nombre de Mersenne

[inviteb0cf188d]

Si le nombre de Mersenne Mq est premier, alors le calcul nous mène à 0 mod Mq en partant de 4 ( ou de l'une des 2^(q-2) racines possible) au bout de q-2 itérations. Pas Avant !! Ce qui dessine un magnifique arbre tendant vers 0. (avec les 2^q-1 nombres restants dessinant des boucles de taille calculable avec une superbe formule !).
Si le nombre de Mersenne Mq n'est pas premier, tout peut arriver (des arbres, des boucles, atteindre 0 avant q-2), mais pas arriver à 0 en partant de 4 après q-2 itérations ! En fait, dans le cas d'un Mersenne non premier, le LLT dessine des arbres qui aboutissent sur des boucles, sans aucune logique apparente simple, et sans symétrie.
Essaye de dessiner cet arbre et les boucles pour q=5 et tous les nombres de 0 à 30. Tu verras alors mieux ce que je veux dire et tu prendras mieux conscience de ce qu'est le test LLT.
Il faut considérer ce test comme une balade dans le nombre Mq. Si le nombre est premier, le LLT met en évidence une sorte de symétrie. Si le nombre n'est pas premier, il n'y a plus de symétrie, et les propriétés des facteurs du Mq apparaissent et troublent la balade.
Tony
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[inviteb0cf188d]

(avec les 2^q-1 nombres restants dessinant des boucles de taille calculable avec une superbe formule !).

Voir : Post #7 pour la formule Tony

[leg]

Il faut considérer ce test comme une balade dans le nombre Mq. Si le nombre est premier, le LLT met en évidence une sorte de symétrie. Si le nombre n'est pas premier, il n'y a plus de symétrie, et les propriétés des facteurs du Mq apparaissent et troublent la balade.
Tony

bonsoir a tous.
est ce que cette sorte de symétrie a fait l'objet ou est ce exploitable, et a quoi ressemble cette symètrie par exemple pour 2¹⁷-1, Tony, si cela ne te dérange pas.

SPH je ne comprend pas pourquoi tu dis qu'il est facile de Factoriser N+1 ? d'autant plus que dans ton dernier post tu n'as pas l'air de penser qu'il te falais aller jusqu'à P-2 itération de la suite S₀=4
donc pour cet exmple de 17, il te faut 15 itérationsc'est a dire que S₁₅² - 2 que divise 2¹⁷-1. d'où Mq est premier

le résultat de cette dernière division te donne d'ailleur130049. si on regarde 2¹⁷-1=131071 et que l'on regarde S₁₄, c'est a dire P-3 = 130559
il y a là une relation intérressante . je ne l'ai regardé que pour P =7,13,17,19
17/2= 8.5 alors 2⁹= 512 la différence entre 131071 et 130559 mais aussi (131071-130049 )+2)/2 = 512
il est impossible que cela soit une coincidence et est ce que la dernière itération "division" donne cette propriété et par conséquent l'avant dernière itération = P-3 donnerait comme résultat de la soustraction cette propriété.
soit pour P = 19; 19/2 = 9.5 alors 2¹⁰=1024
d'où (2¹⁹-1) - 1024 = S₁₇.
c'est a dire le résultat de la soustraction de la ligne S₁₆= P-3 = 523 263 ...???

raccourci du LLT ???? ça parait trop simple...

SPH il te faut aller jusqu'à 100% et pas avant pour savoir si ton nombre est prime. d'ailleur tu devrais regarder sur la ligne du pourcentage tu as aussi le nombre d'itérations effectuées. depuis S₀=4
et si tu en ai à 200 000 000 d'itérations, dis tois bien que toutes ces opérations ne t'indiquent pour l'instant rien du tout !
("mais avec un peu de chance et pour l'instant la boule de cristal ton Mersenne est premier ")

[inviteb0cf188d]

bonsoir a tous.
est ce que cette sorte de symétrie a fait l'objet ou est ce exploitable, et a quoi ressemble cette symètrie par exemple pour 2¹⁷-1, Tony, si cela ne te dérange pas.

