Fausse démonstration ...

[invite88ef51f0]

Non, c'est juste qu'il faut faire attention aux cas particuliers. Par exemple, tu as vite fait de parler de la droite (P2 Pn) en te disant que n est quelconque alors que n peut valoir 2...
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[GuYem]

Pas vraiment
Ce qu'on dit c'est qu'il y a un "trou" dans ta recurrence: pour n=1 et n=2 c'est vrai.
Tu a montré qu'on peut passer de n à n+1 dès que n>=3. mais entre 2 et 3 ça passe pas.

EDIT : encore grille par CANARD On ne voit pas tout à fait les choses de la même façon lui et moi mais nos deux arguments sont bons. Je dis ça pour nous rassurer

[Bleyblue]

Ah bon alors la ...

Je ne trouve pas ça si évident que ça moi, et le professeur qui disait que l'erreur était "grosse comme une maison" ...

[Bleyblue]

Et sinon je pense que j'ai dit une grosse bêtise, la formule de Moivre n'est pas valable pour des exposants non entiers (j'ai vérifier dans mon cours)

Désolé

[inviteaf1870ed]

Il faut faire attention aux raisonnements par récurrence car dans l'étape "si vrai pour n, alors vrai pour n+1" on fait parfois appel à des propostions qui sont fausses

EXEMPLE : dans tout groupe de n personnes qui contient un femme, toutes sont des femmes.

La propriété est vraie pour n=1 : tout groupe de 1 personne qui contient une femme est uniquement composé de femmes.

Supposons la propriété vraie pour tout p plus petit que n, démontrons qu'elle est vraie pour n+1.

Je prends le groupe que je sépare en deux sous groupes égaux à environ la moitié du groupe initial. Il y a au moins une femme, donc un des groupes contient une femme. Par la propriété de récurrence, toutes sont des femmes.
Je prends alors une des femmes de ce premier sous groupe et l'ajoute à mon deuxième sous groupe. J'applique de nouveau la propriété de récurrence, et j'ai montré que mon groupe n'a que des femmes.

QED

[GuYem]

Trés joli!

Il y a encore un trou dans la récurrence, la récurrence passe de n à n+1 dès que le deuxième-sous groupe (de cardinal (n+1)/2 ou n/2) augmenté d'une personne vérifie encore l'hypothèse de récurrence. ie dès que n/2+1 <= n ; ie dès que n >= 2 .

Donc on peut passer de 2 à 3, de 3 à 4 etc... Mais on ne peut pas démontrer l'hypothèse de récurrence pour n=2

[invité576543]

Trés joli!

Il y a encore un trou dans la récurrence, la récurrence passe de n à n+1 dès que le deuxième-sous groupe (de cardinal (n+1)/2 ou n/2) augmenté d'une personne vérifie encore l'hypothèse de récurrence. ie dès que n/2+1 <= n ; ie dès que n >= 2 .

Donc on peut passer de 2 à 3, de 3 à 4 etc... Mais on ne peut pas démontrer l'hypothèse de récurrence pour n=2

C'est une manière de voir. La faute est plus grossière en fait. La phrase "J'applique de nouveau la propriété de récurrence" demande de vérifier que le cardinal du nouvel ensemble est bien <n, et ce n'est pas fait (même si la démo était bonne, ça vaut une mauvaise note, ça!).

Au passage, cela montre que cela ne marche pas non plus pour n quelconque, le découpage 1 femme n-1 hommes ne permettant pas non plus d'appliquer la récurrence, puisque (n-1)+1<n est faux...

Cordialement,

[invitec314d025]

C'est une manière de voir. La faute est plus grossière en fait. La phrase "J'applique de nouveau la propriété de récurrence" demande de vérifier que le cardinal du nouvel ensemble est bien <n, et ce n'est pas fait (même si la démo était bonne, ça vaut une mauvaise note, ça!).

Au passage, cela montre que cela ne marche pas non plus pour n quelconque, le découpage 1 femme n-1 hommes ne permettant pas non plus d'appliquer la récurrence, puisque (n-1)+1<n est faux...

Cordialement,

Ben non.
Pour n >= 2 tu as n+1 >= 3 (étonnant non ? =) donc tu peux découper en deux groupes dont un de cardinal >=2 dans lequel tu imposes qu'il y ait une femme. Et tu peux alors appliquer l'hypothèse de récurrence. Il n'y a que pour n=1 que ça coince.

[invité576543]

OK, j'avais pas vu "de taille à peu près égale"... Une découpe quelconque ne marche pas, mais certaines marchent...

Mais le premier paragraphe de mon poste est valide!

Cordialement,

[inviteaf1870ed]

mmy, tu as raison, mais c'est un peu plus subtil que tu ne l'affirmes et cela marche quelle que soit la partition en deux groupes : le cas le plus déséquilibré est 2 et n-1 (on a bien n+1 personnes au total). Si j'ajoute une personne au deuxième groupe je trouve n-1+1 et je peux donc appliquer mon hypothèse de récurrence.

