ce n'est pas que sur C, parce qu'alors la seule possibilité est "C isomorphe à C", ce qui n'est pas informatif.

Ou encore "isomorphisme" implique une notion de multiplicité là où C se présente, dans le langage, avec unicité. Cela me semble cacher deux notions, l'une permettant de parler de deux choses différentes et de les présenter comme isomorphes; l'autre singulière et inadaptée à entrer dans une relation d'isomorphisme. (Et le problème se pose quand il y a isomorphisme, je n'ai pas de problème avec "C n'est pas un corps isomorphe à Z/2Z", les deux termes sont langagièrement uniques, de même nature, et si on se contente de ce type de "machin", il n'y a jamais isomorphisme, et la phrase ne veut rien dire de plus que "le corps C et le corps Z/2Z sont différents".)

Ou encore, je "sens" isomorphe comme une relation symétrique, dans laquelle les deux termes doivent être interchangeables et jouer strictement le même rôle. En inventant l'écriture "C-isomorphe", je cherche à détruire cette symétrie implicite du langage, en donnant un rôle différent au concept du corps C et au concept d'une construction genre "R² muni de la multiplication ..." en remplissant le ... d'une manière ou d'une autre.

(Mais ce n'est pas la première fois que je fais part de ma difficulté avec le terme "à isomorphisme près", sans obtenir de réponse qui m'assure que j'ai réussi à me faire comprendre. Mon imagination est trop limitée pour trouver toujours de nouvelles manières de présenter cette difficulté, cela m'amène à me répéter et à paraître buté et/ou stupide et j'en suis désolé.)

Cordialement,

[Médiat]

Je trouve peu logique (même si le sens reste clair) de parler d'isomorphisme entre deux "machins" qui semblent (du moins de par l'usage dans le langage courant) de nature différente.

Est-ce que (Z/2Z, +, x) est de "même nature dans le langage courant" que (B, , ), où B est un couple de valeur de vérité et et , les connecteurs habituels ? Il me semble naturel de répondre NON ! Les lois de la pensée (comme dirait Boole), ne sont pas de même nature que l'arithmétique modulaire de base 2, et pourtant ces deux structures sont isomorphes (et ce n'est pas pauvre en enseignement).

Dans "R² muni de telle ou telle multiplication est isomorphe à C", on a d'un côté quelque chose de "variable", dont on peut parler au pluriel ou avec un article indéfini, de l'autre quelque chose d'unique, méritant l'article défini. Cela suffit pour moi pour y voir ou du moins soupçonner fortement une différence de nature.

Je dois être bouché, mais je ne vois pas ce qu'il y a de variable dans "R² muni de telle ou telle multiplication" puisque justement la multiplication en question n'est pas n'importe quoi.

Quand on dit que "C est le seul... à isomorphisme près", on peut se poser la question entre quoi l'isomorphisme s'applique. Ce n'est pas que sur C, parce qu'alors la seule possibilité est "C isomorphe à C", ce qui n'est pas informatif.

Entre toutes les structures réalisant le même langage (je ne dis pas que l'isomorphisme existe entre toutes ces structures, mais que la question est légitime entre toutes ces structures).

Ou encore "isomorphisme" implique une notion de multiplicité là où C se présente, dans le langage, avec unicité.
Cela me semble cacher deux notions, l'une permettant de parler de deux choses différentes et de les présenter comme isomorphes; l'autre singulière et inadaptée à entrer dans une relation d'isomorphisme. (Et le problème se pose quand il y a isomorphisme, je n'ai pas de problème avec "C n'est pas un corps isomorphe à Z/2Z", les deux termes sont langagièrement uniques, de même nature, et si on se contente de ce type de "machin", il n'y a jamais isomorphisme, et la phrase ne veut rien dire de plus que "le corps C et le corps Z/2Z sont différents".)

Je ne comprends pas où vous voulez en venir.

Ou encore, je "sens" isomorphe comme une relation symétrique, dans laquelle les deux termes doivent être interchangeables et jouer strictement le même rôle.

Oui, dans le cadre d'un langage.

En inventant l'écriture "C-isomorphe", je cherche à détruire cette symétrie implicite du langage, en donnant un rôle différent au concept du corps C et au concept d'une construction genre "R² muni de la multiplication ..." en remplissant le ... d'une manière ou d'une autre.

J'ai l'impression, dans cette phrase, que vous faites jouer au modèle C le rôle qui est en fait celui de la théorie (ce qui est bizarre et non adapté puisque si l'on devait préfixer la notion d'isomorphisme, il faudrait parler de L-isomorphisme, où L est le langage).

Pour que je sois sur de comprendre : qu'appelez-vous C ?

[stefjm]

J'avoue que ù100fil m'épate en arrivant à citer Médiat 4 minutes avant que Médiat ne se cite lui même.
A se demander si ù100fil ne travaille pas à rebrousse temps!
(En fait, il dispose d'un modèle de Médiat )

Si on ne peut instancier qu'un seul objet de la classe :

Cela existe aussi en informatique cette notion : Classe statique dont il ne peut exister qu'une unique instance.