Ce que j'appelle symétrie, c'est le fait que si q est premier alors le LLT génère 1 arbre et N boucles (dont le nombre et la taille sont calculable). Ces 2 propriétés ont été mathématiquement prouvées par d'autres que moi. Pour q=17, on a un arbre de 2^15 racines qui vont jusqu'à 0 . On calcule ces racines par x=x^3-3*x (mod Mq), en partant de x=4 . Lorsque l'on effectue le LLT, on utilise cette "symétrie" grâce à l'élévation au carré effectuée q-2 fois.
En fait, le LLT est valide sur de nombreux autres nombres que les nombres de Mersenne. Il est valide pour N = k*2^n+/-1 avec k<n et k petit dans la pratique. Sauf qu'il faut déterminer le point de départ du LLT, qui n'est plus 4. Et ce n'est pas facile et ne marche pas à tous les coups, si j'ai bien compris. Voir : LLR.
Tony

[leg]

bonjour Tony
donc on ne sait pas pour quelles raisons on abouti a la fin du test q-2, à un reste obtenu à q-3 itérations, et apres lui avoir ajouté 1 on obtien une puissance de 2,dans le cas d'un Mn premier.

exmple prenons P = 19 qui donne Mn premier; la suite du LLT à q-3 itérations, soit S₁₆,j'obtiens comme reste 523263 d'où
S₁₇= 523263 soit 523263² - 2 est divisible par 2¹⁹- 1.
523263 +1 est une puissance de deux, qui nous ramêne a 2⁹-1 c'est à dire au précédent Mersenne 2¹⁷-1;("17/2 = 8.5 ,on prend 9)

il est évident que pour l'exposant 23 si je prend 2¹²que je retranche à 2²³-1, si et seulement si le reste de la suite S₂₀est identique a ce résultat alors M23 est premiers; car il diviserait S₂₁au carré - 2 , reste = 0.

ce qui indique que pendant la balade du LLT dans le nombre de Mersenne les restes divergent de la puissance de 2, et à q-3 on obtient pas le reste idéal pour avoir Mn premier.

peut on alors ce rendre compte, bien avant la fin du LLT dans cette symétrie que l'on diverge et mettre fin au test ou que l'on converge vers une puissance de 2, tel qu'à q-2 le reste+ 1, obtenu à q - 3 est une puissance de 2; d'où Mn sera premier.

[acx01b]

salut
je n'ai pas du tout compris en quoi tu peux prévoir la divisibilité du reste de S[n-3] !!

précision: 523263 = 3 x 13 x 13417
523264 = 2 ^ 10 x 7 x 73 = 2^9 * (2^9-1) * 2
et 523263^2 - 2 est bien divisible par 2^19-1

a+

[invite3d7be5ae]

peut on alors ce rendre compte, bien avant la fin du LLT dans cette symétrie que l'on diverge et mettre fin au test ou que l'on converge vers une puissance de 2, tel qu'à q-2 le reste+ 1, obtenu à q - 3 est une puissance de 2; d'où Mn sera premier.

Et comment on sait si l'on converge ou pas?
Les restes obtenus sont pseudo-aléatoires. (Une variante est le générateur de nb pseudo-aléatoires BBS)

bonjour Tony
donc on ne sait pas pour quelles raisons on abouti a la fin du test q-2, à un reste obtenu à q-3 itérations, et apres lui avoir ajouté 1 on obtien une puissance de 2,dans le cas d'un Mn premier.

Tu en es sûr? Moi pas. Regarde pour 2³-1. q-3=0 S0=4 donc (selon toi) 4+1=5 est une puissance de 2.

exmple prenons P = 19 qui donne Mn premier; la suite du LLT à q-3 itérations, soit S16,j'obtiens comme reste 523263 d'où
S17= 523263 soit 5232632 - 2 est divisible par 2¹⁹- 1.
523263 +1 est une puissance de deux, qui nous ramêne a 2⁹-1 c'est à dire au précédent Mersenne 2¹⁷-1;("17/2 = 8.5 ,on prend 9)

Eh non! Ne confond pas avec 524288. Il faut rajouter 1024, pas 1.

il est évident que pour l'exposant 23 si je prend 2¹² que je retranche à 2²³-1, si et seulement si le reste de la suite S20 est identique a ce résultat alors M23 est premiers; car il diviserait S21 au carré - 2 , reste = 0.

