Polynome de degre 3

[inviteea95de08]

Attention, dans le feu de l'action , un intervalle vous a échappé :
x^3 + x² >= 2x + 2
s'écrit aussi x²(x+1) >= 2(x+1)
donc (x+1)(x²-2) >= 2
soit (x+1)(x - racine 2)(x + racine 2) >= 0

P(x) = (x+1)(x - rac 2)(x + rac 2) n'est pas positif seulement quand ses 3 termes sont positifs, il faut faire un tableau :

x .............. -00 .... -rac 2 .... -1 ....... rac 2 ..... +00
x+1 .......... ........ - .......... - .. 0 .. + ............ + .....
x+rac2 ...... ........ - ... 0 ... + ....... + ............. + ......
x-rac2 ...... ........ - ........... - ...... - .... 0 ...... + ......

P(x) .................. - ... 0 ... + .. 0 .. - ... 0 ...... + ....

où on voit que P(x) >= 0 quand x appartient à [-rac2 , -1] U [rac2 , +00[
-----

[invitede6f3928]

Ok mais je ne comprends pas a la 4eme ligne de votre calcul vous mettez >= 0 mais ou est passer le 2 ?

[inviteea95de08]

Attention ! un tout petit intervalle vous a échappé :

rapidement x^3 + x² >= 2x + 2
devient x²(x+1) >= 2(x+1)
puis (x+1)(x²-2) >= 0
donc (x+1)(x-rc2)(x+rc2) >= 0

le polynôme p(x)=(x+1)(x-rc2)(x+rc2) n'est pas positif seulement quand (x+1) et (x2-2) sont positifs. faisons un tableau :

x ........... -00 .......... -rc2 ...........-1 ............rc2 ......... +00
x+1 ................. - ........ ...... - .... 0 .....+ ...... ...... + .......
x-rc2 ............... - ........ ...... - ..... ...... - ..... 0 ..... + ......
x+rc2 .............. - ....... 0 ..... + ..... ...... + ..... ....... + ......

p(x) ................ - ....... 0 ..... + ..... 0 .... - ..... 0 ..... + .....

où on voit que p(x) >=0
quand x appartient à [-rc2 , -1] U [rc2 , +00[

[invitede6f3928]

Est ce que cela veut sire que -1 n'est pas solution ,je ne crois pas vu qu'il est incls dans les solutions donc qu'est ce que je dois mettre s'il vous plait ?
Sinon j'ai une tout autre question qui ne porte en rien sur cette exercice c'est une question appart, voila j'ai cette équation , 2x + 5rcx - 3 = 0.
Dans la question on me dit de choisir un changement de variable astucieux mais est ce que vous pourriez me dire ce que c'est qu'un changement de variable ,en quoi ça consiste et comment l'appliquer a cette équation ?
Merci d'avance

[iwio]

En effet, on avait oublié un interval. Merci de nous le signalé clide.

x²-2 0
x² 2
x ou x

[iwio]

Et les solutions de ton inéquations sont [-rc2 , -1] U [rc2 , +00[ comme le dit clide.

Donc -1 est solution de ton inéquation.

Un changement de variable sert à simplifier les calculs.

Ici tu pose X = rcx
Comme ça tu reviens à une équation du second degré.
Tu l'étudies, et ensuite il faut pas oublié de revenir avec ton x.

[invitede6f3928]

Ok merci beaucoup pour ta réponse mais j'ai une dernière question, comment ça se fait que dans la questtion ou il ne fallait aps résoudre on trouve que -1 n'est pas solution et quand on réosud il l'est qu'est ce que cela signifie ?

[invitede6f3928]

J'ai aussi essaye de poser X = rcx mais ça me donne 2x + 5X - 3 donc je voulais te demander si on disait que au lieu d'avoir un polynome de la forme ax² + bx + c là le x² c'est X ?
Merci d'avance

[iwio]

Ok merci beaucoup pour ta réponse mais j'ai une dernière question, comment ça se fait que dans la questtion ou il ne fallait aps résoudre on trouve que -1 n'est pas solution et quand on réosud il l'est qu'est ce que cela signifie ?

C'est quoi l'inéquation qu'il fallait pas résoudre ??

J'ai aussi essaye de poser X = rcx mais ça me donne 2x + 5X - 3 donc je voulais te demander si on disait que au lieu d'avoir un polynome de la forme ax² + bx + c là le x² c'est X ?

Quand on pose X=rcx, ça donne 2X² + 5X - 3 = 0

[invitede6f3928]

Ha oui oulah je suis fatigué ,sinon l'inéquation qu'il ne fallait pas réoudre c'était x + 2 / 1 - x <= 1.

[iwio]

Ha oui oulah je suis fatigué ,sinon l'inéquation qu'il ne fallait pas réoudre c'était x + 2 / 1 - x <= 1.

(x+2) / (1-x) <= 1

Donc -1 fait bien partie de l'ensemble de solution de cette inéquation.

Et je ne vois pas le rapport entre cette inéquation et x^3 + x² >= 2x + 2

[invitede6f3928]

Euh non attends decidement je suis vraiment fatigué ,il fallait avec la même équation mais sans résoudre savoir si -1 était solution, c'téiat avec le système et quand dans le système on remplacais x par -1 ça donnait 0 >= 0 et 7 <= 7 donc c'était bon je m'étais trompé dans le calcul et tu me l'avais dit en plus.
Bon voila c'est terminé et vraiment je peux dire que ce forum est super, toi aussi iwio t'as pris du temps pour répondre et tout c'est super sympa merci beaucoup et à tout les autres aussi.
Encore merci.

[iwio]

Bon, j'espère que tu as compris les inéquations.
Bonne continuation.

[invitede6f3928]

Attendez on a oublié quelque chose sur le système ,je n'ai pas compris parce que on a pas réolu le système ,iwio tu m'a pas vraiment expliqué comment on faisait.
Merci d'avance

[iwio]

Si tu veux l'ensemble de solution qui vérifie ton système d'inéquation.
Tu résouds les inéquations une par une. Tu trouves donc que chaque inéquation sont valables que sur un intervalle. Et pour trouver l'ensemble de solution de ton système, tu dois faire l'intersection de tous ces intervalles.

Si tu veux un moyen facil de faire l'intersection d'intervalles, tu traces une droite sur papier, à gauche c'est -oo et à droite, c'est +oo.
Et pour chaque intervalle, tu met une couleur sur ta droite. Et l'intersection, c'est l'intervalle ou il y a toutes les couleurs.

[invitede6f3928]

Ok merci pour ta réponse bon là c'est bon vraiment c'est fini .
Merci pour tout.