Bonjour,

Je viens quémander un peu d'aide pour mon devoir maison portant sur les équations différentielles : si une âme charitable passe dans le coin...


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PARTIE I:
1) G est C1 (et même C∞)comme composée de fonctions dérivables (φ est dérivable sur R+ donc et.φ(t) aussi, et même C∞)
F est C1 (et même C∞)comme composée de fonctions dérivables

2)
a) DL1 en 0 : φ(x) = φ(0) + x.φ'(0) + o(x) et ex = 1 + x + o(x)
Ensuite, je ne sais pas comment appliquer le DL à l'intégrale... J'ai bien trouvé la formule suivante :

mais je ne sais pas trop comment l'utiliser :s

b) F est bien prolongeable en 0 d'après la question précédente (formule du DL1). On a alors F(0)= φ(0)
En revanche, pour prouver que F est dérivable, dois-je calculer le taux d'accroissement ? (car j'ai alors lim [F(x) - F(0)] / x = 1/2.φ'(0) mais je ne sais pas si c'est un nombre fini...) ou me suffit-il de donner F'(x) ???
F'(0) = φ'(0)

3) Bien que la question soit purement calculatoire, je n'arrive pas à trouver le résultat...
Je trouve comme solution générale : fλ(x) = -λ(x)(ex - 1)
et comme solution particulière : φ0(x) = -λ(x)(ex - 1)
et φ'0(x) = -λ'(x)(ex - 1) - -λ(x).ex
Ensuite je suis bloquée :s

A partir de là, je n'ai pas encore eu le temps de répondre aux questions mais j'explique tout de même la manière dont je procèderai :

4) je remplace y et y' par F et F'

5)
a) La solution de ε0 n'est elle pas la même que celle pour ε ???

b) Ce qui me pose problème dans cette question, c'est "unique" ... Je suppose que le simple calcul ne prouve pas son unicité...

6) J'aurais tendance à dire que puisqu'elle l'est sur R*+ elle l'est aussi sur R+ ...

7) ???