Est-on a une itération prêt?

SPH je ne comprend pas pourquoi tu dis qu'il est facile de Factoriser N+1 ?

Ben si n=2^p-1, factoriser n+1 me paraît très simple.

raccourci du LLT ???? ça parait trop simple...

Essaye avec 2^n-1 avec Mn non premier. Ca marche encore.

Pole.

[leg]

bonsoir pole

donc pour cet exmple de 17, il te faut 15 itérationsc'est a dire que S₁₅² - 2 que divise 2¹⁷-1. d'où Mq est premier

le résultat de cette dernière division te donne d'ailleur 130049. si on regarde 2¹⁷-1=131071 et que l'on regarde S₁₄, c'est a dire P-3 = 130559il y a là une relation intérressante . je ne l'ai regardé que pour P =7,13,17,19
17/2= 8.5 alors 2⁹= 512 la différence entre 131071 et 130559 mais aussi (131071-130049 )+2)/2 = 512
or si à p-3 itération pour ce cas précis , exposant 17 ,
130559 qui est bien le reste tu ajoutes 1 et tu obtien bien une puissance de 2 a la fin soit en rajoutant1 ou en enlevant1, pour ce cas tu obtien 255 et +1 = 256 = 2⁸ et 17/2 =8,5!
refait la suite S₀=4 avec les puissances 17,19,31,61.
si on obtenait pas une "puissance de 2 "a la fin du test comment veux tu obtenir une division entière!

ce que je dis, c'est comment prévoir que l'on va avoir par exmple pour l'exposant 19 , à S[N -3] 523263,de sorte qu'à S[N -2] on a bien 523263²-2 qui serra divisible par 2¹⁹-1 ;
et désolé pole mais 523263 +1 devient divisible par 2 jusqu'à 511 , une puissance de 2 = 2⁹-1! et 19/2 = 9,5
c'est la propriété de ce reste qui permet la division entière.
mais excuse moi si je me suis mal exprimé.

[inviteb0cf188d]

... si on regarde 2¹⁷-1=131071 et que l'on regarde S₁₄, c'est a dire P-3 = 130559il y a là une relation intérressante ...

Oui. Si Mq est premier, alors Mq divise S(q-2) et on a aussi S(q-3) = 2^n ou Mq-2^n (je ne me souviens plus de la valeur de n). De toute façon, cela ne sert à rien puisqu'on ne gagne qu'une itération.
T.

[leg]

Et comment on sait si l'on converge ou pas?
Les restes obtenus sont pseudo-aléatoires. (Une variante est le générateur de nb pseudo-aléatoires BBS)
.

si c'etait le cas, je pense que le LLT ne fonctinnerait pas ou alors de temps en temps on aurait un pseudo premier ,et non pas un Mersenne premier de manière catégorique! donc ces restes lorsque Mn est premier, ou, que l'exposant P va donner un Mn premier alors les restes ne sont pas aléatoire car il doivent à P-2 itération avoir la propriété

a) être une puissance de 2 , tel que P/2 arrondi au chiffre superieur; par exemple P = 31 ,le dernier reste peut être: 2¹⁶= 65536

b) le reste + 1 doit pouvoir se diviser par 2 ,
16 fois , jusqu'à 2¹⁵-1, afin d'obtenir :
2147483647 - 65536 = 2147418111 et au carré - 2 c'est divisible par 2³¹-1.

c'est ce que je pense.
A+

[leg]

Oui. . De toute façon, cela ne sert à rien puisqu'on ne gagne qu'une itération.
T.

c'est exact, mais ce qu'il faudrait c'est de trouver pourquoi cela converge vers ce reste; bien avant d'être à S(q-3)

[leg]

d'apres ce que j'ai vu,sur les premiers exposants à partir de 7, la valeur de n, pour Mq - 2ⁿ c'est n/2 arrondi au chiffre superieur, exemple 16, si n = 31

[inviteb0cf188d]