En fait il faut initialiser la récurrence à deux et pas à un, et c'est pour cela que ça coince.

[Bleyblue]

En fait il faut initialiser la récurrence à deux et pas à un, et c'est pour cela que ça coince.

Et comment sait on ça ? Qu'il faut l'initialiser à deux ?
C'est pareil pour ma démo à moi apparament, il falait débuter à trois et non pas à deux mais je ne comprend pas bien comment on sait ça ...

merci

[Bleyblue]

Moi je pensais que lorsqu'on dit : "Supposons la propriété vraie pour n ..."

il faut pouvoir démontrer cas par cas que c'est vrai pour 1,2,3,4,5,6 ... n-1, n et si on trouve ne fut-ce qu'une contradiction alors on ne peut pas faire l'hypothèse ...

mais ce n'est pas ça apparament ?

merci

[invité576543]

mmy, tu as raison, mais c'est un peu plus subtil que tu ne l'affirmes et cela marche quelle que soit la partition en deux groupes : le cas le plus déséquilibré est 2 et n-1 (on a bien n+1 personnes au total). Si j'ajoute une personne au deuxième groupe je trouve n-1+1 et je peux donc appliquer mon hypothèse de récurrence.

Pas d'accord, le cas le plus déséquilibré est n-1 hommes et 1 femme (pour un total de n)... Et ça ne marche pas pour une telle découpe...

En fait il faut initialiser la récurrence à deux et pas à un, et c'est pour cela que ça coince.

Pas d'accord. Une récurrence ça s'initialise là où on peut.

Je maintiens que l'erreur est dans la dernière phrase, "Je prends alors une des femmes de ce premier sous groupe et l'ajoute à mon deuxième sous groupe. J'applique de nouveau la propriété de récurrence...". Cette application n'est valable que si le deuxième sous-groupe plus la femme a un cardinal <n, et cette vérification n'est pas faite, et échoue évidemment dans le cas n=2.

Cordialement,

[invité576543]

Moi je pensais que lorsqu'on dit : "Supposons la propriété vraie pour n ..."

il faut pouvoir démontrer cas par cas que c'est vrai pour 1,2,3,4,5,6 ... n-1, n et si on trouve ne fut-ce qu'une contradiction alors on ne peut pas faire l'hypothèse ...

mais ce n'est pas ça apparament ?

merci

Pas sur de comprendre.

Une récurrence générale, est basée.3. sur :

Si p(j) à p(k) sont vraies, k>=j,

et si

quelque soit n>k, (p(j) à p(n-1) vraies) => p(n)

alors p(n) vraie pour tout n>=j

Cordialement,

[invitec314d025]

OK, j'avais pas vu "de taille à peu près égale"... Une découpe quelconque ne marche pas, mais certaines marchent...

Il suffit d'une

Mais le premier paragraphe de mon poste est valide!

C'est clair, mais en même temps si il n'y avait pas d'erreur dans la démonstration on serait mal ...

[Bleyblue]

Pas sur de comprendre.

Une récurrence générale, est basée.3. sur :

Comment ça ? Ne viens tu pas d'affirmer qu'une récurrence ça s'initialise où on peut

Sinon moi je ne comprend décidément pas du tout ce qui ne va pas.

Je viens d'aller revoir la définition d'une démonstration par récurrence dans mon cours :

" Soit un énoncé indicé par un un naturel n >= no An. La preuve par récurrence de cet énoncé comporte deux étapes :

1) Etablir A(no)
2) Montrer pour n>=no que si An est vrai alors A(n + 1) est vrai"

Alors si je reprend mon exemple avec la droite alors j'ai :

no = 1
On a établit A(no) et A(no + 1)
On démontre que pour n >= no que si la proposition est vraie pour n alors elle l'est aussi pour (n + 1)

Je ne vois pas ce qui cloche

merci

[Bleyblue]

Ce qui est ecrit dans la récurrence est juste mais elle suppose implicitement que n>=3 quand tu écris

Mais moi je ne vois pas pourquoi n>=3.
Je dirais n >= 2 plutôt non ?

merci

[invité576543]

1
Alors si je reprend mon exemple avec la droite alors j'ai :

no = 1
On a établit A(no) et A(no + 1)
On démontre que pour n >= no que si la proposition est vraie pour n alors elle l'est aussi pour (n + 1)

Je ne vois pas ce qui cloche

merci

Dans ta démo, la phrase qui cloche c'est

"Donc la droite passant par p2 et pn contient les n premiers et les n derniers points."

Si p2=pn, on ne peux pas parler de la droite. Or c'est le cas si n+1=3...

Cordialement,

[Bleyblue]

Ahhh oui bien vu, je n'avais pas pensé.

Il faut m'excuser je suis assez lent pour raisonner ...

merci

[invited162afc4]

Si (fg)' = f'g+fg' comme je l'ai toujours appris il y alors un probleme quand au resultat (x7*(e^(x2))'

[invitec314d025]

Si (fg)' = f'g+fg' comme je l'ai toujours appris il y alors un probleme quand au resultat (x7*(e^(x2))'

Tu as lu les premiers posts de ce fil ? Tu devrais y jeter un coup d'oeil.