[Médiat]

(En fait, il dispose d'un modèle de Médiat )

Non en fait ù100fil a une instance, et j'ai la classe .

(Ne le prend pas mal ù100fil , c'est juste un mauvais jeu de mots)

[invite6754323456711]

J'avoue que ù100fil m'épate en arrivant à citer Médiat 4 minutes avant que Médiat ne se cite lui même.
A se demander si ù100fil ne travaille pas à rebrousse temps!
(En fait, il dispose d'un modèle de Médiat )

J'ai juste appris à lire

Cela existe aussi en informatique cette notion : Classe statique dont il ne peut exister qu'une unique instance.

Les classes statiques et les membres de classe sont utilisés pour créer des données et des fonctions auxquelles il est possible d'accéder sans créer d'instance de la classe.

Il n'est pas possible de créer des instances d'une classe statique à l'aide du mot clé new.

Patrick

[invite7863222222222]

Cela existe aussi en informatique cette notion : Classe statique dont il ne peut exister qu'une unique instance.

HS : tout ca est du domaine de l'informatique et est plutôt anecdotique, mais ne pas confondre "classe statique" et singleton.

[invité576543]

Est-ce que (Z/2Z, +, x) est de "même nature dans le langage courant" que (B, , ), où B est un couple de valeur de vérité et et , les connecteurs habituels ? Il me semble naturel de répondre NON ! Les lois de la pensée (comme dirait Boole), ne sont pas de même nature que l'arithmétique modulaire de base 2, et pourtant ces deux structures sont isomorphes (et ce n'est pas pauvre en enseignement).

Partons de l'idée que dans cet exemple les deux termes jouent bien des rôles semblables. En tant que corps, c'est le même et unique "à isomorphisme près". Alors, quel est son nom? J'avais pensé que Z/2Z était le nom unique, le parallèle du terme "C", mais ce n'est manifestement pas le cas. J'ai donc pris un mauvais exemple. Quels seraient d'autres exemples, qui, comme le terme C, s'utilisent au singulier et avec l'article défini?

Je dois être bouché, mais je ne vois pas ce qu'il y a de variable dans "R² muni de telle ou telle multiplication" puisque justement la multiplication en question n'est pas n'importe quoi.

Pas n'importe quoi, mais il y a néanmoins une infinité de possibilités acceptables (donc une multiplicité, ce qui était le point), on peut trouver pour n'importe quel élément non nul de R² une multiplication qui l'associe au complexe 1, par exemple.

Entre toutes les structures réalisant le même langage

Oui, et c'est un pluriel. C ne désigne pas une des structures réalisant le langage, car si c'était le cas l'usage de l'article défini est incompréhensible.

J'ai l'impression, dans cette phrase, que vous faites jouer au modèle C le rôle qui est en fait celui de la théorie

Peut-être bien (en enlevant le "vous", c'est l'usage grammatical que j'analyse, pas une proposition que je ferais), du moins en y ajoutant le cardinal. Et l'argument fort est que l'argument d'unicité porte sur la théorie+cardinal. Le glissement sémantique vers l'unicité de C est clair si on assimile le concept C à théorie+cardinal.

(ce qui est bizarre et non adapté puisque si l'on devait préfixer la notion d'isomorphisme, il faudrait parler de L-isomorphisme, où L est le langage).

Je ne cherche pas à dire que préfixer la notion d'isomorphisme est une bonne chose, ou est adapté. C'était juste une illustration, un exemple de manière de détruire la symétrie.

Pour que je sois sur de comprendre : qu'appelez-vous C ?

La question que je pose est justement "qu'appelle-t-on C exactement", en essayant de trouver une réponse compatible avec les usages grammaticaux de ce terme.

La difficulté dont je fais part est bien là : je n'arrive pas à concilier ce qui est couramment présenté comme étant "C" et les usages grammaticaux de ce terme. Si C est un modèle parmi d'autres équivalents, tous identiques à un isomorphisme près, comment expliquer l'usage avec l'article défini?

Cordialement,

[invite6754323456711]

Est-ce que (Z/2Z, +, x) est de "même nature dans le langage courant" que (B, , ), où B est un couple de valeur de vérité et et , les connecteurs habituels ? Il me semble naturel de répondre NON ! Les lois de la pensée (comme dirait Boole), ne sont pas de même nature que l'arithmétique modulaire de base 2, et pourtant ces deux structures sont isomorphes (et ce n'est pas pauvre en enseignement).

En y regardant de plus près nous pouvons voir des similitudes avec les complexes et les réels.

(B, , ) est comme les réels réel puisqu'il est question de vérité tandis que (Z/2Z, +, x) est comme les complexes imaginaire car il est question de langage binaire propre à l'informatique et donc de virtuel.

CQFD

Patrick