Il y a plusieurs façons de prouver le LLT. E. Lucas. D. Lehmer, HC. Williams, P. Ribenboim et beaucoup d'autres ont fourni des preuves plus ou moins courtes mais surtout basées sur des théories très différentes. Pour moi, cela signifie que le LLT est une propriété fondamentale. Mais il ne faut pas se focaliser sur : S0=4 , Si+1=Si^2-2 . On peut prouver que d'autres suites du même genre (carré !) peuvent être employées comme preuve de primalité d'un nombre de Mersenne. On utilise le LLT parce qu'il est bien connu. Point. Par exemple, la suite : S0=6 , Si+1=Si^2/3-6 est équivalente ! Ou S0=2 , Si+1=2*Si^2-1 .
Donc, essayer de trouver une révélation dans l'étude des Si est illusoire. Ils ne sont certainement pas aléatoires, mais leur étude ne peut rien apporter en tant que preuve plus efficace. E. Lucas a découvert le LLT en étudiant quelque chose qui n'avait RIEN à voir avec les nombres de Mersenne premiers : les nombres de Fibonacci et les propriétés des "suites de Lucas".
Le temps de Pierre de Fermat, voire Gauss, où il suffisait de jouer avec les nombres pour découvrir de sublimes propriétés est (pratiquement) fini. La réponse est probablement dans l'utilisation d'autres théories et outils mathématiques n'ayant (a priori) rien à voir avec les nombres de Mersenne.
Néanmoins, il y a encore quelques perles à trouver. Ainsi, j'avais trouvé (et prouvé) que les nombres de Mersenne s'écrivent sous la forme : Mq = (8x)^2-(3qy)^2 . Apparemment, personne ne l'avait remarqué auparavant (ou alors, comme cela ne sert à rien pour factoriser les nombres de Mersenne ou pour prouver leur primalité, les précédents découvreurs n'en ont pas parlé !).
T.

[invited04d42cd]

Tous les nombres de Mersenne peuvent s'écrire sous cette forme ?

[invite3d7be5ae]

Tu dis que S_p-3=Mp-2^p/2+0.5.

Démo :
S_p-3=Mp-2^p/2+0.5 donc
S_p-3=-2^p/2+0.5 mod Mp
On met au carré.
S_p-2=2^p+1-2 mod Mp
Comme 2^p+1=(2^p-1)*2+2 on trouve :
S_p-2=((2^p-1)*2+2)-2 mod Mp
S_p-2=2-2 mod Mp
S_p-2=0 mod Mp

Et je n'ai pas utilisé le fait que p est premier, ni Mp est premier.
Par contre, il faut que p soit impair.

Ma démo montre que S_p-3 peut être égal à Mp-2^p/2+0.5 mais S_p-3 n'est pas forcément égal à Mp-2^p/2+0.5, c'est juste une possibilité.

Je te conseille de regarder pour M31.

Je te donne un lien sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Blum_Blum_Shub

Pole.

[inviteb0cf188d]

Tous les nombres de Mersenne peuvent s'écrire sous cette forme ?

Oui. Si Mq est premier, il n'y a qu'un seul couple (x,y) solution trivale. Si Mq est composite, alors il y a 2 ou plus couples (x,y) possibles.
Par exemple : M11=(8*128)^2 - (3*11*31)^2 = (8*7)^2 - (3*11*1)^2 .
Trouver (128,31) est évident.
Trouver (7,1) est plus difficile.
Pour un q grand, trouver (x,y) est (à ma connaissance) infaisable si on ne connaît pas la factorisation de Mq.
T.

[leg]

Ma démo montre que S_p-3 peut être égal à Mp-2^p/2+0.5 mais S_p-3 n'est pas forcément égal à Mp-2^p/2+0.5, c'est juste une possibilité.

Je te conseille de regarder pour M31.

Pole.

c'est exact pole,c'est juste une possibilité. mais dans quel cas tu obtiens cette possibilité.?

pour M31, S[p-3] = 2¹⁶, d'où S[p-2]² -2 est divisible par M31 ,ce qui revien au même ;
M31 est prime

[invite3d7be5ae]

T.Rex a dit que quelqu'un a démontré que S_p-3=2^p/2+0.5 ou S_p-3=2^p-1-2^p/2+0.5 pour tout Mp premier.
C'est une des propriétés de la suite de Lucas. Mais elle est sans intérêt.