[Bleyblue]

(x7*(e^(x2))'

= 7x⁶e^x² + 2x⁸e^x²

non ?

[Evil.Saien]

Surement très connue, et pourtant le truc est pas évident à voir:

Partont de l'équation suivante:
(1)
Donc (j'ai le droit de le faire puisque x=0 n'est pas solution)

(2)

A partir de (1), on peut aussi dire:
(3)

D'où, en combinant (2) et (3)

donc que x=1 est solution... (or ce n'est pas le cas...)

Pourquoi ?

[invitebf65f07b]

pas mal du tout, à en perdre la tête si on ne connaît pas les racines n-ième de l'unité...

[invite5e34a2b4]

pas mal du tout, à en perdre la tête si on ne connaît pas les racines n-ième de l'unité...

Tu penses que t'as vraiment trouvé l'erreur là ?

En fait, c'est une question d'implication. J'en dis pas plus.

[invité576543]

pas mal du tout, à en perdre la tête si on ne connaît pas les racines n-ième de l'unité...

Mouais... En fait la faute est dans le "donc", dans "donc 1 est solution". Ne pas confondre condition nécessaire (x³=1) et condition suffisante... C'est un schéma classique de fausse démonstration, que de faire des implications dans un sens et d'en conclure l'autre...

Cordialement,

EDIT : Crosiement avec J&C, même commentaire en fait...

[invitebf65f07b]

Tu penses que t'as vraiment trouvé l'erreur là ?

En fait, c'est une question d'implication. J'en dis pas plus.

Merci j'avais vu, mais si on ignore les 2 autres racines complexes de x³=1, par exemple en travaillant uniquement pour x réel, alors il y a comme un soucis.

Je pensais surtout à ceux qui n'ont pas idée de ce qu'est un complexe en disant ça.

Et pour éviter une remarque du même type (qui n'a rien de répréhensible, entendons nous bien), il n'y a pas d'incohérence non plus si on se limite aux réels, juste une difficulté d'ordre logique comme vous le soulignez:
(1) n'as pas de solutions (discriminant négatif), mais j'en déduis une autre équation qui admet elle une solution.

Au final, je pense que c'est un bon exemple des précaution à prendre quand on calcul et transforme une équation

[invite5e34a2b4]

Merci j'avais vu, mais si on ignore les 2 autres racines complexes de x³=1, par exemple en travaillant uniquement pour x réel, alors il y a comme un soucis.

Je pensais surtout à ceux qui n'ont pas idée de ce qu'est un complexe en disant ça.

Et pour éviter une remarque du même type (qui n'a rien de répréhensible, entendons nous bien), il n'y a pas d'incohérence non plus si on se limite aux réels, juste une difficulté d'ordre logique comme vous le soulignez:
(1) n'as pas de solutions (discriminant négatif), mais j'en déduis une autre équation qui admet elle une solution.

Au final, je pense que c'est un bon exemple des précaution à prendre quand on calcul et transforme une équation

Non, en fait, tu n'expliques pas en quoi le raisonnement donné (qui aboutit à 1 est solution) est fausse. Tu te contentes de dire que par une autre méthode (qui est certes correcte) on n'obtient pas la même réponse, donc c'est faux. Mais tu ne trouves pas l'erreur.

Si tu veux, le raisonnement que donne Evil.Saien revient à dire (si on enlève les "donc" qui sont incorrects) :
"s'il existe une solution réelle à x²+x+1=0, alors cette solution est 1".
Il aurait alors fallu vérifier que 1 n'est pas solution et on aurait donc prouvé que l'équation n'admet pas de solution réelle.

On a tout à fait le droit de procéder ainsi, mais il ne faut pas oublier de vérifier à la fin.
En effet, pour résoudre une telle équation, on a l'habitude de procéder par équivalence. Mais il existe bien des cas (pas nécessairement dans la résolution d'équation) où ceci est très délicat. On peut alors essayer de procéder par implication et vérifier à la fin (cette méthode s'appelle l'Analyse-Synthèse si mes souvenirs sont corrects : il y a une phase d'analyse des solutions et ensuite on fait la synthèse).

[invite2ec8adb6]

C'est bien analyse-synthèse
l'analyse dit : soit x une solution de l'équation
alors.... et x^3=1 donc x=1
on a démontré que SI une solution réèlle existait, alors elle valait 1
mais on n' a pas démontré qu'une solution existait
on fait donc la synthèse, en disant: 1 est la seule solution possible mais ce n'est pas une solution donc l'équation n'admet pas de solution
cette méthode est fréquemment utilisée pour résoudre des équations fonctionnelles

[Bleyblue]

C'est un exemple intéressant en tout cas ...
Moi hier soi j'ai essayé (en vain) de trouvé en me disant qu'il devait bien y avoir une erreur dans le raisonnement mais apparament ce n'est pas le cas.

C'est la première fois que je rencontre un cas pareil ...