Pole.

[inviteb0cf188d]

T.Rex a dit que quelqu'un a démontré que S_p-3=2^p/2+0.5 ou S_p-3=2^p-1-2^p/2+0.5 pour tout Mp premier.

?? Je ne me souviens pas avoir dit cela exactement ...
En fait, on a : S_p-3=2ⁿ ou S_p-3=M_p-2ⁿ , avec : n=(p+1)/2 , ce qui beaucoup moins choquant que la forme n=p/2+0.5 , que je n'avais pas reconnue auparavant dans les posts précédants.
Savoir justement si c'est le cas S_p-3=2ⁿ ou S_p-3=M_p-2ⁿ qui va apparaître pour Mq premier est un sujet de recherche.
T.

[leg]

T.Rex a dit que quelqu'un a démontré que S_p-3=2^p/2+0.5 ou S_p-3=2^p-1-2^p/2+0.5 pour tout Mp premier.
C'est une des propriétés de la suite de Lucas. Mais elle est sans intérêt.

Pole.

pole si cette propriété n'avait aucun interêt, le LLT ne marcherait pas!
j'espère que l'on se comprend bien, si 2^p-1 est premier et seulement si il est premier, que la suite de lucas a, à la ligne S_p-3 un reste R qui a une des deux propriétés ci dessous.

soit :
[S(_p-3)² - 2] / (2^P- 1) a pour reste R : 2^(P+1)/2! ou :
R = (2^P-1) - 2^(P+1)/2 ! ce qui dans ce cas précis te ramêne a: R +1 divisé par 2 autant de fois = (P+1) /2 ce qui te donne bien (P-1)/2

savoir si c'est la propiété 1 qui va apparaître ou la 2 dans le cas de Mn premier, je pense que cela n'apportera rien de plus , mais de savoir qu'il va apparaître une de ces deux propriétés on saura que Mn va être premier.

et c'est peut être dans cette symetrie dont parle tony, que l'on sait qu'a S_{[P - 3]} une des deux propriétés serra égale au Reste! cette symétrie, se retrouve aussi ailleur lorsque Mn est premier ;ce qui indique que R serra bien une puissance de 2 ou la deuxième propriété une "pseudo" puissance de 2.

[SPH]

http://xmas.free.fr/37957511.jpg

[GuYem]

Allons faut pas pleurer, la vie est cruelle des fois

[inviteb0cf188d]

Pour les 295432 exposants premiers compris entre 35100000 et 45250000, la probabilité qu'il y ait un nombre de Mersenne premier est : 35 % . Donc, il faudrait tester environ 844000 exposants pour en trouver un. Avec 1 PC puissant tournant 24h sur 24, il faudrait donc plus de 70000 ans ... Voir : Status du GIMPS.
Conclusion : chercher un Mersenne premier, c'est comme jouer au Loto, cela permet SURTOUT de rêver !
Il y a plus bête comme occupation ...
(Je joue aussi au Loto ! 2,40 Euros par mois !)
Tony

[leg]

salut SPH.

l'avantage c'est que pendant des jours tu as espèré. donc tout était permis

En plus tu as choisis la série ,11(30) qui était la moins probable, parmis les huit. on verra si c'est bien la série 19(30) pour M44.
A+

[leg]

SPH
regarde les décimales lorsque Mn est premier. elle ont tendance a se répéter. alors qu'elles ne sont pas symetriquent lorsque Mn est composé,M.11 ; M.23

En gras on remarque le début da la Suite S₀ et la fin S_p-3 ce qui pourrait expliquer :
notre dernière discution au sujet des post ci dessus:
et des recherches dont Tony parlait.
.............................. .............................. ...............
pole si cette propriété n'avait aucun interêt, le LLT ne marcherait pas!
j'espère que l'on se comprend bien, si 2^p-1 est premier et seulement si il est premier, que la suite de lucas a, à la ligne S_p-3 un reste R qui a une des deux propriétés ci dessous.

soit :
[S(_p-3)² - 2] / (2^P- 1) a pour reste R : 2^(P+1))/2! etc etc
.............................. .............................. ........

M.11 suite S₀diviser par 3
206980,6667
163799,6667
456,7419
113649,2581
1858,0000

M.13 suite S₀diviser par 7
2894,9231
1824376,7692
1202015,9231
2741607,5385
265265,1538
99,5385
128802,6154
926222,9231
1260,1538

divisé par 13
5376,2857
3388128,2857..
2232315,2857..
5091556,8571..
492635,2857...
184,8571........
239204,8571...
1720128,2857..
2340,2857......

M.17 suite S₀diviser par 17
83312820,8235
539849905,8235
834694861,1176
257627061,1176
169281530,7647
878661148,3529
937146376,3529
292284711,6471
284614969,3529
583363071,9412
359913225,8235
1002685439,9412

M.19 suite S₀diviser par 7
27,7143
202331136,2857
6837000041,0000
37166760622,0000
21323098047,7143
14918542904,8571
6821944667,7143
36308162799,7143
1529404851,2857
24925471776,2857
13500744555,2857
20954367731,2857
10869829851,7143
1037638724,8571
39114881023,8571

M.23 suite S₀diviser par 89
15913684,8764
555603534746,9890
555869359501,1010
15550395416,1685
656414848496,2020
113604107258,9550
81592972739,5730
6550229501,3820
196521859965,8650
551191348404,4830
26352262405,7753
389640722786,7750
14618185920,0225
209828830199,5390
557081389583,9780
85367380423,1685
18410426994,3596
483967271169,4270
419172823944,0790

on obtient ces décimales en divisant le reste de la suite S₀ au carré -2 par le plus petit facteur premier, divisant 2^p-1 -1, autre que 3 ou 5 bien entendu.( c'est peut être là dedans qu'il y aurait quelque chose a trouver)

[inviteb0cf188d]

Je ne comprends pas tes calculs.
Peux-tu écrire le programme PARI/gp qui correspond ?
Voici un exemple :

q=13;
M=2^q-1;
S=4; for(i=1,q-2, S=(S^2-2)%M; print(S," ",S%13) )

14 1
194 12
4870 8
3953 1
5970 3
1857 11
36 10
1294 7
3470 12
128 11
0 0

T.

[leg]

[QUOTE=T.Rex]Je ne comprends pas tes calculs.
Peux-tu écrire le programme PARI/gp qui correspond ?

bonjour Tony

je n'ai pas de programme, ni la possibilité de le faire.

a) je prend les diviseurs de 2^13-1-1
qui te donne 4095 divisible par 3²,5,13,7
celui qui m'interresse est 7
pour trouver et mettre en évidence "cette symetrie"
au lieu de diviser la suite de lucas uniquement par 2¹³-1que j'avais déjà effectuer, j'ai repris les restes soit R²-2 que je divise par 7 jusqu'a S_p-2
et c'est en controlant ceci que j'ai reperré cette symétrie lorsque Mn est premier.
voici les Restes de la Suite de Lucas, R²-2 /7
4,00
14,00
37 634,00 / 7 =5376,2857
23 716 898,00 /7 =.......8,2857
15 626 207,00 /7 = .......5,2857
35 640 898,00
3 448 447,00
1 294,00
1 674 434,00
12 040 898,00 /7=.......8,2857
16 382,00

il et évident que cette symétrie ne peut s'exploiter sous cette forme . Mais permet de voir lorsque Mn est premier
la raison des diviseurs de 2^p-1-1 qui va nous amener à S(_p-3) soit (1)une puissance de 2 soit (2) R+1 que divise 2 un nombre de fois =[(P+1)/2]
par exemple, pour exposant 19 , R+1 divisé par 2, 10 fois, tu obtients 511 =7*73 , qui sont les facteurs de 2^19-1-1

ce qui donne bien 2⁹-1 = 511, qui ne peut être une coincidence car cela s'explique Mathématiquement...il faut arriver a une Reste R qui est de la forme (1) ou (2) pour que Mn soit premier!

c'est pour cela que je pense, qu'il faut peut être chercher de ce côté .
par exemple lorsque des facteurs P divisant 2^P-1-1, forme un produit = 2^N-1,
ou qu'un de ces Facteur est = 2^P+1
on a de grand chance d'avoir Mn premier, mais il faut éclaircir tout cela de façon Mathématique...en le formulant différement...
A+ pour d'autre renseignement.

[SPH]

Leg, perso, j'aimerais comprendre tes calculs mais j'y renonce.
Mais, si j'ai compris ton raisonnement, en prenant un nombre premier, on peux assez rapidement voir s'il a une chance d'etre un mersenne premier.
Bon, développe ton raisonnement avec le nombre premier que j'avais choisi (37957511) et montre nous qu'il avait a la base peu de chance d'etre un mersenne premier.

Merci de tes explications claires (qui me feront peut etre reprendre un calcul sous prime95)

[leg]

sph
si tu as un programme de factorisation rapide, alors tu peux essayer de factoriser:
2^p-1-1
qui est divisible par 3,p, (5 si il se termine par 5) et tu devrais avoir des petits facteurs 7,17,257,65537 ..)
puis tu compares avec les facteurs qui divisent aussi
2^(P-1)/2-1 qui est encore plus facile à factoriser (relatif par rapport a la taille du nombre)tous je dis bien tous ces facteurs doivent diviser 2^p-1-1

exemple: 2⁸⁹-1
je cherche les diviseurs de 2⁸⁸-1
je sais que j'ai 5,3,et 89 au minimum,puis je controle avec 7 et 17
17 et bon
(c'est un indice que j'explique briévement:17 et un nombre de fermat, et si tu as 7 aussi dans ces facteurs tu peux construire une puissance de 2 tel que 2^N-1 est un multiple de 7, pareille si tu as 17, 3 et 5)

ensuite je divise 2⁴⁴-1. "(P-1)/2=44"
là aussi j'ai obligatoirement 89 , 5 et 3 puis je teste 17non, 23 ok 397,683,2113 tous ces facteurs divisent
2⁸⁸-1 je n'ai que 17 qui n'est pas dans les deux parties.
j'ai alors 90% de chance d'avoir Mn premiers, sinon j'aurais des facteurs de part et d'autre qui restent en rade. voila ou j'en suis .
lorsque Mn est premier on trouve des petit facteurs P tel que 7,17,13,11 car cela permet de construire un entier qui va être le Reste de la division par 2 tel que R+1, se divise par deux, N fois, pour N = (P + 1)/2 ou alors dans le cas ou R est directement une puissance de deux;
alors il faut des facteur premier qui donnent un produit, tel que ce produit +1 est une puissance de deux
si dans les facteur P tu as par exmple 65537 qui est un nombre de Fermat de grande chance que ton Mn est premier, et que R à S_p-3soit une puissance de 2!

En résumé ces facteurs premiers qui divisent 2^p-1-1 et que tu retrouvent dans l'autre partie 2^(p-1)/2-1 on comme raison de faire en sorte que le Reste R de la suite de lucas au niveau de S_p-3 soient une des deux conditions (1) ou (2).
et comme tu ne peux disposer, que de certain facteurs premiers qui offrent cette condition, au plus bas niveau;
tu retrouves souvent les même facteur premier, lorsque Mn est premier; afin de remplir la condition requise et d'avoir, cette symetrie dans les décimales, que j'ai montré plus haut.
regarde l'exemple avec 17 et 19; (R+1)/2 ,10 fois, que reste t'il : 511 =73*7 et 2⁹-1 = 511
et 511+1 est une puissance de 2.
où R+1 = 523264 à S_p-3.
voila pourquoi il n'y a pas beaucoup de facteurs premiers qui soient candidats, donc trés peu de MERSENNE
Premier!
peut être est ce aussi la raison ,de la symétrie dont parlez Tony.
A+

[SPH]

Tu oublies peut etre l'ecart titanesque entre la factorisation de 2^88 et 2^37000000.
Perso, je renonce a tester d'autres nombres. Je prefere utiliser les ressources du PC pour autre chose.

BYE a tous